Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 64
Текст из файла (страница 64)
„...Л(тгл Лс(г ), во У где с(г=((г! Л ... Л дг„. ') Очевидно, !(г Л !(г! Л....Л !(гл с(г! Л. ° .. Л !(гл Л !(г, као сделанная перестановка четная (она никлвчная нрн нечетном числе индексов). 22л иг!ТГГРиговхн!4в [гл. и 340 При и = 1 эта формула переходит в интегральную формулу Коши: дэ да и поэтому ее можно рассматривать как обобщение последней. Как и в последней, интеграл в формуле Мартинелли — Бохпера берется по всей границе области О, которая предполагается состоящей из одной или нескольких гладких (2и — 1)-мерных поверхностей. Введя сокращенное обозначение для формы Мартинелли — Бохнера л !д(1, г)= (з„,уг~~~, ( — 1)' ' ~~',рл А! Л,,, ЛМл/'«'1~, (О) У=1 мы будем записывать формулу (8) в виде 1( ) = ~ 1(~) !д (1, г). (10) до Отметим еще одно свойство формулы Мартинелли — Бохнера, которое роднит ее с интегральной формулой Коши: вне б пра- вая часть этой формулы обращается в нуль.
Это утверждение следует непосредственно из формулы Грина (5), примененной к области 1т (шар из Р выбрасывать теперь не нужно, ибо д непрерывна в г1). Таким образом, для любой функции 1ен Н(кт) имеем ~ 1(г) при г~ 1), ~ ! (ь)0>(ь, г)=1 О при зяб"', О. В частности, для гФ д!л ) !д(ь, г) =х(г), дэ (11) (12) где )((г) — характеристическая функция области В. Остается переменить обозначения: вместо г=-О мы возьмем фиксированную точку ген й, а точку интегрирования на дь! обозначим через ь. Тогда мы получим искомую формулу Мартинелли — Бокнера! п 1(~)= (2„бл ~ ~©~~ ~~ рлС,— гу)д(~! Л,.
„° Л!(~лЛсф. (8) да т ! ч ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 341 Для тех, кто знаком с понятием обобщенных фуннпий, укажем, что дифференциал формы Мартинелли — Бохнера (по переменным ьт, ьт) обладает свойствамн ь-функции. В самом деле, при й ть 2, очевидно, пуо(ь, 2) = О, а зри й = г этот дифференциал не существует. При этом для любой областн Р, содержащей точку г, имеем ) ы(ь, г)- ~ Ны=! дп о (мы формально применили формулу Стоиса), и интеграл по Р здесь можно заменить интегралом по всему пространству, нбо лы = О при й Ф г. Если формулу Мартинелли — Бохнера (10) переписать в виде (2) — ~ л ()ы) = ~ ! (ь) пы (ь, 2), о (13) применив формально к ее правой части формулу Стокса (мы польауемся здесь тем, что л()ы) о! Л ы+(аы = )лю в силу голоморфности ), а снова ааменяем интеграл по Р интегралом по всему пространству), мы увидим, что (13) сводится к воспроизводящему свойству б-фуикцяи.
В заключение приведем общую интегральную формулу, полученну1о Ж. Л е р е и названную им формулой К о ш и— Ф а н т а и ь е. Мы излагаем простой вывод этой формулы, который нам сообщил Г. М. Х енкин. Обозначим л б(гн) = Х ( — !)' ' ы',г(ю, Л .... Лс(гп„(!4) т 1 н рассмотрим в пространстве С" (г) Х С" (ы) дифференциальную форму степени 2П вЂ” ! , (, „( — 1)1 б(щ) Лиг (! 5) (3 йл (,)л где, как всегда, г(2 = с(г, Л ...
Л с(г„и л (г, В) = ~~'.~ гтв,. (!6) т-! Эта форма имеет особенность на поверхности второго порядка (2, эн) =О, а в остальных точках пространства она замкнута в самом деле, л (л — 1)1 лы Л лг и (3 г()» (2 ю)л (2 Непосредственно проверяется, что 6 (гп) = в~ д ( — а'1 Л... Л с(( — "" ) интеГРНРОВАниБ (гл. и 342 и вообще 5(в) =( — 1)' 'в~ ь(( — ) Л .. Л д~ — "), а отсюда видно, что форма ьл зависит лишь от отношения переменных в, к одной из ннх.
В частном случае, когда все в, = г„ т. е. вектор-функция в .= г, форма (15) совпадает с формой Мартинелли — Бохнера с особенностью в точке г = О. Поэтому, в силу доказанного выше, для любой функции 1, голоморфной в области 0~С", которая содержат точку г = О, и непрерывной в 0, мы имеем (и — 1)! ) (( ) б(2) Л ег (2айл,) (г г)л ао Вывод формулы Лере основан на том замечании, что величина интеграла в формуле (17) не изменится, если заменить в ней функцсио в = й любой другой гладкой вектор-функиией в = Х(г) такой, нто (г, Х(г)) Ж 0 для всех ге='д0. Для доказательства этого утверждения рассмотрим в про- странстве С" (г) Х Ск(в) два (2н — 1)-мерных цикла у,=(ген д0, в=г) и у=(г~д0, в=х(г)).
