Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Мы предлагаем несколько упрощенный вариант этого примера. Возьмем линейное отображение А: (гь г2)-1.( — ф, — ') и рассмотрим функциональное уравнение 1р(з) = 41р(А з) — 31р (Аз), (2) где г = (ги а2) н А2 (з) = А о А (г) = ( — ', — 2) . Покажем прежде всего, что (2) имеет голоморфное решение вида % (з) а! + з2+ ~х 1 пйз з1+ з2+ ф (з)' (3) (А(>2 Для этого заметим, что ф удовлетворнет уравнению ф (г) —. 4ф (Азз) = — 3 ~ ', ' + ф (Аг)), (4) $ 3( а +т(Аг)) ~<<3( ' 2+4$)ф(г)Ц), а при исследовании последнего воспользуемся методом мажорантных рядов.
Мы будем писать ~~ ахз" <<,~, Ьхзх, если (аз )~() 122 ) для всех э (и говорить тогда, что второй ряд а1ажорирует первый), и обозначим ~~;~~азз~~~= ~(аь)г". Имеем ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 542 следовательно, ( ! 2 2яф()зу' (5) Пусть У(г)= ' ' — якобиан этого отображения„сравним д(УР Уз) д (23 22) его с якобианом отображения к (г) = ! (Аг) (!а(г), 4 ~~ (г) + 4 )2(г)) (7) (мы воспользовались уравнением (2)). Так как при комяознцин отображений их якобианы перемножаются, то из (7) о ! д(гь гз) 1 д((ь !2) ! у(г) ( ~ з) — — У ( 1 3) 4 2 2 ~ а из того, что а (г) =у(Аг),' получаем д(гь аз) у( 1 ) д(АН Аа) 1 у(А ) д(яь аз) д(яь зз) 4 Мы получили, что У(Аг)= У(г), откуда находим У (А "г) = У (г), где А" — п-я итерация отображения А.
Так как 1пп А"г = О для я -ь любого г ев ь,а, то У(г) = У(0) = сопз(. Но в окрестности начала, ') Лля доказательства можно воспользоваться индукцие» по ~ я(=п, заметив, что (5) оценивает иозффнциеит разложения ))ф(2)!) ~~'~„ааа» я 2 с фиксированным 121 через коэффициенты с не иьш н ми значениями )а!. Рассмотрим теперь вместо (5) уравнение 2 ())' оно имеет решение Ч'=2(1 — У вЂ” )УГ-2У)= Х бяУЯ, где бя>О и ряд сходится в окрестности У = О.
Нетрудна видеть, что ф(г) «Ч'(г,+гя) '), поэтому ряд для ф, а значит и для ~р, сходится в окрестности точки г = О. Но из уравнения (2) видно, что если Ф галоморфна в бикруге ( ~ г,)<», ~ г21<»), то она аналитически продолжается в бикруг ()г,)<2», 1221<2»), а отсюда следует, что ~р — целая функция. Покажем, чта искомое отображение (.:2 можно взять в виде У=(УН Уз), где У! (г) = чр(г), (2(г) = ~р(Аг).
(6) АВТОЫОРФизмы пРОстеЙших Овл»стен 543 как видно из (2), Гз(г)=г,+гз+ ° ° й(г)= — — '+ — '+ ° . е е ' * поэтому У(0) 1 н. следовательно, У(г) 1, Отсюда нетрудно заключить, что ( — гомеоморфизм. В самом деле, пусть, от противного, )(а)=)(Ь). где а~Ь-точки Оз Тогда имеем р(а) ~р(Ь), ~р(Аа) 4р(АЬ); но с учетом (2) отсюда следует, что и ~р(А'а) у(А»Ь), а это вместе с последним соотношением дает ) (Аа) =1(АЬ). Итак, 1(а) =1(Ь) = р((Аа) =1(АЬ), и итерированием мы получим 1(А"а) = 1(А" Ь).
