Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Но тогда 1 функция )(г) = голоморфна в Р и не ограничена ~л ат (г7 — ьт) т=! в ь, т. е. в ь существует барьер. По следствию й является областью голоморфностн > Однако условие ныпуклости не является необходимым для области голоморфности.
Это видно, например, из следующей теоремы: Теорем а 4. Если й, является областью голоморфности в пространстве С" (г), а РФ вЂ” аналогичной областью в пространстве См(а7), то произведение й, Х й„ян,7чется областью голол7орфности в пространстве С "(г, а7). < Возьмем функцию ((г) ен Н(й,), не продолжаемую голоморфно в более пшрокую область, и такую же функцию а(и7) ы Н(РФ). Тогда функция ~(г) а(и7) ы Н(й, Х й ) н не продолжается голоморфно в более широкую область, чем Р,Х.0. Так как в С' любая область является областью голоморфности, а поликруговые области — зто произведения плоских областей, то мы имеем С л е д с т в и е.
Любая поликруговая область из С" является областью голоморфности. В частности, произведение й двух плоских областей й, и й, из которых по крайней мере одна, скажем й„не выпукла, является областью голоморфности, хотя й н не выпукла. В следующем пункте мы введем обобщенное понятие выпуклости, которое менее наглядно, чем обычное, но зато дает необходимое и достаточное условие для областей голоморфности. 2!. Голоморфная выпуклость. Выпуклую оболочку множества М с: С можно, очевидно, описать как совокупность 7! всех точек г"ен С" таких, что для любой действцтельной линейной функции Л(г) = а + ~. а,х, (а, е:— .
т,!) имеет место неравенство ) Л(гь) ~ » Бар ~ Л (г) ~ ,~,я (см. рис. 98, где при п= 1 изображены линии уровня личейньгх функций). 1гл. пг аналитическая поодолжанив Предоставляем читателю убедиться в том, что при описании выпуклой оболочки в С" действительные линейные функ.ции можно заменить комплексными: л 1(г) = ао + ~~'.~ а,.г, (а, ~ С!).
ъ' 1 Иными словами, выпуклую оболочку множества М можно определить как множество М ( о Оо! 1!( о)~~~ пр(1( )() гаЫ где неравенство справедливо для всех линейных функций 1(г). Р .9В. Мы хотим обобщить понятие вы- пуклой оболочки, распространив его иа произвольное семейство Р функций (действительных илн комплексных), определенных в области 0~6". О п р е де л е н и е 1. Р-выпуклой оболочкой множества М с: Р называется совокупность точек М, ( 'еи.0: 11(г')!( зпр()(г)1), (2) где неравенство справедливо для всех функций 1ен Р.
О и р еде ление 2. Область,0 называется Р-выпукло!!, если для любого множества К, компактно принадлежащего О, его Р-выпуклая оболочка также компактно принадлежит О! Форма, в которой принято определение 2, позволяет устанавливать Р-выпук- '' у лость области, не выходя за ее пределы. Это существенно, когда Р состоит из функций, определенных лишь в области О. Ясно, что в случае, когда Р состоит из Рис. 99. линейных функций, Р-выпуклость совпадает с обычной (геометрической) выпуклостью (см.
рис. 99, где показано, как невыпуклость области влечет за собой нарушение условия (3)). В теории функций особо важную роль играет голомор4нал выпуклость, когда Р =Н (О), а также полиномиалоная выпуклость, когда Р представляет собой совокупность всех полиномов Р(г). Полнномиально выпуклую оболочку множества М ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ збт мы будем обозначать через Мр, а голоморфно выпуклую — чсреа Мн. Рассматривается и понятие выпуклости, связанное с другимн классами Г, например совокупностью всех рациональных функций или всех мономов (т. е. кратных степенен — г л) Очевидно, чем ш и р е класс Г, тем для большего множества функций требуется выполнение неравенства (2) и поэтому тем у ж е Г-выпуклая оболочка множества и, следовательно, тем шире класс Е-выпуклых областей.
В частности, всегда М с с: Мн с Мр с М и все выпуклые области валяются полиномиально выпуклыми, все полиномиально выпуклые — голоморфно выпуклымп. П р и м е р ы. 1. Проиллюстрируем описанное включение в плеском случае. Любая область ОсС' является голоморфио выпуклой, а полиномпально выпуклыми будут лишь области со связным дополнением в Г (докажите!). Класс геометрически выпуклых областей уже класса полнномиально выпуклых. Образно говоря, переход к полиномиальной оболочке плоской области сводится к заклеиванию в ней «дыр», а к (геометрически) выпуклой оболочке — еще и к заклеиванию «выемок» вблизи границы. 2. Любой аналитический полиэдр П=(ген0: 1%',(г))<1, у=1, ..., Л)) (см.
п. 18), где функции Ж',~ Н(0), является выпуклым относительно класса Н= Н(0). В самом деле, если К ~ П, то для любого г= 1, ..., Н имеем ~)) Чу,))к(г(1. По определению Н-выпуклой оболочки зпр ! (Р;(г) ) а ' зпр )((т,(г) )(«, « -кн «-к а отсюда следует, что и Кн к= =П, Условие выпуклости относительно любого семейства функций Ес: Н(0) оказывается достаточным для того, чтобы 0 была областью голоморфности. Теорем а 1 (К а рта н и Тул лен). Если область 0 сС" вьтукла относительно какого-либо класса Е с: Н (0), то она является областью гололгорфноети ').
