QML2 (1129442), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Теперь интеграл в (5.16) записывается в виде произвегде θ = (u,дения радиального интеграла и интеграла по углам:(udf i ) =Z∞0∗Rf,l(r)Ri,li (r) r dr ×fZ× Yl∗f mf (θ, ϕ) cos θ Yli mi (θ, ϕ) dΩ.(5.19)Интегрирование по угловым переменным выполняется аналитически.Поскольку сферические функции образуют полную систему функций впространстве угловых переменных θ и ϕ, то произведение двух (и более)сферических функций одного и того же аргумента можно представитьв виде конечной линейной комбинации сферических функций того жеаргумента. В частности, можно показать, что выполняется следующеесоотношение:cos θ Yli mi (θ, ϕ) = AYli +1 mi + BYli −1 mi ,гдеA=s1)2m2i(li +−;(2li + 1)(2li + 3)B=53sli2 − m2i.(2li + 1)(2li − 1)Теперь интегрирование по угловым переменным в (5.19) можно выполнить, пользуясь только свойством ортонормированности сферическихфункций.
В результате соотношение (5.19) принимает вид:Z ∞∗∗(r)Ri,l(r) r dr. (5.20)(udf i ) = (Aδlf ,li +1 + Bδlf ,li −1 )δmf ,miRf,lif0Таким образом, электрический дипольный переход с поглощением илииспусканием линейно-поляризованного излучения возможен толькопри выполнении условийlf = li ± 1,mf = mi ,называемых правилами отбора.
Следует отметить, что сохранение магнитного квантового числа обусловлено наличием аксиальной симметрии в задаче и становится очевидным, если учесть простую зависимостьсферических функций от азимутального угла ϕ: Ylml ∼ eiml ϕ . Правило отбора по орбитальному моменту, которое можно переписать в виде∆l = |lf − li | = 1, может быть также сформулировано как утверждение, что электрические дипольные переходы возможны только междусостояниями противоположной чётности. Этот результат тоже становится совершенно понятным, если учесть, что оператор d = er является нечётным (меняет знак при замене r → −r), и следовательно,матричный элемент hf | d |ii обращается в нуль, если состояния |ii и |f iимеют одинаковую чётность 2 .
Отсюда ясно также, что правило отбора∆l = |lf − li | = 1 справедливо при любой поляризации излучения (вотличие от правила отбора по проекции m).Рассмотрим случай циркулярно-поляризованного излучения и выберем ось квантования Oz перпендикулярно плоскости поляризации (т. е.вдоль направления волнового вектора k). В этом√случае комплексныйвектор поляризации имеет вид u = ∓(ex ± iey )/ 2, где верхний знаксоответствует правой, а нижний — левой круговой поляризации. Теперь скалярное произведение (ur) в (5.16) записывается следующимобразом:r1r4π(ur) = ∓ √ (x ± i y) = ∓ √ sin θe±iϕ = rY1,±1 (θ, ϕ).(5.21)322Подставляя (5.21) в матричный элемент (5.16), по аналогии со случаемлинейной поляризации получаем:Z ∞∗(r)Ri,li (r) r dr, (5.22)Rf,l(udf i ) = (Cδlf ,li +1 + Dδlf ,li −1 )δmf ,mi ±1f02Напомним, что чётность состояния с орбитальным моментом l есть (−1)l .54где коэффициенты C и D также могут быть вычислены в явном виде.
Таким образом, дипольные переходы в циркулярно-поляризованномполе возможны только при выполнении условий:lf = li ± 1,mf = mi ± 1(5.23)(в выражении для u и правиле отбора для mf знаки выбираются согласованно).Так как эллиптически-поляризованную волну можно представитьв виде когерентной суперпозиции двух циркулярно-поляризованныхволн, то правила отбора в этом случае имеют вид (5.23), только знак mfтеперь уже нельзя связать с направлением поляризации и переход изсостояния с проекцией mi происходит в суперпозицию двух состоянийс разными mf : mf = mi + 1 и mf = mi − 1.5.4.Поглощение и вынужденное излучение светаРассмотрение конкретных излучательных процессов мы начнём сослучая переходов между состояниями дискретного спектра, происходящими под воздействием внешней световой волны c вектором электрического поля E(r, t) в виде (5.7).