Но отображение 1 локально гомеоморфно, ибо У(г) чь О, а А"а и А"Ь прн достаточно больших и сколь угодно близки к началу, и мы пришли к противоречию. Остается показать, что 1 принимает не все значения из (.2. Прежде всего, ясно, что 1 не принимает значения (1, 1). Действительно, если бы в некоторой точке г было у(г)=1, 22(Аг)=1, то из (2) мы получили бы, что в этой точке и <р(А»г) =1. Таким образом, нз 1(г)=(1, 1) следует, что и 1(Аг)=(1, 1). Итерированием найдем. что н )'(А~г) =(1, !) для любого )2=1, 2, ..., откуда в пределе следует равенство 1(0, О) (1, 1).
Но у иас 1(0, 0)=(0, 0), и противоречие доказывает утверждение. Более того, 1 не принимает ни одного значения из множе- 5 ства Е ~(аи аз): !а,( з —, (а»1 з(а,!~. В самом деле, пусть в некоторой точке г имеем ~р(г) = пи чз(Аг) =а,. Из (2) тогда следует, что е(2)+зчР(лз) и, +з»', 4р (А2г) и, далее, что итерации 1(Аг), )'(А'г), ..., 7(А~ 'г) соответственно равны (аз, аз), (аз, а4) ., (а„, а„4), где а, +За» 2 а»„= 4 (й=2, 3, ...). Из этих соотношений следуют неравенства сгл. и! ГолОмОРФные ОтоеРАженсся В44 из которых для любой точки а =(а„а,) ~ Е сначала при >с=2 получаем ал1 3 ! 3 5 1 — '~) — 1аз( — ) — — — — = 1, сас ~ затем при !с = 3 ! ~~~ 4 !аз~ 1 а, и вооб>це ! — "" ~) 1 для всех 1=2, 3, ... Таким образом, птель рации 1(Аьг) не могут сходиться к точке (О, О) при й- со, и, значит, точка а не может приниматься отображением 1.
Множество Е, очевидно, имеет полную размерность, и, зна- чит, пример Фату показывает, что для аарья целых функцсссс' (с отличным от нуля якобианом, т. е. функционально незави- симых) не имеет места ни аналог теоремы Пикара, ни даже теоремьс Сохоцкого. В пространстве, как и на плоскости, можно рассматривать линейные преобразования ш; = а„'~г„+ Ь„(т = 1, ..., п), и=С которые можно записывать в виде ис= Ах+ Ь, (8) где Ь =(Ь„..., Ь„) — вектор, а асо ...
ао> ' с ''' л А= а(л> а ив — квадратная матрица. Линейное преобразование (8) называется невьсрожденным, если определитель де1А Ф О. Совокупность невырожденных линейных преобразований в С", очевидно, составляет группу автоморфизмов этого пространства. Однако в пространственном случае, в отличие от плоского, она является лишь подгруппой группы всех голоморфных автоморфизмов (см. пример в начале пункта). Добавление вектора Ь геометрически означает сдвиг, а преобразование ш = Аг, (9) которое на плоскости сводится к растяжению с поворотом, в пространстве имеет несколько более сложный геометрический лвгомоиоизмы пностаяших овллстип 848 характер. Напомним основные свойства таких преобразова- ний '). Пространственным аналогом поворота является унитарное преобразование, т. е. преобразование (9), матрица А которого удовлетворяет условиям (О, р~,, А = ~та"'а<!'=~ (1О) Н=~ (9, и= 1, ..., и).
Так как из (9) мы имеем и то (9) в том и только том случае является унитарным, когда оно сохраняет длины векторов (т. е. переводит сферы ((г ~ = Р) в себя), Доказывается, что в С" существует ортогональный и нормированный базис, в котором унитарное преобразование сводится к повороту в каждой координатной плоскости; г,-эв™тгт (и= 1, ..., и), Пространственным аналогом растяжения является положи- тельно определенное преобразование.
Так называется линей- ное преобразование (9), для которого (Аг, г)= ~~'.~а„"'г гт)О, а~" =а',"~, (11) и,т для всех г~С" и всех р, и=1, ..., и. Такое преобразование переводит сферы (~г~= Я) в эллипсоиды, причем в С" суще- ствует ортогональный и нормированный базис, в котором оно сводится к растяжению в каждой координатной плоскости: г,— р, ° г, (р,- О, и=1, ..., и). Напомним, наконец, что любое невырожденнов линейное преобразование (9) можно представить в виде композиции не- вырожденного положительно определенного и унитарного пре- образований (или, чтотоже самое, любую матрицу А, бе1А=Ф=О,— в виде произведения положительно определенной матрицы Н, для которой бе1тт' = бе1 А, и унитарной матрицы 0: А = Нс)).