< Доказывается вполне аналогично теореме о барьере нз предыдущего пункта. Выбнраем счетное всюду плотное на д0 ') Выбирая в качестве г" совокупность пикейных функций ) («), получим теорему 3 предыдущего пункта, (гл, гн АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 366 множество точек в' и последовательность граничных точек 4» так, чтобы каждая точка в встречалась в ней бесконечно часто. Далее, исходя из какого-либо компактного исчерпывапия Н! ~ области В, строим последовательность множеств Кр = Нр, точек г' я д и функций (,, еи Н(д) так, чтобы для любого т=!, 2,, было: 1) г'еи КРИ 'К К, )г' — ~'~ < —, 2) )))',!) <1, но ))',(ЕР)1) 1 (для простоты письма мы опускаем ' 'къ индекс Р в обозначении Р-выпуклой оболочки).
Построение делаем по индукции. Для т = 1 берем К, = Н! и, пользуясь Р-выпуклостью, по которой К, а= =д, находим точку г' ен 0 та- кую, что г>ВеК, и )г' — Ь!)<1; из определения оболочки сле- дует существование функции д! еи Р такой, что )д! (г!)1= )!д!)) и мы полагаем (! (е) = —,. Затем мы выбираем К, = Нр, так, я! (») ))и!))к, чтобы г' принадлежала К,, а значит, и подавно К,. Далее предполагаем, что построение сделано для всех натуральных чисел до т — 1 включительно. Тогда берем точку г'е=)) ~ К, р! 1 так, чтобы было )г — !"„) < —, находим функцию я, ен Р, для которой )д,(е')1)))д,)!к„полагаем ),(г)= и выбираем )яр(»)1 )) Вр))к К,„=Нр так, чтобы е'~К„!' К,.
Построение закончено. Остается так же, как в теореме о барьере, выбрать нату- ральные числа д, так, чтобы при всех )!) 1 выполнялись не- равенства (ер) )ря ~ ~~~ - — 1) (ер) 1 р + )» р ! и рассмотреть ряд и ) =„у,— „',((,())". р=! Так как ряд сходится равномерно на любом Ке==й, то (ен Н(0), а так как ) (г') — оь, то В является областью голоморфностн этой функции» Самое сильное утверждение мы получим, осли выберем в этой теореме Р = Н(В)! С лед с та не. Всякая еолол>ор4но выпуклая область является областью еоломорфности. Ясно, что для получения необходимых условий для области голоморфности на класс Р надо наложить дополнительные ОБЛАстРР ГОЛОМОРФНООТИ З 71 Заз условия (например, если Р— совокупность всех линейных функций, то Р-ныпуклость сводится к обычной выпуклости, а она, как мы видели, не является необходимой). Мы предположим, что класс Р является устойчивым по отношению к дифференцированию, короче, г(-устойчивьРм, т.
е. вместе с любой функд цией ) содержит и любую производную —. дг Для оболочки относительно таких классов справедлива следующая важная теорема об одновременном продолжении: Теорема 2 (Картав и Туллен). Пусть Кя-:Р и « = р(К, дР) — расстояние в р-метрике от К до границы Р. Какова бьс ни была точка г", принадлежащая выпуклой оболочке / множества К относительно Й-устойчивого класса Р, любая функция 1' Р голоморфно продолжается в поликруг (7'(го, «). лт Существенно, что у (го, «) может выходить за пределы области Р (см.
схематический Рис. 100. рис. 100); радиус этого поли- круга не зависит от индивидуальной функции 1он Р и определяется лишь расстоянием множества К до дР. < Так кгк гвен Р, то любая функция ) еи Р в окрестности го представляется рядом Тейлора 1(г) = Х са (г го) 1В1=О (4) 1 д'~'~ ( где св= — — ~ . Но так как го~К и класс Р(-устойчив, то Ы дга Р т. е, оценка производных в точке г' сводится к их оценке на К. Выберем число «,<«и обозначим через К" замыкание «нраздутия множества К (т.
е, объединения всех поликругов У(г, «,), г еи К). Так как Кьа с: Р, то г ограничена на нем, мы обозначим М1( ) =И1~ке,Р. (6) 24 Б. В. Шабат АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ~ГЛ. !П зто Если г ~ К, то (7(г, г,) ~ К ', и для оценки производных в праьа вой части (5) мы можем воспользоваться неравенствами Коши (п, 7): 1 ~ д) )г' М)(Р) Ы ~ дг~ г|1 Теперь выберем любое г <гб для произвольной точки е еи (7(гь, гз) имеем )ь) (,( — ')')«м,(.,)( —,") (7) откуда видно, что ряд (4) сходится в поликруге (7(гь, г,). Так как числа г, и ге можно выбрать сколь угодно близкими к г, то (4) сходится всюду в (7(г', г).
Этот ряд и дает нужное голоморфное продолжение функции ) > Доказанная теорема сразу приводит к необходимости Р-выпуклости для областей голоморфности в следующей форме: Теорема 3 (Бенке — Штейн). Если Р~С" является областью голоморфности некоторой функции )' из й-устойчивого класса Р, то она Р-выпукла. м Возьмем произвольное множество К е= =Р и обозначим г=р(К, дР).
По теореме 2 функция ~ продолжается в г-раздутие множества К„, а так как 7 по условию не продолжаема за пределы Р, то это раздутие принадлежит Р и, значит, К„сР ь В частности, выбирая Р=Н(Р)(этот класс, очевидно, й-устойчив), получим, что любая область голоморфности является голоморфно выпуклой. Объединив этот факт с отмеченным выше следствием теоремы 1, получим окончательный результат: Т е о р е м а 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
