Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Мы приходим, таким обрат '9~ ! зом, к необходимости рассматривать «мнойь голистные» области, аналогичные рнмано- у, вым поверхностям аналитических функций l одного переменного. Подробнее мы рассмотРис. 97. рим многолистные области в 9 9. Сейчас мы только приведем пример, нз которого видно, что необходимость в таких областях моокет возникнуть и в процессе «принудительного» аналитического продолжения. П р и м е р. Пусть В с: С' — область, диаграмма Хартогса которой изображена на рнс. 97, зто цилиндр (х'-, + у! < 1, ~ за ~ < 2) с выброшенными квадратами 7 (О х, < 1, У! = О, ! зг)~< 1) П =(0~<у!<1, х, =О, 1- ~ з )<2) и сектором 5=(~з ~<1, х, О, у!>О, ~ в»1= 1).
По теореме Хартогса каждая функция ) ен Н(г7) аналитически продолжается через сектор 5 как сверху вниз, так и снизу вверх'). В самом деле, рассмотрим, например, ') Мы ддя простоты говорим о мпожестаах, непораженных иа диаграмме Хартогса, понимая под ними соответствующие множестаа на Оа. ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ 361 первый способ продолжения (сверху вниз): функция 1 голомоРфна в окРестности полУкРУга т=(',г,)(1 — а, х >е, ) ги) =2 — е) и отрезка (г, =го )г,,)(~2 — а), где )г',~ <1, х",>О, ус < О, и, следовательно, продолжается на 2 Х ((гт ) < 2 — а). При таком продолжении мы снова попадаем в область Х~, но функция не обязана принимать те же значения, которые она имела.
В самом деле, рассмотрим, например, функцию ~о(зн га) = игам где рассматривается непрерывная в 0 ветвь корня, которая принимает положительные значения на оси хп Она, очевидно, голоморфиа в Т) и в точках Л и В диаграммы, которые проектируются в одну точку Р плоскости гн но расположены по разные стороны 5, принимает различные по знаку значения (псреходя из Л в В по Р, мы должны изменить агах, на 2ж). С другой стороны, продолжая 1 через 5 по теореме ХаРтогса (как описано выше), мы полУчиы, что значениЯ 1с, скажем, в точке В и ее продолжения в точке Л должны быть одинаковыми, Таким образом, продолжение 1о привело нас к н е о д н оз н а ч н о й функции; не желая рассматривать такие функции, мы должны относить продолженные значения ко второму экземпляру области 1т, склеенному с первым по множеству 5. Мы получим пример многолистной области из числа тех, о которых говорилось выше.
Введем теперь одно из важнейших понятий теории функций нескольких комплексных переменных. О п р е д е л е н и е 1. Область В с= С" называется областью голоморфностм функг(иа 1, если 1 голоморфна в 0 и не продолжаема аналитически ча пределы этой области в следующем смысле'): для любой точки ге ев В функция 1, гололгорфпая в наибольшем поликруге 6(го, г) с: В, не продолжается голоморфно ни в какой поликруг 6(зо, и'), и'>г (радиусы и и и' — скадары).
Область называется областью голожорфности, если она является областью голоморфности какой-либо функции. О предел ение 2. Область 6, строго содержащая область|), называется аоложор4ныж расширением последней, если любая 1~ Н(0) продолжается до функции, голоморфной н 6. Второе определение содержательно, когда Т) не является областью голоморфности, т. е.
лишь в пространственном случае. Интересную особенность этого случая выражает следующая простая ') Уточнение существенно, когда 1 не продолжаема в одяолистные области, содержащие В, но продолжается е иеоднолистиые (как 1, в приведенном выше примере). 1гл цг Аньлптнческое пгодолження 362 Т е о р е м а 1.
Если 6 является голоморфным раси1ирением ооласти Р, то продолжение любой функции 1ен Н(Р) может принимать в 6 '~ Р лишь те значения, которые 1 принимает в Р, м Пусть, от противного, некоторая функция ~~Н(Р) принимает какое-либо значение ыь в 6;Р, но не принимает его 1 в Р. Тогда функция д(г) =, очевидно, голоморфна в Р, 1 («) ««о но непродолжаема аналитически в 6, ибо в некоторой точке 6 ~,Р она обращается в бесконечность. Это противоречит определению 2 > С л е д с т в и е. Гололюрфное расширение 6 ограниченной области Р ~С" также является ограниченной областью. < По теореме 1 функции 1»(г) =г, (координаты точки г) принимают в 6 '~ Р те же значения, что н в Р, т.
е. знр!г„,(= знр)г,), ч=1, ..., и. (1) «~о «~о Но так как Р ограничена, то правые части (1) конечны, следовательно, конечны и левые, т. е. 6 ограничена ь Как для дальнейшего развития теории, так и для приложений важно уметь находить в известном смысле максимальные голоморфные расширения данной области — так называемые оболочки голоморфности. Этой задачей мы займемся в $ 9. А пока будем учиться характеризовать «нерасширяемые» области пространства С", т.
