QML2 (1129442), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Действительно, выражение (5.39) переходит в классическую формулу для интенсивности дипольного излученияпериодически движущейся частицей с дипольным моментом d(t) призамене матричного элемента df i на компоненту Фурье d(t) на частоте ω.PВеличину τ = 1/( f Af i ) (имеющую размерность времени) принятоназывать временем жизни возбужденного состояния |ii. Это названиесвязано с тем, что убыль атомов в состоянии |ii за время dt вследствиеспонтанных переходов в нижележащие состояния |f i дается выражениемXdNi = −(Af i )Ni dt,(5.40)fкоторое после интегрирования по t принимает видtNi (t) = Ni (0)e− τ .(5.41)Укажем, что для возбуждённых атомных уровней типичные временажизни составляют (10−8 − 10−9 ) сек−1 , в то время как для возбуждённых ядер они намного короче (∼ 10−14 сек−1 ), ввиду быстрого возрастания (∼ ω 3 ) скорости спонтанного распада с ростом частоты перехода.595.6.ФотоэффектРассмотрим теперь пример связанно-свободных переходов под действием внешнего электромагнитного поля.
Пусть электрон находитсяв связанном состоянии ψi с энергией Ei в потенциале U (r) и взаимодействует с монохроматической световой волной, поляризованной в направлении u. Если частота волны такова, что ℏω > |Ei |, то электронв соответствии с законом сохранения энергии при квантовых переходах (см. «золотое правило Ферми») может «поглотить фотон» и перейти в непрерывный спектр. В этом случае говорят о фотоэффекте,или фотоионизации системы. Если энергия электрона в континуумеEp = Ei + ℏω велика по сравнению с энергией связи (ℏω ≫ |Ei |), то онбыстро покидает область действия потенциала U (r) и вместо точнойволновой функции непрерывного спектра, которая зависит от явноговида потенциала U (r), можно использовать волновую функцию свободного электрона с импульсом p (нормированную на конечный объёмV ) 6.Следуя общим формулам параграфа 5.1., для фотоэффекта дифференциальная (по углам вылетающего электрона) скорость переходаопределяется соотношением:dP + =π 2E0 |(udi,p )|2 ρ(Ep ) dΩ,2ℏ(5.42)гдеdi,p = eZψp∗ (r)rψi (r) d3 r,1ψp (r) = √ e(i/ℏ)pr ;Vρ(Ep ) =V mp;(2πℏ)3Ep = p2 /(2m) = Ei + ℏω.Выражение (5.42) записано с использованием оператора V̂+ (r) в дипольном приближении (5.16), которое в случае фотоэффекта применимо вплоть до больших (но нерелятивистских!) энергий фотонов 7 .Преобразуем выражение для di,p , используя следующие преобразования:ZZe−(i/ℏ)pr rψi (r) d3 r = iℏ∇p e−(i/ℏ)pr ψi (r) d3 r = iℏ(2πℏ)3/2 ∇p ψi (p),6Такое приближение в теории фотоэффекта называется борновским по аналогиис борновским приближением в теории рассеяния, см.
Гл. 6.7 Отметим, что при дипольных переходах в континуум не нужно заботиться овыполнении правил отбора, поскольку состояние континуума с энергией E бесконечнократно вырождено по значениям орбитального момента l.60где ψi (p) — волновая функция начального состояния в импульсномпредставлении. В результате вероятность вылета электрона из атомас импульсом p в телесный угол dΩ в единицу времени может быть выражена через Фурье-образ волновой функции начального (связанного)состояния электрона по формуле:dP (+) = mpeE04πℏ2|u∇p ψi (p)|2 dΩ.(5.43)Полученные соотношения зависят от интенсивности падающего излучения I = cE02 /8π (или числа фотонов, проходящих в единицу времени через единичную площадь: N = I/ℏω), поэтому обычно вместовероятности фотоэффекта используют величину, нормированную на N(сечение фотоэффекта):dP (+)dσ =.(5.44)NРассмотрим в качестве примера фотоионизацию атома водорода из1S состояния.