Это представление аналогично разложению плоского преобра- зования г-+аг на растяжение и поворот (или, что то же са- мое, представлению числа а в полярной форме: а =рг'и). Невырожденные преобразования (9) образуют группу, кото- рая, очевидно, зависит от пи комплексных, т. е. от 2пт дей- ствительных, параметров. Унитарные преобразоваяия состав- ляют ее подгруппу, которая зависит от и' действительных '1 Си.
И. М. Г ель фанд, Лекции но линейной алгебре, Гостехиздат, М. — Л., 1948. 35 В, в. Шабат ГОЛОМОРФИЫГ ОТОБРАЖЕНИЯ !Гл. ч! параметров (в самом деле„условия (10) содержат п(л — 1)+ + я=!!2 действительных равенств). Такую же подгруппу составляют и невырожденные положительно определенные преобразования. В заключение несколько слов об автоморфизмах компактифицированных комплексных пространств. Как известно, полную группу автоморфизмов замкнутой плоскости С составляют аг+ Ь невырожденные дробно-линейные преобразования г-+ сг+а а!1 — Ьс Ф О. Для пространства теории функций С" их аналогом служат преобразования г,— > ' ' а' (а,г(,— Ь,с, ~ О, т= 1, ..., и), (12) сагт + ас (13) (условия невырождения мы не выписываем; условие пропорциональности всех знаменателей формул (13) — мы их берем даже одинаковыми, включая множитель пропорциональности в числители, — необходимо для того, чтобы обратное отображение не содержало квадратичных членов).
50. Автоморфизмы некоторых областей. Начнем с изучения групп автоморфизмов простейших областей в С" — шара и поликруга. Мы убедимся в том, что для них и в пространственном случае все автоморфнзмы являются дробно-линейными преобразованиями. Таким образом, пространство С" при и > 1 существенно отличается от этих областей — его нельзя рассматривать как шар или поликруг бесконечного радиуса. а) Ш а р В =(г ~ С": ~ г ~( Ц. Сначала рассмотрим семейство дробно-линейных (проективных) автоморфизмов.
Зададнм точку а=(аи ..., а„), переходящую при таком автоморфизме в начало, тогда формулы (13) предыдущего пункта (в несколько иных обозначениях) можно переписать так: ч! а!'! (г — а ) ~~а„а а (т=1, ..., и). ~~ ряга+ т Р ! а для комплексного проективного пространства ('" — невырожденные проектнвные преобразования ~аа~н+ т (я г, (Т=1, ..., и) 'С! <а+ !! а г+Ь в-.
! хвтомогензмы пгостепшнх оглхстгп Уравнение прообраза сферы «~ и! ~= 1) при этом отображении имеет вид Н ю ( в Х (А„,— Ь„О,.)г,г,-2йе Х~М„+ ХА„,а, гн= жэ ! !!=! э ! =!у!' — ~ А „а„а„ ч я (2) где А„,= ~2! ам>а<ь!. Мы должны рассмотреть такие отображе- Ф! Н э' ния (!), для которых (2) является уравнением сферы (~г ~ =1).
Условиями этого служат А„,=й„1, (р~ т41 р, =1, ..., и), А„„— ~Рч!з=!У~з — ~! А!(а!а( (1!= 1, ..., п), л ф,+~Ая,а,=О (р=1, ..., и). э 1 (3) ю„= 2 а"'г (у=1,... (4) ъ !! < для которых ~!а,'ма~,'~=6„,. Уравнения (4) содержат 2и' действительных параметров, а условия унитарности накладывают п' связей, поэтому рассматриваемая подгруппа зависит от и' действительных параметров. Пример. Выпишем для автоморфизмов единичного шара в С' формулы, в которых участвуют лишь независимые пара- Подсчитаем число независимых параметров, определяющих рассматриваемые отображения (1). Числитель и знаменатель каждого из уравнений (1) можно разделить на одно и то же число (например, положить в них у = 1). Поэтому отображение (1) зависит от пз+2и комплексных, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
