Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 107
Текст из файла (страница 107)
предыдущий пункт). Отсюда ! и К (ш) =! п К (х) + ! и 1' (х) + 1п 1"' (з), Формула (б) показывает, что величины д' !и К Ка аР дга дга (7) при голоморфизмах меняются по тензорному закону н м „„„ дифференциальных форм бистепени (1, 1) (см. п. 10) О п р е де л е и и е. Дифференциальная форма а нар <" га йгр (8) где коэффициенты вычислиютсЯ чеРез кеРнфУнкцию обла по формулам (7), называется формой Бергмана для этой ласти').
Эта форма инвариантна относительно голоморфнзмов области .О. Т е о р е м а 2. В любой области 0 с: С" ограниченного вида форма Бергмана (8) является эрмитовой и положительно оп деленной. и Эрмитовость формы выражается равенствами и «А=Орю которые вытекают непосредственно из (7), если учесть, что К(г))0. Положительная определенность означает, что для любого вектора е< ен С", е< ~ О, в любой точке г~ Ь й«ае< ет > 0.
(9) а, р=< Для доказательства этого неравенства ееен С"" (О), и ев О, рассмотрим множество мы фиксируем л г=(» <<<а»»<.<-«,~~»'а <) а-! и покажем, что ппп !! <р ~Р = 1 емй К ~ я«ашафз «,р где К н д,з вычисляются в точке г. (10) ') В выражении формы Вергмвнв мы рассматриваем не внешние, а обы»<- иые произведения дифференциалов. 36 в. в. шабат ИИВАР<<А!<ТНАЯ МЕТРИКА % <и 661 где К'(ш)=Ко (ш) и дифференцирование с учетом голо ности 1' дает е ом голоморф дт !п К* -< дт <и К дга дг да<адм» ~4 дга дар дша да» (6) а, а=! ГОломОРФные ОтопРАжения [Гл. ш бб2 Выберем в .0 какую-либо полную ортонормальную систему (юа), и пусть ф= ~~'.,а сра.
'Тогда варпационная задача (1()) сведется к отысканию ппп ~! ан(з при условиях (! 1) оза а 1 (зпачениЯ ~РР и их пРоизводных беРУтсЯ в точке е) пРеделы суммирования по )ь мы опускаем). Задача имеет единственное решение (это доказывается, как теорема 1 из предыдушего пункта), и для его отыскания мы воспользуемся методом множителей Лагранжа. Возьмем вспомогательную функцию сР(о) =~~й а б — )ч Ъ а„<рв — ) ~ п„~~~ — вю„ а и заметим, что условия ее экстремума имеют вид') — — пв — )ЯЯ,— ) У( ~ ю,=() ()ь=1, 2, ) (12) Отсюда следует с учетом (11), что для экстремальных значений а„ ~ а а„= )ч,~~ а ~ри + йт ~ аа ~~ —" ю„= йэ. а Чтобы найти Ат, мы подставим значение аа из (12) в условия (!!): й,~ ф„+),'~'"~' — "' ф„.=б, а а а,б Коэффициенты этой системы выражаются через К = ~с~ ф„ф„и ее производные; решая ее, мы найдем а,а ') для доквззтельствв нужно подставить а„- а„+ 1ра, рззделнть действительные и мнимые части условий (11) и приравнять пРоизводные по аа и ()Р соответствующей вспомогательной функции; (12) выражают комплексную запись этого.
% 17! инвАРиАнтнАИ метРиКА Остается заметить, что д'!аК ! д'К ! дК дК Ь'аа дга дга К дга даа К дг» даа и поэтому Ха совпадает с правой частью (1!)) ь 3 а м е ч а н и е. Положительная определенность формы Бергмана, выражаемая неравенством (9), означает (строгую) плюрисубгармоничность функции 1пК (см. п.
25). Этот результат сильнее теоремы Ч предыдущего пункта, ибо из плюрисубгармоничности логарифма функции следует плюрисубгармоничность самой функции, а обратное неверно. На основании теоремы 2 в каждой области 0 с: С» огра ииченного вида можно ввести риманову метрику » (13) а, а-! по доказанному выше инвариантную относительно голоморфизмов. Эта метрика называется метрикой Бергмана. Примеры. Для поликруга 1! (~г,~<г,) по формуле (14) предыдущего пункта метрика Бергмана определяется формулой .,("-1"!') (14) Эта метрика инвариантна относительно конформных отображений и, в частности, не меняет своего вида при конформных автоморфизмах круга, т.
е. дробно-линейных преобразованиях !! !г — а) еа = е!е: имеем т! — аг 1дг1 ! дм ! г! — 1г !' !! — ! Ра 1! ' Геометрия, определяемая этой метрикой, является геометрией Лобачевского; движениями в ней служат дробно-линейные автоморфизмы круга (они не меняют расстояний). Для шара В = (!г ~ < Й) по формуте (15) предыдущего пункта Ъ1 гага ига '!га "=("1)',, !.+ ~~ .15). (15) а, !1=! Зба где !(г, а!г, = а!ха'+ г(уа = ! !(г, 1'. При и = 1 в круге Дг1< г) по- лучаем так называемую гипербола!еекую метрику ГОЛОЛ!ОРФНЫЕ ОТОГРАЖЕННЯ 664 !Гл. щ < Возьмем функцию тевС" (У), равную единице в(р(г, ~)<б), нулю в окрестности дУ и такую, что 0(т(! всюду в У; будем считать, что т, определена всюду в 1:" и равна нулю вне У.