Их скорости можно получить изформулы (4.27) с операторами V̂± (r) в форме (5.9), и они могут бытьзаписаны в виде:(+)Pf i(−)Pf i(+)==2πeℏm2πeℏm22W| hf | eikr up̂ |ii |2 δ(ωf i − ω),2ω(5.24)W| hf | e−ikr u∗ p̂ |ii |2 δ(ωf i + ω),2ω(5.25)(−)где Pf i и Pf i дают скорости поглощения и испускания фотона соответственно, а вместо квадрата амплитуды поля E0 введена объёмная плотность энергии электромагнитной волны W = E02 /(8π).
Чтобыизбавиться от δ-функций в выражениях (5.24) и (5.25) для скоростейперехода, заметим, что внешнее переменное поле не является строго монохроматическим, а плотность энергии W характеризуетсянекоторойRспектральной плотностью ρ(ω), так что W = ρ(ω)dω. Это означает,что, строго говоря, мы должны записать выражения (5.24), (5.25) длякаждого спектрального интервала ∆ωα , т.е. заменитьρ(ωα )∆ωαW···δ(ω∓ω)→· · · δ(ωf i ∓ ωα )fiω2ωα255и просуммировать по всем α.
Заменяя суммирование интегрированиемпо ω (которое снимается δ-функцией!), получаем выражения для скоростей перехода, пропорциональные спектральной плотности энергиисветового поля на частоте перехода ρ(|ωf i |) 3 :22πe(+)Pf i =| hf | eikr up̂ |ii |2 ρ(|ωf i |),(5.26)ℏmωf i22πe(−)| hi| e−ikr u∗ p̂ |f i |2 ρ(|ωf i |).(5.27)Pif =ℏmωf iПолученные выражения показывают, что внешнее поле, «резонансное» частоте перехода |ωf i | между двумя дискретными уровнями, приводит к переходам двух типов: если система находилась в нижнем состоянии (ωf i = (Ef − Ei )/ℏ > 0), (5.26) дает вероятность ее перехода(возбуждения) в верхнее состояние с поглощением световой энергии;если же она изначально находилась в верхнем состоянии, то она переходит в нижнее со скоростью перехода (девозбуждения, или распада)(5.27), испуская при этом фотон, неотличимый от фотонов световойволны, которая и обусловливает (индуцирует) процесс девозбуждения.Такой процесс испускания фотонов возбужденной квантовой системойназывается вынужденным, или индуцированным испусканием и приводит к усилению падающей световой волны 4 .
Более того, посколькуматричные элементы в (5.26) и (5.27) отличаются только эрмитовскимсопряжением, сравнение обоих выражений показывает, что скоростипереходов с поглощением и вынужденным испусканием фотона между одной и той же парой связанных состояний равны между собой.Таким образом, имеем(+)(−)Pf i = Pifгде фактор B имеет видB=2πeℏmωf i2= Bρ(|ωf i |),(5.28)| hf | eikr up̂ |ii |2(5.29)и называется коэффициентом Эйнштейна. Приведем также выражение для B в дипольном приближении 22πB=|u · df i |2 .(5.30)ℏ3Спектральную плотность энергии светового поля в единице объёма можно также выразить через спектральную плотность (dI/dω) интенсивности световой волныI = cE02 /(8π): ρ(ω) = (1/c)dI/dω.4 Процесс вынужденного испускания лежит в основе работы источников интенсивного когерентного излучения — лазеров.56А.
Эйнштейном еще до появления квантовой механики (в 1916 г.)было установлено (на основе термодинамических соображений), что коэффициент пропорциональности между спектральной плотностью излучения и числом переходов должен быть одинаков для процессов поглощения и вынужденного испускания излучения. Однако только квантовая теория позволила вывести формулу (5.29), связывающую значения коэффициента Эйнштейна с параметрами излучающей системы и,следовательно, дающую возможность рассчитать численные значенияэтого коэффициента для конкретных переходов.5.5.Спонтанное излучениеРассмотрим квантовую систему, находящуюся в возбужденном стационарном состоянии |ii в отсутствие каких-либо внешних полей.Оказывается, что с течением времени система самопроизвольно переходит из возбужденного состояния в основное с испусканием избыточнойэнергии в виде излучения.
