QML2 (1129442), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Теория рассеяния исследует инфинитное движение, и поэтому для волновой функции требуются принципиально иныеграничные условия, которые мы установим ниже.Вне области действия потенциала состояние падающих частиц задается плоской волной (для простоты ниже мы опускаем нормировочнуюпостоянную; например, считая объём квантования V равным единице):ϕa (r) = eika r .(6.7)Функция (6.7) нормирована так, что плотность потока численно равнаклассической скорости:ja =ℏkaℏ(ϕ∗a ∇ϕa − ϕa ∇ϕ∗a ) =.2mim(6.8)Волновая функция, описывающая уходящие на бесконечность рассеянные частицы в направлении вектора r, в соответствии с принципомпричинности должна иметь асимптотическое поведение в виде сферической расходящейся волны:ψрасс.
(r) = A(kb , ka )eikr,r(6.9)гдеrkb = k .rМножитель A(kb , ka ) не зависит от r и называется амплитудой рассеяния. Вдали от области действия рассеивающего потенциала рассеяннаяволна полностью определяется амплитудой. Для вычисления амплитуды необходимо из всех возможных решений уравнения Шредингера(6.6) выбрать только такое, асимптотическое поведение которого имеетвид:ψ(r) ∼ ϕa (r) + ψрасс. (r) = eika r + A(kb , ka )eikr,rr ≫ d.(6.10)Другими словами, вне области действия рассеивающего потенциалаволновая функция должна быть суперпозицией плоской и уходящейсферической волн. Соотношение (6.10) является граничным условием куравнению Шредингера (6.6) в задаче рассеяния.65Радиальная составляющая плотности потока частиц, рассеянных внаправлении вектора kb , дается выражением (напомним, что радиальная составляющая вектора ∇ есть ∂/∂r):∗∂ψрасс.(r)ℏ∂ψрасс.
(r)ℏk∗(jb )r =− ψрасс. (r)|A(kb , ka )|2 .ψрасс. (r)=22mi∂r∂rmr(6.11)Заметим, что при вычислении градиента множитель 1/r в ψрасс. (r) недифференцировался, поскольку это дало бы поправки порядка 1/r3 к(jb )r . Число частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесногоугла dΩ в направлении kb , получается умножением (6.11) на элементсферической поверхности r2 dΩ:dJb = (jb )r r2 dΩ =ℏk|A(kb , ka )|2 dΩ.m(6.12)Дифференциальное сечение рассеяния определяется отношением dJb кja с использованием (6.3) и (6.12):dσ =dJb= |A(kb , ka )|2 dΩ.ja(6.13)Таким образом, задачей квантовой теории рассеяния является вычисление амплитуды как функции энергии налетающих частиц и угловразлета рассеянных частиц при заданном потенциале.
Сечение рассеяния однозначно определяется его амплитудой.6.3.Точное выражение для амплитуды рассеянияДля дальнейшего анализа удобно вместо дифференциального уравнения Шредингера (6.6) с граничным условием (6.10) записать эквивалентное ему интегральное уравнение, автоматически учитывающееграничное условие (6.10). Для этого используется метод функции Грина. Напомним, что функцией Грина свободного движения называетсярешение уравнения (6.6) с δ-образной правой частью:(∇2 + k 2 )G(r, r ′ ) = δ(r − r ′ ).(6.14)Функция ϕa (r) удовлетворяет уравнению (6.6) без правой части. Поэтому, если известна функция Грина, то общее решение уравнения Шредингера (6.6) можно получить из интегрального уравнения:Z2mG(r, r ′ )V (r ′ )ψ(r ′ ) d3 r′ .(6.15)ψ(r) = ϕa (r) + 2ℏ66Подействовав на обе части этого уравнения оператором ∇2 + k 2 с учётом (6.14), легко увидеть, что оно эквивалентно дифференциальномууравнению (6.6).Как будет показано ниже, решение уравнения (6.14) неоднозначнобез указания граничных условий для G(r, r ′ ), а функция Грина, имеющая асимптотику расходящихся сферических волн и обеспечивающаявыполнение граничного условия (6.10) для решения уравнения (6.15),дается следующим выражением:(+)Gexp(ik|r − r ′ |)(r, r ) = −.4π|r − r ′ |′(6.16)Поэтому уравнение (6.15) для задач рассеяния имеет вид:ψ(r) = eika rm−2πℏ2Zexp(ik|r − r ′ |)V (r ′ )ψ(r ′ ) d3 r′ .′|r − r |(6.17)Покажем, что решение этого интегрального уравнения удовлетворяетграничному условию (6.10).(r ≫ d) можноp На больших расстояниях′′′2положить k|r − r | ≈ kr 1 − 2r · r /r ≈ kr − kb · r .