Для любой функции ~енйь(Р') и любого натурального р можно найти функцию !рне ьг(0) так, чтобы 3=ха' — р (2) была голоморфной в 0 (мы считаем, что Цу» определена всюду в 0 условием, что она равна нулю там, где т= О). В самом деле, условие голоморфности и в 0 равносильно условию, что там д!р = 1д» дХ, (3) а так как форма в правой части, очевидно, замкнута, а 0— область голоморфности, то по теореме 2 Хермандера п. 39 существует решение !р с оценкой !г ду ( С ~ ( у> ~ гд)т (4) где 1дг1'= ~~З~1дг,(г.
Из сравнения (14) и (15) можно еще раз а=! сделать вывод о невозможности биголоморфного отображения шара на поликруг. 53. Поведение кернфункции на границе. В этом заклгочительном пункте мы приведем результаты Л. Хермандера, относящиеся к поведению кернфункции области голоморфности на границе области. В их основе лежит утверждение о локальном характере зависимости от области граничного поведения ее кернфункции, которое выводится из теоремы существования Хермандера (п.
39). Т е о р е м а 1. Пусть 0 ~ СЯ вЂ” ограниченная область голоморфности с границей д0 класса С'. Пусть еще точка ~ ен д0 обладает окрестностью У такой, что в 0'=0().У существует голоморфная функция д, которая илгеет пик в точке Ь в следующем смысле: 1) ~ д(г)~(1 в Р', а знр1д(г)1 <1, где »ФО" О» =(геи0': р(г, ь) >б) иб>0 достаточно мало; 2) 1нп( у(г)~ =1. . со' Тогда кернфункции Ко и Ко областей .0 и 0' имеют в точке Г одинаковое граничное поведение, т.
е. К йй 1пп 1 —— 1. (1) гяо' ИНВАРИАИТНАЯ МГТРИКА 565 где С вЂ” постоянная, зависящая только от выбора функции к (мы учли, что д11= 0 в й ~ й"). При любом заданном з>0 мы можем выбрать р столь большим, чтобы в Т1" было !Д!" Св(,'+ (б) и тогда будем иметь ) ! Ь-)а' !з Л'= ) !(Х-1) М' — Ч !' 11' == в в' < 2 ~ (! Р !'+ (1 — Х)'! Га' !з) Л' -= ~(2(С+ 1) ~ ! ~й» !Ткач/:к ак ~ ! ~ !Як!)l (мы учли (4) и то, что Х 1 в 1)' 'к,О"). Так как Ь вЂ” )йк ~ Л,', (р')„ то в силу неравенства (17) из и. 51 отсюда следует, что для любой г ен Р' ! Ь(г)-((г)а'(з) !'(Ки (а) з'~ !) !'Л' о и поэтому ~ к юга*и ~ к и Р -.
! к. и ! к к а !"', в Выбирая в качестве 1 экстремальную функцию, для которой Ц(.) !'-К'(з) ~ Ц! а о (см. п, 51), получим, в частности, для соответствующей Ь ! Ь(г) !') Кв (г) (!д(г) )Р— е)')г !1!Як5'. (6) З (1~кккк!'*(! 1~~ккк)т" к(к ! Нк'Ккк ~"'~(1+.)! ! > Ичк !" вк 1и С другой стороны, по неравенству треугольника, а также (2), 4) и (5) мы имеем ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРйЖЕН!ТЯ !ГЛ. Ч! ~ а!и,~1! ! а е о Так как кернфункция не возрастает при расширении области, то Кр(г)(КО (г), и утверждение теоремы следует из того, что ~ д(г) ~ — +1 при г-+Ь ~ Доказанная теорема позволяет получать локальные оценки кернфуикции при помощи замены области элементарными областями.
Для наших целей в качестве элементарной области удобно взять эллипсоид и Е= ген С": ~ а,~г,)з(аз > т-! (7) где а,>0, Ф= О, ..., и. Биголоморфное отображение /а, — — )! — 'г, преобразует Е в шар В = Цг ~(Я); пользуясь ет выражением (19) и. 51 для кернфункции шара и законом ее изменения при биголоморфных отображениях (см. (5) п. 52), получаем Ке(г) = — „' (8) ! и ии — ~ аи!гир и ! Придадим этому результату иную форму. Именно, рассмотрим вместо (7) область б= ге=С": 1тпг„> ~ а„,гзг„ !1, и=! (9) где билинейная форма эрмитова и положительно определена; через Л=(а„„) мы обозначим матрицу этой формы и через 'Л вЂ” эту же матрицу с вычеркнутыми и-й строкой и и-м столбцом.
Унитарным преобразованием переменных 'г (которое не меняет кернфункции) мы можем привести матрицу 'Л к диаго- (мы учли, что Х=О вне В'), откуда, пользуясь оценкой (6) и экстремальным свойством керифункции, находим для любой ген й' инвхя!!Антпая ЧБТР!жА % !и ввт нальному виду, поэтому с самого начала можно считать, что Я! ...
0 ал Л= 0 .. Я'а-! ал-!, л ал, .,. ал л, ал„ где Я»)О, т=1, ..., и — 1. ала Если теперь сделать еще преобразование г + — г а ха г„((!=1, ..., и — 1), г„— аг„, с определителем 1 и поэтому также не изменя!ощее кернфункцики то в новых переменных матрица Л рассматриваемой билинейной формы будет иметь диагональный вид, причем элемент в последней ее строке Я.„) 0 (мы учитываем, что а„л = ал„). В новых переменных 6 записывается неравенством 1гпге) л > ~~ а,)г,!', которое в силу просто проверяемого тождества »'= ! ! !2 1т г — Я. ! г ! = — — а ~ г — — ~, л "л а 4! л~ л л — ! можно переписать в виде,Г Я,~г,~ +~„~г„— ~ < 4 . Мы »=! видим, что 6 представляет собой эллипсоид, и по формуле (8) можем написать Х, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