В этом случае Фурье-образ волновой функции начального состояния определяется соотношением (получить самостоятельно):√Zπa38,(5.45)ψi (p) = e−(i/ℏ)pr ψi (r)dr =(1 + p2 a2 /ℏ2 )2где a – боровский радиус. Подставляя (5.45) в (5.43) и затем в выражение для сечения ионизации (5.44), получим:9dσ = 2 αax02ξ3|n · u|2 a2 dΩ,26(1 + ξ )(5.46)где x20 = ℏ/(mω), α = e2 /(ℏc) — постоянная тонкой структуры, ξ == pa/ℏ, n — единичный вектор в направлении вылета фотоэлектрона.Отметим, что с ростом частоты сечение фотоионизации быстро падает: действительно, для больших ω (ℏω ≫ e2 /a) имеем p2 ∼ ω, откудаdσ ∼ 1/ω 9/2 .
Скалярное произведение n · u в (5.46) показывает,что фотоэлектроны вылетают в основном в плоскости поляризации световойволны (где сила, действующая на них со стороны электрического полясветовой волны, максимальна).61Глава 6.Элементы теории рассеянияВ классической механике рассеянием частиц называется отклонение потока частиц от его прямолинейного распространения в результате взаимодействия частиц с полем V (r), образованного рассеивающимцентром (центрами). Количественной характеристикой для описанияпроцесса рассеяния является сечение рассеяния.
В классической механике дифференциальным сечением рассеяния называется отношениечисла частиц, рассеянных в заданный элемент телесного угла dΩ в единицу времени, к плотности потока падающих частиц (т. е. размерностьсечения совпадает с размерностью площади).
Удобство этой характеристики обусловлено ее независимостью от плотности потока падающихчастиц. С точки зрения квантового подхода, рассеяние частиц имеетвероятностный характер, т. е., вообще говоря, в этом случае следует говорить о вероятности рассеяния частиц с заданной энергией в элементтелесных углов dΩ.
Однако, несмотря на то, что в квантовой механикеотсутствует понятие траектории как таковой, для количественного описания рассеяния также используется понятие сечения рассеяния, хотяв этом случае оно не связано с классическими характеристиками, такими как прицельный параметр или траектория частиц. В этой главемы рассмотрим основы точной квантовой теории упругого 1 рассеяниячастиц на стационарном потенциале V (r), но вначале покажем, как решается более простая задача о рассеянии в рамках первого порядкатеории возмущений в общем подходе теории квантовых переходов.6.1.Рассеяние как квантовый переход в низшем порядке теории возмущенийПростейший анализ процесса рассеяния может быть выполнен, если использовать формулу (4.30) для вероятности квантового переходаэлектрона в непрерывном спектре под действием постоянного возмущения V̂ = V (r) (энергии взаимодействия электрона с рассеивающимцентром).