Тогда уравнение(6.17) превращается в (6.10) с амплитудойmA(kb , ka ) = −2πℏ2Z′e−ikb r V (r ′ )ψ(r ′ ) d3 r′ .(6.18)К сожалению, точное выражение для амплитуды (6.18) содержит неизвестную функцию ψ(r) и не может быть вычислено без знания решенияуравнения (6.17) при всех r.6.4.Функция Грина свободного движенияФункция Грина свободного движения частицы определяется уравнением (6.14). При r 6= r ′ оно формально совпадает с уравнением Шредингера для свободного движения.
Четность δ-функции приводит ксимметрии функции Грина относительно перестановки r ⇄ r ′ .Для нахождения функции Грина перепишем уравнение (6.14) в видеG(r, r ′ ) = (∇2 + k 2 )−1 δ(r − r ′ ).(6.19)Подставляя в (6.19) интегральное представление δ-функции (А.6), находим:Zexp{ip(r − r ′ )} 31′′d p.(6.20)G(r, r ) = G(|r − r |) =(2π)3k 2 − p267ppG(à)(+)=ppG(á)(-)=Рис.
6.1Интегрирование по угловым переменным в (6.20) выполняется элементарно:Z4πsin pR,eipR dΩp =pгдеR = r − r′ .Таким образом,1G(R) =2π 2 RZ∞0p sin pRdp.k 2 − p2Подынтегральная функция является четной относительно замены p →→ −p. Дополнительно учитывая четность косинуса, преобразуем выражение для G(R):Z +∞1p eipRG(R) =dp.(6.21)4π 2 iR −∞ k 2 − p2Подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках p == ±k, расположенных на пути интегрирования. Правила обхода полюсов определяются из граничных условий, налагаемых на функциюG(R).Чтобы получить решения, соответствующие уходящим от центраволнам, нужно выбрать путь интегрирования (а) на рис.
6.1. Тогдаинтеграл равен вычету в полюсе p = +k, умноженному на 2πi:G (+) (R) = −eikR,4πR(6.22)что соответствует выражению (6.16).Для вычисления интеграла по p можно также сместить особые точки с пути интегрирования в плоскость комплексной переменной p, введя68малую положительную добавку η к k: k → k+iη. После интегрированияпо вычетам и последующего устремления η → +0 мы придем вновь к(6.22).Чтобы получить функцию Грина, соответствующую сходящимся к центрусферическим волнам, нужно выбрать путь интегрирования (б) на рис.
6.1 ивновь воспользоваться теорией вычетов. Приведем окончательный результат:G (−) (R) = −e−ikR.4πRЭтот же результат получится, если сделать замену k → k − iη (η < 0), а послеинтегрирования выполнить предельный переход η → +0.6.5.Первое борновское приближение для амплитуды рассеяния и условия его применимостиИнтегральное уравнение (6.17) удобно решать методом итераций:Zexp(ik|r − r ′ |)m(n)ika rV (r ′ )ψ (n−1) (r ′ ) d3 r′ , (6.23)−ψ (r) = e2′2πℏ|r − r |где ψ (n) (r) — решение, получаемое в результате n-й итерации (предполагается, что ψ (0) (r) ≡ eika r ), а полное решение уравнения (6.17)дается суммой всех итераций. Амплитуда рассеяния, получаемая подстановкой суммы итераций (6.23) в (6.18), в общем случае представляетследующий бесконечный ряд:ZmA(kb , ka ) = −eiqr V (r) d3 r +22πℏ m 2 Z Z′iqr exp(ik|r − r |)+eV (r)V (r ′ ) d3 r d3 r′ + .
. . , (6.24)2′2πℏ|r − r |гдеℏq = ℏka − ℏkb— изменение импульса частицы в результате рассеяния (или импульс,переданный рассеивающему центру).Если сохранить лишь первое слагаемое в разложении амплитуды(6.24), то в этом случае говорят о первом борновском приближении. Вэтом приближении амплитуду можно представить в виде:AБ (kb , ka ) = −гдеV (q) ≡ZmV (q),2πℏ2eiqr V (r) d3 r69(6.25)(6.26)— фурье-образ (или импульсное представление) рассеивающего потенциала.
Соответствующее дифференциальное сечение рассеяния в элемент телесного угла dΩb имеет вид: m 2|V (q)|2 dΩb .dσБ =22πℏ(6.27)Эти результаты в точности совпадают с результатами теории возмущений, полученными в разделе 6.1.Учет второго слагаемого в разложении (6.24) приводит ко второмуборновскому приближению и т. д.Перейдем к исследованию области применимости первого борновского приближения. Из (6.23) следует, что случаем n = 1 можно ограничиться, если в области действия сил выполняется неравенство (длякраткости вместо ka пишем k): m Z eik|r−r′ |′′ ik·r 3 ′ V (r ) ed r .(6.28)|ϕk (r)| ≫ 2πℏ2|r − r ′ |Обычно V (r) принимает наибольшее значение в точке r = 0. Тогда,подставляя r = 0 в (6.28), получим общее условие применимости первого борновского приближения:Z mV(r)i(kr+k·r) 3 edr(6.29) ≪ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
