QML2 (1129442), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для этого преобразуем соотношение (4.16), используя метод интегрирования по частям с учётомтого, что V̂ (ξ, t) обращается в нуль при t = 0 и t = τ :τ Z τZ τ∂Vf i (t) ei ωf i t dt = ei ωf i t Vf i (t) −i ωf iei ωf i t Vf i (t) dt.∂t000{z}|0После сделанных преобразований вероятность перехода определяетсясоотношением2Z τ′ ∂1′i ωf i tWf i =(4.17)V(t)dtefi ,(ℏωf i )2 0∂tтакже содержащим интегрирование по времени, но уже от частной производной по времени матричного элемента оператора возмущения.Как видно, в соотношении (4.17) скорость изменения матричногоэлемента фигурирует вместе с осциллирующей экспонентой, что позволяет выделить два предельных случая «внезапного» и «адиабатического» возмущения.
С одной стороны, соотношение (4.17) содержитвеличину, определяющую характерные времена (T ∼ ωf−1i ) и энергии(E = ℏωf i ) для данной квантовой системы, с другой же – скорость изменения матричного элемента, характеризующую изменение внешнегополя, определяемого потенциалом V̂ (ξ, t). Нетрудно составить безраз-43мерный параметр β, определяющий режим «внезапного» и «адиабатического» возмущения:T ∂1 ∂β=Vf i (t) ∼Vf i (t).(4.18)E ∂tℏωf2 i ∂tЕсли β ≪ 1, т. е. внешнее поле изменяется достаточно медленно посравнению с характерными изменениями в квантовой системе (∼ E/T ),то говорят об адиабатическом возмущении; в противоположном случае,β ≫ 1, говорят, что возмущение включается внезапно.В случае адиабатического возмущения производная от матричногоэлемента является медленно меняющейся функцией времени и можетбыть вынесена из-под знака интеграла.
В этом случае интеграл по t′элементарно вычисляется, и мы имеем:24 ∂(4.19)Wf i ≈ 2 4 Vf i (t) sin2 (ωf i τ /2),ℏ ωf i ∂tпричем, ввиду адиабатичности перехода, значение производной можетбыть выбрано в произвольный момент времени, например, в точке максимального значения производной. Очевидно, так как β ≪ 1, то иWf i ≪ 1. Таким образом, вероятность переходов под действием адиабатического возмущения мала.Если включение возмущения происходит внезапно, то в значениеинтеграла (4.17) основной вклад дает малый промежуток времени∆t ≪ ωf−1i , в течение которого происходит максимальное изменениевозмущения.
В этом случае экспонента слабо изменяется за это времяи может быть вынесена из-под знака интеграла. Оставшийся интегралвычисляется элементарно, и мы имеем:2Wf i|Vf i (t0 )|≈,ℏ2 ωf2 i(4.20)где t0 – момент времени, соответствующий максимальному значениювзаимодействия при его внезапном включении.Соотношение (4.20) позволяет вычислить вероятности перехода поддействием внезапных, но малых по абсолютной величине возмущений.В данном случае малость возмущения необходима для выполнения общих условий применимости теории возмущений.
В некоторых случаях возмущение нельзя считать малым по абсолютной величине, такчто формализм теории возмущений становится неприменимым и задачу приходится решать точно. Рассмотрим пример задачи, для которойвероятность квантового перехода можно получить без использования44теории возмущений. Пусть система находится в одном из стационарных состояний ψm гамильтониана Ĥ0 .
В момент времени t = 0 происходит внезапное изменение гамильтониана, и далее он остается равнымĤ (оба гамильтониана явно не зависят от времени) 1 . Пусть {ϕn } —стационарные состояния гамильтониана Ĥ. Найдем вероятность переходов между состояниями ψm и ϕn . В момент времени t = 0 волноваяфункция может быть представлена в виде:Xψm =Anm ϕn ,(4.21)nгдеAnm =Zϕ∗n ψm d3 r(4.22)и определяет точную (без использования теории возмущений) амплитуду перехода в случае внезапного возмущения.4.4.Гармонические и постоянные возмущения.«Золотое правило Ферми»Важный случай представляют переходы под действием постоянногоили периодического возмущений, действующих в течение времени τ .Рассмотрим вначале гармоническое возмущение, оператор которого вобщем случае имеет видV̂ (ξ, t) = V̂+ (ξ) e−i ωt + V̂− (ξ) ei ωt ,(4.23)где V̂+ (ξ) = V̂−† (ξ), ввиду самосопряженности оператора V̂ (ξ, t).