е. области голоморфности (на плоскости любая область нерасширяема в принятом здесь смысле, так что поставленная задача интересна лишь при и > 1). Начнем с простых достаточных условий. Будем говорить, что в граничной точке 1, области Р ~ С" существует барьер, если для любого множества К ~ Р и любого е> О найдется функция д~ Н(Р) такая, что))а()к=шах) д(г)/(1, но (д(г)!>1 «лк в некоторой точке ген 0(ь, е).
Очевидно, что если существует функция ) ~ Н (Р), н е о г р аниченная в точке 6ендР (т. е. такая, что 1(г') — оо по некоторой последовательности г« ен Р, г'-+ ~), то в этой точке существует и барьер. В самом деле, для любых К с= .Р и е>0 можно взять д(г) = —. Обратное утверждение также спра- 1(«) 1!Ик ' ведливо, причем в следующей усиленной форме: Т е о р е м а 2. Для любого множества е« ~ дР точек, в которых суи1ествует барьер, найдется функция 1"ен Н (Р), неограниченная во всех точках Ь .
м Прежде всего заметим, что существует не более чем счетное множество точек дР, всюду плотное на в, и что функ- огласти голомогоностн ззз % 71 ция, неограниченная на таком множестве, будет неограниченной и на е . Поэтому о можно считать не более чем счетным множеством. В этом предположении мы построим последовательность и' ен е так, чтобы каждая точка о встречалась в ней бесконечно часто').
Теперь для доказательства теоремы достаточно найти функцию ! ~ Н (Р) и последовательность точек ать= Р так, чтобы 12 — Ь ! — ьО и 1(з~)-ьоп, Сначала мы построим компактное исчерпывание области Р, т. е. возрастающую последовательность замкнутых множеств А!с:.тс,с: ... таких, что Ц ттз =Р, — это делается точно так >ке, А-! как при доказательстве леммы из п. 22 ч. 1.
Теперь мы построим последовательность натуральных чисел рт ~ос, точек г'ен.0 и функций !",~ Н(Р) так, чтобы для К,= )ти, и любого т= 1, 2, ... выполнялись условия: 1) гт ен Кт„', К„! г' — Е' ! < —; 2) Д !т Ц . < 1, но ~ т, (гт) ! > 1, (2) Это можно сделать по индукции: для т=! берем К, =)с!, в качестве 1! — барьер в точке Ь! для множества К, и в качестве г! — точку пз: Р ' Кп ~ г! — Ь!) < 1, в которой ~ 1! (з!)) > 1 (она существует по определению барьера), затем выбираем Кз = )ср„так, чтобы г' ~ Кз (можно сделать по условию исчерпывания); теперь условия (2) выполнены при э=1.
Пусть построение сделано для всех натуральных чисел до т-1 включительно; мы выбираем в качестве !', барьер в точке Ь, для множества К, (оно уже построено на (т — 1)-м шаге), находим точку з'енР'хК„)г" — Ь'(< —, в которой (1,(г') ~>1 (определение барьера), и берем К„!=Я так, чтобы г'~Кт,! (условие исчерпывания).
Условия (2) выполняются, и возможность нашего построения доказана. Наконец, учитывая, что !!т(а')!>1, мы подбираем последовательность натуральных чисел д, (начиная с д! = 1) так, чтобы выполнялось неравенство и†! —,1!и(ап) 1'и>,~~ —, (1,(аи)!" +1! ()з>2), (3) т ! ') Пусть точки множества Х как-то заиумеровавы; для построепия последовательиости ь мы возьмем точки в таком порядке; 1; 1, я; 1, З, 3;...
АПАлити"!еское пРополжгиие !Гл. и! и рассматриваем ряд г(г) = ~~~ — ()' (г))' . (4) Для любого ген Кн мы имеем !),(2) )(! прн т) р, следовательно, ряд (4) равномерно сходится на КР. Так как К„компактно исчерпывают Р, то отсюда следует, что ряд (4) сходится вс!оду в Р и что его сумма 1ен Н(Р) (см. теорему Вейерштрасса из п. 6).
Наконец, для любого р = 1, 2, ... мы имеем !~ (2 )/~~;"т (! (г!)! Р,Р~! 2 (1т(г )! т — )л~ — ))т т-нт ! неограниченная в точке ь. Следовательно, шар является областью голоморфности. Этот пример обобщает Теорем а 3. Всякая вь!пуклая область Р ~ С" является областью гололторфности. < В силу выпуклости Р для любой точки ьеедР можно построить (2п — ! )-мер ну ю плоскость и ~ (ат (2, — С,) + а, (2, — Ь,)) = О, и=! проходящую через г и такую, что Р лежит с одной ее стороны.
В этой плоскости мы возьмем (2п — 2)-мерную') аналитическую плоскость п ~ а,(г,— йт) =О, т ! ') Указана действительная размерность. ОтКуда ВИДНО, Чта )(гн)» оо ~ Из доказанной теоремы непосредственно вытекает достаточное условие для областей голоморфности: Следствие. Если на всюду плотном множестве точек границы Р су!цествует барьер, то Р является областью голоморфности. Например, в каждой точке Г границы шара В = (! г !< В)~С" существует барьер, ибо существует функция ! (2) = „ее Н(В), ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФИОСТИ $7] которая проходит через ~ и не содержит точек й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