Покажем, что на этн циклы можно натянуть 2н-мерную пленку о, не пересекающуюся с поверхностью особенностей 5=((г, в)=0) формы (15). Для этого, пользуясь тем, что (л зависит лишь от отношения переменных в„впе 5 заменим (г, в) переменными (г, га), где га = — (э=1, ..., а). вт (2, Ю) Простой подсчет показывает, что ьл(г, га) =, я б(со) Л г(г, Так как по условию уь и у не пересекаются с Я, то на этих циклах (г, в)=1. Если соединить теперь точки (г, — 1 и р( ) г, ' ) прямолинейным отрезком цг, (1 — 1) —,+ т Ой (т ( , х (г)) 1 1 г( +г ) ), 0-(в-1~, то во всех точках этого отрезка х (г) ( , х (г)) ' также будем иметь (г, гь) = 1.
Совокупность таких отрезков для всех ген д0 и образует нужную пленку в, Так как да=уз()у и на а форма (15) замкнута, то по формуле Стокса ) (1-1 ()= ) и=) й()=0, т, т аь а ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 343 и наше утверждение доказано. Из него следует, что (и — 1)1 ( )( Ь(Х(я)) Л дз 12кй" „) ) (з, х( ))" ао для любой Х, удовлетворяющей поставленным выше условиям. 11ам остается лишь переменить обозначения так же, как в случае формулы Мартинелли — Бохнера, и мы получим общую ф о р м у л у Л е р е: для области 0 ~ С" с кусочно гладкой границей д0 и любой гладкой функции Х,(ь) такой, что (ь — е, )(,(ь))ФО на д0 для всех а~0, любая функция 1', голоморфная в 0 и непрерывная в 0, представляется интегралом ( -1)1 1)(ид(х,(и) да~ (2."и)" ) (ь — з, Хз (ь))" (18) (мы пишем Х, ©, чтобы подчеркнуть, что выбор функции у.
может зависеть от точки г). Выбирая различным образом функции Х, из формулы (!8) можно получать различные интегральные представления. Пусть, например, дана выпуклая область 0=(гя е,'": ф(г)(О), (19) где ф — действительная функция класса С', причем Ч~р = = ( —, ..., — ) ~ Она границе д0 этой области (ср= О служит дм дм) , дг, ' дсе ) уравнением д0). В каждой точке Ь ее д0 можно взять (2п — 1)- мерную касательную плоскость в л ~)' (,-~,)ф~',»' (,— ~,)ф=к, дчч ~т ч 1 т-1 (20) а в ней выбрать (2п — 2)-мерную аналитическую касательную плоскость и ,~~ (е,— ь,) дт = О '). (21) ') Если выполняется уравнение (21), то, переходя к комплексно сопряженным величинам, мы получим, что ьтм(зт — Ет) — =0 (для действнтель.й ° иых Ф имеем ~ — ) — ), т.
е. что 12!) =,='>(20); это и означает, что ана- 1 д~р ! ду 1 (, дЬ) даат )' литическая плоскость (21) принадлежит плоскости (20). иитеГРиРовдиие !ГЛ. 1! Выберем в качестве функции Х градиент по комплексным пере- менным Ь, т. е. положим Х(~) =!!!У!р. В принятых условиях (22) не обращается в нуль при фиксированном ген Р и ~, пробегак>щем дР. Поэтому справедливо представление (18) с такой функцией у; по сравнению с формулой Мартинелли — Бохнера оно имеет то преимущество, что в таком представлении ядро г о л о и о р ф и о зависит от параметра г.
л П ри мер. ддя единичного шара в Сл имеем !Р(1) = У, альт — 1, Р!Р= ее т-! (; — г, г)=1 — ~З~ т г, иовтому формула Лере ддя шара вРиии- мает ввд л ~з ( — !)' !Ь 1,ут ..,-, л т, !!11-Н 1 — ~ ьтат т=! При л=! она переходит в иитеграаьную формулу Коши ддя единичного круга. 1(г) — я! ) НЮ ! 1!11-П 3 а м е ч а н ие. Ядро формулы Лере имеет особенность в тех точках ьевС", где (ь — г, Х,(~))=0.
В случае Мартинелли— Бохнера особенность имеется лишь в точке !", = г, однако в общем случае могут иметься и другие особые точки вне б. Поэтому в общем случае интеграл Лере не равен нулю вне области Р, как интеграл Мартинелли — Бохнера. 17. Теорема Севери. Сейчас мы хотим проиллюстрировать применение формулы Мартинелли — Бохнера. Докажем с ее помощью одну важную теорему, выражающую условия, при которых заданная на границе области функция голоморфно продолжается в эту область. Теор ем а ! (Се вери).
Пусть дана область Р ййС" (п> 1) со связным дополнением и с гладкой границей дР = о; на о пусть задана функция !' ы С'. Для существования функции !'Еи Н(Р)() С'(Р), граничные значения которой совпадают с ~, ИНТЕГРАЛЬНЫГ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке Ьенб д) Л д~1 =О, (1) где с(ь = дь! Л ... Л с(ь ° < Необходимость условия (1) доказывается просто. В силу того, что )енН(1)) ПС!(с~), в каждой точке ьееб выполняются условия — = О, т = 1, ..., п (мы воспользовались тем, что ау дь д1 )=) на 5, что ==О всюду в О и что эти производные псдс прерывны в Т)). По теореме об ннвариантности дифференциала (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