Какмы увидим ниже, две части оператора V̂ (ξ, t) описывают два различных процесса, поэтому вычисления будем производить не для полногооператора V̂ (ξ, t), а для одной из его частей: V̂± (ξ, t) = V̂± (ξ) e∓i ωt .Подставляя явный вид операторов V̂± (ξ, t) в (4.16) и выполняя элементарное вычисление интеграла по t, получим:(±)Wf i (τ )242 sin [(ωf i ∓ ω)τ /2]= 2 |V±,f i |.ℏ(ωf i ∓ ω)2(4.24)По поводу выражения (4.24), которое формально является осциллирующей функцией времени действия возмущения τ , нужно иметь ввиду следующие соображения. В большинстве случаев гармоническое1Такая ситуация реализуется, например, при бета-распаде ядра, в результате которого заряд кулоновского поля ядра, действующего на атомные электроны, скачком увеличивается на единицу.45возмущение представляет собой монохроматический световой импульсдостаточно большой длительности τ ≫ Ta (по сравнению с характерными «временами движения» в квантовой системе, которые имеют порядок Ta ≈ ~/|ωf i |).
При малых временах t с момента включения импульса (t ≪ Ta ) вероятность перехода растет пропорционально t2 , чтодля случая монохроматического возмущения легко увидеть из (4.24),разложив квадрат синуса при τ ≪ Ta . Однако при τ ≫ Ta , что какраз и имеет место для случая реальных монохроматических импульсов(как, впрочем, и для большинства других типов нестационарных возмущений), вероятность оказывается линейной функцией времени, т.
е.пропорциональна длительности возмущения. Поэтому в таких случаяхдля описания квантовых переходов удобнее использовать вероятностьперехода в единицу времени или скорость квантового перехода Pf i ,имеющую размерность сек−1 и формально определяемую предельнымвыражениемWf i (τ )Pf i = lim(4.25)τ →∞τили эквивалентной ему формулой с производнойPf i =dWf i (t).dt(4.26)(±)Вычисляя производную по τ от Wf i (τ ) в (4.24) и переходя в полученном результате к пределу τ → ∞, находим:(±)Pf i =2π2|V±,f i | δ(Ef − Ei ∓ ℏω),ℏ(4.27)где мы использовали одно из предельных соотношений для δ-функции(см. приложение А)1 sin ax.δ(x) = lima→∞ πxНаличие δ-функции в (4.27) отражает закон сохранения энергии привзаимодействии монохроматического возмущения с квантовой системой: в первом порядке теории возмущений обмен энергией может осуществляться лишь на фиксированную величину — ℏω.
Таким образом,энергия системы может либо увеличиться на ℏω, и в этом случае говорят о поглощении кванта с энергией ℏω (соответствующая вероятность(+)определяется величиной Wf i ), либо уменьшиться на ту же самую величину ℏω, т. е. система испускает квант с энергией ℏω (соответствую(−)щая вероятность дается Wf i ). Более того, обмен энергией возможен,46только если частота возмущения совпадает с одной из частот переходав системе: ω = |ωf i | — так называемое условие резонанса 2 .Наличие δ-функции в (4.27) не должно приводить к недоразумению,поскольку она возникла в результате математической идеализации, если считать, что переход происходит между состояниями с точно фиксированными энергиями Ei и Ef . В действительности все возбужденныесостояния квантовых систем имеют конечную (хотя и малую) «ширину» (см. раздел «Спонтанное излучение» в след.
главе), так что в случае перехода в возбужденные состояния δ-функция «размазывается» вострую, пикообразную функцию; если же одно из состояний принадлежит непрерывному спектру, то ввиду непрерывности энергии физически бессмысленно говорить о переходе в состояние с фиксированнойэнергией; наконец, понятие строго монохроматической световой волнытакже является идеализированным (по крайней мере, из-за наличияестественной ширины линии излучения, следующей из классическойэлектродинамики).
Поэтому обычно рассматривается скорость перехода в группу конечных состояний с интервалом энергий ∆E = dE вблизиE = Ef , а число таких состояний записывается как dρ(E) = ρ(E) dE,где ρ(E) плотность состояний, т. е. число конечных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии.
Дифференциальная (посколькуdE мало) вероятность перехода в единицу времени в состояния из интервала ∆Ef получается умножением (4.27) на число таких состоянийρ(Ef ) dEf :2π2|V±,f i | δ(Ef − Ei ∓ ℏω)ρ(Ef ) dEf .(4.28)ℏТеперь δ-функция снимается суммированием этого выражения по всемконечным состояниям, удовлетворяющим закону сохранения энергии,т. е. интегрированием по Ef , и в результате полная вероятность перехода в единицу времени приобретает вид:(±)dPf i =2π2|V±,f i | ρ(Ef ), Ef = Ei ± ℏω.(4.29)ℏФормула (4.29) — одна из важнейших в теории квантовых переходов ичасто называется «золотым правилом Ферми».В случае постоянного возмущения (V̂ (ξ, t) = V̂ (ξ) при 0 6 t 6 τ )вычисления полностью аналогичны проведенным выше, полагая ω = 0.Поэтому выпишем окончательный результат:(±)Pf i =Pf i =2π2|Vf i | ρ(Ef ),ℏ2Ef = Ei .(4.30)Отметим, что в высших порядках теории возмущений становятся возможнымии многофотонные квантовые переходы с изменением энергии на величину 2ℏω, 3ℏωи т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
