Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Условие голоморфной выпуклости области необходимо и достаточно для того, чтобы она была областью голоь орфности. К сожалению, это условие не является столь наглядным и эффективно проверяемым, как условие геометрической выпуклости. В с.тедующем параграфе мы дадим другую его трактовку, основанную на теории субгармонических функций. Эта трактовка, пожалуй, более геометрична и, кроме того, она приведет к некоторым эффективным критериям для областей голоморфностп. Сейчас мы приведем еще одну формулировку условия Р-выпуклости, наложив на рассматриваемые классы дополнительное ограничение.
Именно, мы будем считать, что класс Р устойчив по отношению к возведению в степень, короче, р-устойчив, т. е. ОВЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ зт! вместе с каждой функцией ! содержит и любую ее натуральную степень 1'". Для таких классов теорему об одновременном продолжении можно несколько усилить: Теорема 5 (Картан и Туллен). Пусть Кк::Е), = р(К, дТ1), а Р— произвольный класс, одновременно р- и й-устойчивый.
Тогда для любой функции ~ен Р и любой точки г~ен К (8) И!!с (,ь,) (!1 Лк(п„ где т!<т — произвольное число и Каа — раздутие множества К. ч Пусть т,<П и точка г ~ У(гь, т,); тогда ряд Тейлора (4) функции ! с центром в точке гь сходится в точке г и для каждого его члена справедлива оценка (7): (с„(г — г') ((М!(т,)( —,') Суммируя эти неравенства, найдем ~ 1(г) 3 ( М! (т !) ~ Л(ь. ч ~, ) ч-о где через У„,, обозначено число членов ряда Тейлора функ- ции п переменных с данной ~ й ~=ч. Но сумма в правой части, 1 очевидно, равна „, и, следовательно, 12 ! —— т1 ~ И ) ХМ,('.) ~, ", )".
(9) Применяя это неравенство к функциям ) (и=1, 2, ...), принадлежа!пни классу Р в силу его р-устойчивости, получим ~ 1 (г) ~~ ~» (М ! (т )) ~ ~ — ) (Кт)~ а ()0 ~(К~ ~)Р (10) 24" Теперь извлечем корень и-й степени и устремим гп-+ьь; будем иметь 1! (г) ~(М!(т!). Но здесь г можно считать произвольной точкой из У(г', т,), а М!(т,) согласно (6) совпадает с правой частью (8) 1ь С л е до т в и е. В условиях и обозначениях предыдущей теоремы (гл. !и АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕННЕ 372 < Любая точка г', принадлежащая левой части (!О), принадлежит и поликругу П(г", т,) с центром ге~ К„, поэтому согласно (8) для любой 7 ~ Г имеем ~7(г() ~(~~) Ц(пй зто и означает, что г' принадлежит Р-выпуклой оболочке множества К("' м Критерий Р-выпуклости в сделанных предположениях о классе можно сформулировать так: Теорем а 6.
Для того чтобы область й с: С" была выпуклой относительно некоторого класса Р, одновременно р- и й-устойчивого, необходил(о и достаточно, чтобы для любого множества К «й П р (К„, дО) = р (К, дТ>). (11) м Достаточность условия (11) очевидна. Для доказательства необходимости обозначим левую часть (11) через 7, а правую через т. Очевидно, Р(т; если бы было т<т, то мы имели бы К ~ Т>. В силу замкнутости множества К„оно содержит о> точку. ге, для которой р(гь, дП)=т. Поэтому поликруг У(г', т) касается границы д0 и не может компактно принадлежать 1>. Но у(гс, т) согласно теореме 5 содерк жится в (К")„, Таким образом, оболочка Ю К'> некомпактна в Т>, а это противоречит Р-выпуклости области м Мы получили новую характеристику областей, выпуклых относительно одновременно р- и а-устойчивых классов (в частности, голоморфно выпуклых).
