Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 67
Текст из файла (страница 67)
[Указание; воспользоваться задачей 1 к гл. М ч. Ц 8. Доказать, что множество голоморфных отображений С-+С", обладающих свойством, указанным в задаче 7, всюду плотно в пространства всех голоморфных отображений С-ьСа с топологией равномерной сходи- мости на компактах. 9. Дифференциальная форма ю в точке Р многообразия М равна нулю, если в некоторой локальной системе координат все ее коэффициенты в точке Р равны нулю. Доказать независимость этого определении от ИНТЕГРИРОВАНИЕ (гл и 356 выбора координат.
Доказать, что т-мерное многообразие М ориентируемо тогда и только тогда, когда иа нем сушествует дифференциальная форма ы порядка т, нигде не равная нулю. 1О. Пусть ) голоморфна в поликруге 0 гц С» и непрерывна па множестве У и Г, где à — остов У. Доказать, что ) продолжается до функции, непрерывной в (Г. 11. Функция ) непрерывна иа границе дУ единичного полнкруга У ~ П» 1» и на каждом одномерном аналитическом круге й м е (ь: ьн = е и, р ~ т, ) Ьт) < 1) голоморфна по Ьт. Доказать, что ) продолжается до функции, голоморфной в У и непрерывной в (й 12. Функция ) непрерывна иа остове Г единячнага поликруга У ~= Доказать, что ) продолжается до функции, голоморфной в Д н иепрерыиной в У, тогда и только тогда, когда ) (() ьг 44 = О длЯ всех й = (йь..., й»), йт э Π— целые, 1" 13, Пусть Р— облас~ь е С" со связной гладкой границей дР и функции ) ~ш С' в окрестности дР.
Предположим, что вдоль каждой касательной к д(у аналитической прямой г — а+ ыЛ, а, ы ~ы (.», Л ш С, функция ) удовлетворяет д касательным уравнениям Коши — Римана: — ) (а + ыЛ) О в точке касания. ' дЛ Доказать, что ) продолжается до функции, голоморфиой в )) и непрерывной в йк 14. Пусть П=(а ~м С»: ) рт (а) ) » ~1, и= 1, ..., л) — полиномиальный по(бр) лиэдр в С» такой, что ))е1 ( — ) Ф О на его остове Г. Доказать, что 1 дг ) всякая функция ), голоморфиая в П и непрерывная в П ()Г, равномерно приближается поляиомами (и потому, в частности, продолжается до функции, непрерывной в Дх).
ГЛАВА И! АНАЛИТИЧ ЕСКОЕ П РОДОЛЖЕН ИЕ Любая плесках область служит естественной областью существования голоморфной функции: для любой области 7)с:С существует функция, голоморфная в 0 и не продолжаемая аналитически за пределы этой области (см. п. 43, ч. !). В отличие от этого, в пространстве С" (и> !) существуют области, нз которых любая голоморфная функция непременно продолжается в более широкую область.
Мы приводили несколько примеров таких областей, скажем нелогарифмически выпуклые области Рейнхарта (и. 7) или области с компактными дырками (теорема Осгуда — Брауна в п. !7). Эта глава посвящена в основном описанию пространственных областей, которые служат областями существования голоморфных функций. $7. Области голоморфностн 19. Теорема Хартогса о продолжении. Здесь мы приведем еще одну простую теорему о принудительном аналитическом продолжении функций нескольких комплексных переменных. Теорема 1 (Х а рто ге).
Пусть даны области '7) с= С" '('е) и П„~ С(е„); любая функция 7, голоморфная в окрестности (в смысле С') множества , М=('й Х д7)„)()(('г') Хб„), (!) еде 'гь ~ 'О, голоморфно нродолскается во всю область 77 = 'П Х О„(см. рис. 95, где П„представляет собой круг). м Не уменьшая общности, можно считать, что О„ограничена конечным числом гладких кривых. Функ!!ия '.ь — Еь голоморфна в области 0 ='0 Х П„. В самом деле, при ~„ы д0„ и огсз'О точка ('г, Ь„) ~М, следовательно, 7('г, Ь„), а по лемме и. б и 7, голоморфно зависит от 'е в 'О при л!обои г„д'= дО„; (гл.
пг аиалитичискои продолжении 358 с другой стороны, при любом 'ген'О функция г (как интеграл типа Коши) голоморфно зависит, от га в О„. Но при з, принадлежащих некоторой окрестности множества ('го)ХО„, функция Г по условию голоморфна, и для оА таких г по интегральной формуле Коши для функций одного переменного са (' ((", ~.) (й«) «ЮН (( ) йпс,) й„— ги о~а Таким образом, для г из этой окрестности ((г) — = Г'(г) и по теореме единственности для функций нескольких переменных ( — = ( всюду, где голоморфна. Но Г" ~ Н(0), н, следовательно, она дает требуемое аналитическое продолжение ) > У Рис. 95.