В этом случае говорят о спонтанных переходах или спонтанном излучении. Следует подчеркнуть, что существование таких переходов не может быть объяснено в рамках квантовой механики хотя бы потому, что такие переходы противоречат определениюстационарных состояний. Последовательное объяснение возможноститаких переходов может быть получено только с помощью квантовойэлектродинамики, в которой электромагнитное поле рассматриваетсятоже как квантовая система (с переменным числом частиц — фотонов).Тем не менее, вероятность таких переходов может быть вычислена ив квантовой механике, если предположить, что такие переходы возможны, и привлечь некоторые (несвойственные самой квантовой теории) феноменологические соображения, основанные на использованиикоэффициентов Эйнштейна.Рассмотрим ансамбль атомов, которые могут находиться в двух состояниях, |ii и |f i, и взаимодействуют с излучением.
Очевидно, чточисло атомов, совершивших вынужденный переход из более низкогопо энергии состояния |ii в более высокое |f i, должно быть пропорционально числу атомов в состоянии |ii (обозначим его Ni ) и спектральнойплотности излучения:dN (i → f )= −Bρ(ωf i )Ni .dt(5.31)В этом кинетическом уравнении мы ввели коэффициент Эйнштейна B.В уравнении для обратного перехода, кроме слагаемого, учитывающеговынужденное излучение с коэффициентом Эйнштейна C, должно бытьи слагаемое, учитывающее вклад спонтанного излучения (которое, по57предположению, существует).
Это уравнение имеет вид:dN (f → i)= −[Cρ(ωf i ) + A]Nf ,dt(5.32)где коэффициент A описывает скорость спонтанного перехода (котораяне зависит от спектральной плотности излучения).Если ансамбль атомов находится в состоянии термодинамическогоравновесия, то число переходов «вверх» и «вниз» обязано быть одинаковым, т. е.dN (i → f )dN (f → i)=.dtdtИз сопоставления (5.31) и (5.32) имеем:CAℏωf iNi= +,(5.33)= expNfB Bρ(ωf i )kTгде мы использовали закон распределения Больцмана 5 : Nk ∼exp[−Ek /(kT )]; k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.Теперь будем считать, что излучение является тепловым равновесным излучением, так что согласно формуле Планка имеем:ℏω 31.ρ(ω) = 2 3 ℏω/(kT )π c e−1В результате (5.33) можно записать в виде:π 2 c3 A ℏωf i /(kT )Cℏωf i−[e.−1]=expℏωf3 i BkTB(5.34)(5.35)Соотношение (5.35) должно выполняться для любых температур, длячего необходимо и достаточно, чтобы:π 2 c3 A= 1,ℏωf3 i BC= 1,B(5.36)(отметим, что второе соотношение в (5.36) следует из (5.35) в пределеT → ∞).Выражения (5.36) называют соотношениями Эйнштейна.
Второеиз них мы уже аккуратно получили в рамках квантовой механики впредыдущем разделе, а первое позволяет связать скорость спонтанных5Он изучается в курсе «Термодинамика, статистическая физика и физическаякинетика».58переходов с квантовомеханическим выражением (5.29) для коэффициента Эйнштейна B.Спонтанное излучение, как правило, является электрическим дипольным. Поэтому выражение для коэффициента A удобно сразу записать в дипольном приближении. Кроме того, при спонтанных переходахотсутствует физическая причина появления выделенной поляризацииизлучения, поэтому выражение (5.30) для B следует усреднить по всемвозможным направлениям вектора u в пространстве (с учётом того,что направление волнового вектора спонтанного излучения также может быть произвольным!), что эквивалентно замене|udf i |2 →1|df i |2 .3(5.37)Приведем окончательное выражение для скорости спонтанного перехода в дипольном приближении:Af i4ω 3= 3 |df i |2 .3c ℏ(5.38)Умножая Af i на энергию фотона ℏω, получаем интенсивность излучения4ω 4(5.39)I = 3 |df i |2 ,3cкоторая уже не содержит постоянной Планка и, следовательно, должнаиметь классический предел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