Это такие области, в которых переход от компактных подмножеств к их Р-выпуклым оболочкам происходит без уменьшения расстояний до границы. Образно говоря, такой переход состоит в заклеивании «дырок» и «впадин», имеющихся в подмножествах (рис. 101). 22. Свойства областей голоморфности. Области голоморфности в С" — это голоморфно выпуклые области. Мы приведем несколько их свойств, обобщающих известные свойства выпуклых областей. Т е о р е м а 1. Пусть Р„а е= А, — произвольное семейство областей голол орфности в С" и 6 = П П« — их пересечение. «ел о Каждая связная компонента 1> открытого ядра 6 является областью голоморфности. я Пусть К с= П; так как каждая функция йз Н(1>„) голо- морфна н в Ю, то Н(й) ~ Н(0,) и, следовательно, Кн щ> с:Кн(о ) ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ зтз $71 для всех а ен А. Поэтому р(Кн<оь дОь) ) р (Кн(о ), дОь), и, значит, в силу голоморфной выпуклости О„для всех а еи А имеем р (Кнсоь дОР)~~р(К, дОь)~)р(К, дО).
Если бы О не была областью голоморфности, то для некоторого К было бы р(Кншь дО)<р(К, дО), и тогда нашлась оы О„для которой Р (Кван дОР)<р(К, дО), вопреки доказанному 1ь В отличие от пересечения, объединение областей голоморфности не обязано быть такой же областью (ср. соответствующие свойства выпуклых областей). Это видно нз простого примера: (~г, 1<1, !г,1<2) и (~ г,1<2, ~ге ~<!) являются областями голоморфностн в с,г, а нх объединение, диаграмма которого 1гг1 изображена на рис. 102, — нет (это доказано в п. 7).
Однако, справедлива Те о ре м а 2 (Бенке — Штейн). Объединение возрастающей после- р довательности областей' голоиорфности О,: О-ЦО„ОРСО„, (1) 1 гав( р Г Рзс 102 также является областью голоморфности, если О ограничена. м Доказательство этой теоремы не так просто, и мы разобьем его на несколько этапов. 1. Прежде всего покажем, что О можно представить как объединение возрастающей последовательности аналитических полиэдров (см.
и. 18). Для этого выберем последовательность натуральных чисел р, так, чтобы области 6, = Ор для всех т = 1, 2, ... удовлетворяли услонию знр р (г, д6„,) < р (6, „д6,„.,). (2) ,идв Возможность такого выбора докажем по индукции. Поло'ким 6, = О, и выберем р, столь большим, чтобы для 6А = О„было знр р(г, дО)<р(6И дО); после этого выбираем р, так, чтобы гЯдв, граница области 6,=О, была столь близкой к дО, что в последнем неравенстведО можно заменить на д6,: знр р(г, д6з) < гидам < р(6Н д6,).
Пусть выбор сделан для всех натуральных чисел, меньших т; выберем р, так, чтобы для 6,=О было Бпр р(г, дО)<р(6,, дО), (3) рада АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ П'Л. ЛАГГ 374 а затем выберем р,„, так, чтобы Ор„, = 6,+, была столь близкой к дО, что в последнем неравенстве дО можно заменить дО,„П вЂ” мы получаем (2). Так как О,,айб„, и Оем (как область голоморфности) выпукла относительно класса Й(О„Г), то по теореме б предыдупГего пункта для оболочки 6, 1=(0 -~)н о ) имеем ты р(О~-Г, дОК 1)=р(6 -ь дО +Г). Но из (2) следует, что для любой точки гоеидО, ( о дО )< (О дО т. е. д6, не пересекается с 0*,, Поэтому для любой точки гоеидО, найдется функция ),~ Н(6„„) такая, что 1),,(г)~ <1 в 6,, и ~~,,(г)~)1 в некотором поликруге У(го, г).