П р и и е р. Всякая функция й голоморфная в области из Ст, лиаграмма Рсйнхарта которой изображена на рис, 96, аналитически продолжается в бикРгг ( ~ «1 ! < Лн ~ «т ~ ( Ю. ~гд / 3 а м е ч а н и е. Как видно из доказательства, условия теоремы Хартогса можно несколько ослабить, потребовав лишь, чтобы функция ( была: 1) голоморфнои в окрестности множества ('зс) Х О„, 2) не- !«3 прерывной по га и голоморфной по 'и на множестве 'О Х дО„. Заметим еще, что т в этой теореме можно поменять роли областей т0 и .0„(и соответственно переменных тг и га), — для этого достаточно вместо (2) рассмотреть кратный интеграл Коши по д'О. В качестве примеров применения тео- Рис. 96.
ремы Хартогса рассмотрим вопрос о стирании особенностей голоморфных функций нескольких переменных. Первая из теорем, которые мы здесь докажем, является пространственным аналогом теоремы об устранимости изолированной особой точки, в окрестности которой голоморфная функция ограничена. В случае пространственной области О с: С" роль изолированной точки играют так называемые тонкие множества М с: О. Они определяются условием, что для каждой точки г ен О существует окрестность О, ен О и в ней голоморфная функция ~рва О, которая равна 0 ОБЛАСТИ ГОЛОМОВФНОСТИ 359 во всех точках М П У,. По теореме единственности тонкое множество не может иметь внутренних точек, оно нигде не плотно в Р.
Можно доказать, что дополнение к тонкому множеству относительно области Р связно (задача 3 к гл. 7). Теорема 2. Пусть М вЂ” тонкое множество в области Р~С" и функция 1 голоморфна в Р Х М. Если ( локально ограничена '), то она единственным образол< продолжается до функции г, голоморфнои в Р.
< Единственность продолжения очевидна, нбо множество Р Х М связно. Достаточно доказать голоморфную продолжимость 1 в произвольную точку а ен М, которую без ограничения общности можно принять равной нулю. Выполняя, если надо, линейную замену переменных, можно считать, что функция <р, определяющая М в окрестности Ры удовлетворяет условию ~р('г, 0) чи О, где, как всегда, 'г=(г,, ..., г„,). При достаточно малом р„) 0 функция ~р('О, г„) чь 0 на окружности (~г„~=р„), поэтому числа р, (о=1, ..., и — 1) можно выбрать столь малыми, что <р(г, г„) ФО для всех 'ген')л =(1г,.~(р,) и всех г„~ дР„=(~г„~=р„). Отсюда следует, что точки ('г, г„), где 'г~')л, а г„еидР„, не принадлежат множеству М, т. е.
1 голоморфна в окрестности '71 Х дР„. С другой стороны, при любой фиксированной 'гс ен 'К функция ц~('го, г„) согласно подготовительной теореме Вейерштрасса имеет конечное число нулей в круге б„= (~г„~~(р„), т. е. 1('го, г„) имеет в Р„конечное число особых точек. Так как она по условию ограничена в Р„, то этн особенности устранимы и, значит, )('го, г„) продолжается до голоморфной в Р„функции. Продолженная функция 1 голоморфна в окрестности множества (')л Х дР„)()('0 Х Р„) и по теореме 1 голоморфна в поликруге Г=%' Х Рн» В следующей теореме мы усилим ограничение на функцию 1, предположив ее непрерывной в Р, но зато ослабим требование на множество М.
Именно, мы предположим, что оно лежит не на тонком множестве, а лишь на гладкон поверхности размерности 2п — 1. Теор ем а 3. Если функция )'непрерывна в области Р с: С" и голоморфна всюду в Р, за исключением множества М, лежащего на гладкой поверхности 5 размерности 2п — 1, то она голоморфна во всей Р. ') Это означает, что дкк каждой точки г ~в 0 найдется окрестность У чакан, что 1 ограничена в (АЗ ' М) О У. Аидлити !еское пгодолжеигш [гл, и! 360 м Доказательство аналогично предыдущему. Пусть в окрестности У точки 0 еи М поверхность 5 представляется уравнением у„ = !а('г, х„), где га — гладкая действительная функция.
Так как !Р('О, 0) = О, то в силу непрерывности для любого достаточно малого Р > 0 найдется такая окрестность ')г точки '0 и такое а>0, что ~г9('г, хя)~<0 для всех 'г~')г и ~х„!<а, ПозтомУ 1 голомоРфна в ')г Х (~хи1<а, 11<~ г7„1<У), где У>0 достаточно мало. С другой стороны, при фнксированнои 'го ~ ')7 фУнкциЯ 1('го, аи) голомоРфна по аи в пРЯмоУгольнике г1„= = ()хи 1< а, ! р„~ < у) всюду, за исключением гладкой кривой у„=!р('го, х„), и непрерывна в )т„. Из теории функций одного переменного известно (см.
задачу 5 к гл. 1П ч. 1), что отсюда следует голоморфность 7('зо, ги) в дг„. По теореме 1 (см. замечание вслед за ией) заключаем, что 1 голоморфна в ')г Х 1)„ь 20. Понятие области голоморфности. Как мы несколько раз отмечали, в пространстве не всякая область является областью ,х, существования голоморфной функции— имеются области, нз которых каждая голоморфная функция аналитически продолжается в более широкую область. Мы хотим с самого начала подчеркнуть, что в пространстве, как и на плоскости, в процессе такого продолжения расширяющаяся ! область может начать налегать на самое себя, образуя второй слой, в котором функция принимает другие значения, чем в первом слое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