В качестве волновых функций начального и конечного состояния выберем волновые функции свободного электрона с импульсами1Напомним, что в результате упругого рассеяния энергия рассеиваемых частицне изменяется.62pa = ℏka и pb = ℏkb соответственно, нормированные на конечный объём V (объём квантования):1|ii ≡ ψpa (r) = √ eika ·r ,V1|f i ≡ ψpb (r) = √ eikb ·r ,V(6.1)причём |pa | = |pb | ≡ p = mv (m — масса частицы). Плотность состояний дается формулой (4.31), так что для дифференциальной вероятности рассеяния в единицу времени в малый элемент телесных углов dΩформула (4.30) даёт:Z22π m2 v−i(kb −ka )·redP (kb , ka ) =V(r)dr V (2πℏ)3 dΩ.ℏ (6.2)Как видно, это выражение зависит от способа нормировки волновыхфункций непрерывного спектра (выбора объёма квантования V ), поэтому, как и в классической механике, процесс квантового рассеянияудобнее описывать с помощью сечения рассеяния, определив его какотношение dP (kb , ka ) к плотности потока падающих частиц ja = |j a |.Вектор j a вычисляется обычным образом:ja =ℏkaℏ(ψp∗ a (r)∇ψpa (r) − ψpa (r)∇ψp∗ a (r)) =,2mimV(6.3)так что ja = v/V , нефизический объём V сокращается в сечении, которое записывается в следующем виде (называемом формулой Борна):dσ ≡гдеdP (kb , ka )= |AБ (kb , ka )|2 dΩ,jamAБ (kb , ka ) = −2πℏ2Ze−i(kb −ka )·r V (r) d3 r(6.4)(6.5)и называется амплитудой рассеяния в первом борновском приближении(или просто борновской амплитудой рассеяния) 2 .Борновская амплитуда рассеяния имеет простой вид (Фурье-образрассеивающего потенциала V (r)) и зависит от «переданного импульса» (разности ∆p = pb − pa ), а не от векторов pa и pb по отдельности.Более того, в случае центрального потенциала (V (r) = V (r)) она зависит только от одного скалярного параметра ∆p = 2p sin(θ/2), где θ— угол рассеяния.
Недостатком выражения (6.5) является то, что оноявляется приближенным, так как получено в первом порядке теории2Знак минус в (6.5) выбран для удобства сравнения с точным квантовым результатом.63возмущений. Для аккуратного учета взаимодействия с мишенью задача о рассеянии должна быть сформулирована точно, не предполагаяслабости взаимодействия электрона с рассеивающим центром. Такойанализ позволит установить и границы применимости первого борновского приближения (6.5) для амплитуды рассеяния 3 .6.2.Задача рассеяния частиц и граничное условиедля волновой функции непрерывного спектраПерейдем к точной квантовой формулировке задачи о рассеянии.Будем предполагать, что потенциал V (r) на расстояниях, превышающих радиус действия d, исчезает, так что в этой области движение частицы можно считать свободным и выбирать состояния с определенным(асимптотическим) импульсом.
Пусть импульс налетающих частиц ℏkaзадан. При попадании частиц в область действия потенциала импульсстановится неопределенным. После выхода частиц из этой области стой или иной вероятностью будет сформировано состояние с асимптотическим импульсом ℏkb , который может быть зарегистрирован детектором и, вообще говоря, не совпадает с ℏka , вследствие несохраненияимпульса при наличии внешнего поля. В этом случае говорят о рассеянии частиц (в квантовом смысле). При упругом рассеянии kb = ka = k.Общая задача состоит в вычислении вероятности рассеяния в заданныйинтервал телесных углов при заданных ka и виде потенциала V (r).С этой вероятностью однозначно связано сечение.
Таким образом, втеории рассеяния исследуется движение в состояниях с непрерывнымспектром энергий.По своей сути процесс рассеяния является нестационарным, и егоанализ требует исследования временно́й эволюции волнового пакета,описывающего начальное состояние электрона как суперпозицию плоских волн с малым разбросом импульсов вблизи ℏka . Тем не менее, часто удобно вместо временно́го описания рассматривать эквивалентнуюстационарную задачу. При стационарном описании процесса рассеянияпредполагается, что имеется установившийся непрерывный поток налетающих частиц, который при взаимодействии с рассеивающим центромтрансформируется в поток рассеянных частиц.Итак, в стационарной формулировке задача сводится к решениюуравнения Шредингера:(∇2 + k 2 )ψ(r) =2mV (r)ψ(r),ℏ23k2 =2mE,ℏ2E > 0.(6.6)Хотя это можно сделать и в рамках теории возмущений, вычисляя поправкувторого порядка к амплитуде рассеяния и определяя условия, при которых она малапо сравнению с AБ (kb , ka ).64Прежде мы решали уравнение Шредингера для финитного движения(осциллятор, атом водорода), что требовало нулевых граничных условий для волновой функции при бесконечном удалении от области действия силового поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