В силу компактности множества д6, мы можем из покрытия его такимн поликругами выбрать конечное покрытие О,"= У(ги'', Г~Р'"), 14 = 1, ..., ЛГ„ и построить аналитический полиэдр П = (г еи О „: ~ ~„, (г) ! < 1, 1А = 1, ..., ЛГ,), (5) где )'„,=7", — найденные выше функции нз класса Н(0„,). По нашему построению 6,, а==П,~ О, для любого натурального т. Поэтому область 0 представляется как объединение возрастающей последовательности полиэдров Вейля'.
0 = и П„П, а= =П„,, причем' полиэдр П, определяется функциями ГР,, с: Н(П,). Заметим, что, начиная с некоторого т, все полиэдры П, можно считать связными. 11. Покажем теперь, что класс Н(О) плотен в каждом классе Н(П,), т. е. что любую функцию Го~ Н(П,) можно на любом компактном подмножестве П, сколь угодно точно приблизить функциями из Н(О). В самом деле, пусть заданы у~е=П, и е) О. По следствию 1 теоремы 2 и.
18 существует функция ), ЕЕН(П„Г) такая, что (~)о — Г', ~~к< —. По тому же следствию сУществУет Го~ Н(П„,) такаЯ, что (1Гз — ГГ ~~и < —,, и вообще для любого 14 = 1, 2, ... существует функция ГР~Н(П„„) такая, что ~~7Р )Р-Г ~(п,+Р,< ~'„ >гл. >н АнАлити'!ескОе пРОдОЛЖЕНИЕ Рассмотрим г;раздутие К" множества К; имеем К" АР н по уточненной теореме об Одновременном продолжении (теорема 5 предыдущего пункта) для любой )енН (9) >>>>> и(зн .,) ~~~Яки~> Но К>н ~П для всех >ь, начиная с некоторого ы„и, в силу выпуклости Пв относительно к.тасса Н, для любой точки .г ~дПР; Кьй найдется функция )о~Н такая,,что ()е(ге) ~) > ~! Г~!1~из Так как !>ш П» — — О, то для достаточно больших >ь пересечение дП П У (ь, то) непусто и га ен У (~, тз), а значит, н У (ги, т,).
Поэтому последнее неравенство противоречит (9) >Р Для формулировки последней теоремы этого пункта введем важное Оп р еде лен не. Отображение >р: Р-ь0* называется биголоморфным отображением области Р с:С", если оно взаимно однозначно и все компоненты >р, этого отображения (>р = =(>р>, ..., >р„)) голоморфны в Р, а все компоненты ф, обратного отображения ф ' =(ф„..., >)>„) голоморфны') в Р".
Биголоморфные отображения мы будем называть также голоморфными изоморфизмами или, короче, голоморфизмами, Они являются обобщением на пространственный случай конформных отображений. Те о рем а 3. Свойство области быть областью голоморфности инвариантно относительно гололторфизмов. Иными словами, если 0 с: С" — область голоморфности и 0* — ее образ при биголоморфном отображении Ч>, то 0' также является областью голоморфности, м Пусть К" а==0', тогда в силу гомеоморфности >р и множество К =ф '(К*) ~ Р, а так как 0 — область голоморфностн, то Кн>р> ~0.
Легко видеть, что Ч> (Кн ю>) ~ Кн >о"> (! О) В самом деле, если некоторая точка ы>зепР'' >р(КН>о>), то г'=>р >(шо)еиР',К и найдется функция (енН(0) такая, что ') Мы увидим в дальнейшем (см. п. 44), что зти условия не являются независнмыми: из взаимной однозначности и голоморфности ф толоморфность !р ' вытекает. % В! пспздовь<птклость 377 1)'(го)1>1<)'1<к< обозначим д(ю) =)' ° <р '(<в); очевидно, пе-:Н(0') и 1д(и<о)1>11д11„„, а это означает, что и<оеп 0*'~ К', Из Кн<р< С 1) заключаем, что <р (Кн <щ) с 1)*, и по (10) Кн<рпяй 1)*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
