QML2 (1129442), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2πℏ2rЕсли kd ≪ 1 («медленные» частицы), то в (6.29) можно пренебречьэкспонентой, и мы получаем:ZV (r) 31ℏ2Vdr,.(6.30)≪ 1, V =E=4πd2r2md2EПо физическому смыслу V характеризует среднее значение потенциальной, а E – кинетической энергии электрона в области с линейнымиразмерами d. Следовательно, неравенство (6.30) сводится к условию,чтобы кинетическая энергия частицы была намного больше потенциальной.Выражение для амплитуды AБ (kb , ka ) в случае сферическисимметричного потенциала можно упростить, выполнив в V (q) аналитическое интегрирование по сферическим углам (θr , ϕr ) вектора r(ось Oz направлена вдоль вектора q, чтобы переменные разделились):V (q) = V (q) =Zeiqr V (r) d3 r =70=Z2πdϕ0| {z }Z∞2V (r) r dr02π= 2πZ∞02V (r) r drZZ+1−1πeiqr cos θ sin θ dθ = (cos θ = t) =04πeiqrt dt =qZ∞V (r) r sin qr dr.(6.31)0Подстановка (6.31) в (6.25) дает2mAБ (kb , ka ) = − 2ℏ qZ∞V (r) r sin qr dr.(6.32)0В этом случаеθb,(6.33)2где θb — угол рассеяния (угол между векторами ka и kb ), а угловое распределение рассеянных частиц получается аксиально-симметричнымотносительно направления ka .
Таким образом, в центральном поле амплитуда рассеяния не зависит от направления переданного импульса.Примеры расчета дифференциальных сечений рассеяния для конкретных сферически-симметричных потенциалов V (r) разбираются,например, в [3] осн. (ч. 3, гл. 5).Условие применимости первого борновского приближения в центральном поле V (r) можно упростить, вычислив в (6.29) интеграл поугловым переменным аналитически:Z ∞kℏ22ikrV (r)(e− 1) dr ≪.(6.34)m0q = 2k sinЕсли мы имеем ситуацию, когда kd ≫ 1 («быстрые» частицы), то в интеграле (6.34) можно пренебречь быстро осциллирующей экспонентой.В этом случае условие применимости принимает следующий вид:Z ∞kℏ2(6.35)V (r) dr ≪m0илиkℏ2= ℏv,(6.36)Ṽ d ≪mR ∞где Ṽ = (1/d) 0 V (r) dr. То есть первое борновское приближениеприменимо при большой скорости рассеивающихся частиц.716.6.Рассеяние на кулоновском потенциалеВ качестве примера рассмотрим важный случай рассеяния частицна кулоновском потенциалеVc (r) =α.r(6.37)В частности, в случае рассеяния электрона на неподвижном точечном ядре с зарядовым числом Z параметр α = −Ze2 ; в случае рассеяния друг на друге точечных ядер с зарядовыми числами Z1 и Z2α = Z1 Z2 e2 .
Задача состоит в вычислении дифференциального по углам сечения рассеяния потенциалом (6.37) в заданном направлении какфункции энергии налетающих частиц.В соответствии с формулой (6.27), решение поставленной задачисводится к получению фурье-образа рассеивающего потенциала (6.31)с учетом (6.37):Z4πα ∞Vc (q) =sin qr dr.(6.38)q0Радиальный интеграл в (6.38) расходится, поскольку первообразнаясинуса (косинус) на бесконечности не имеет предела.
Данная расходимость специфична для дальнодействующего кулоновского потенциала.Она легко устраняется введением экранирующего множителя:Vscr (r0 , r) =α −r/r0.er(6.39)Потенциал (6.39), в отличие от чисто кулоновского (6.37), являетсякороткодействующим. Радиус его действия определяется параметромэкранировки r0 .Выражение (6.38) для потенциала (6.39) теперь будет содержатьсходящийся интегралZ4πα ∞ −r/r0Vscr (r0 , q) =esin qr dr,q0который легко вычисляется:Vscr (r0 , q) =4πα.q 2 + r0−2(6.40)Поскольку в пределе r0 → ∞ экранированный кулоновский потенциалVscr (r0 , r) переходит в чисто кулоновский Vc (r), для вычисления (6.38)устремим в (6.40) «радиус действия» экранированного потенциала r0 кбесконечности:4πα(6.41)Vc (q) = 2 .q72Таким образом, расходимость интеграла в (6.38) является формальнойи не имеет под собой физической сущности. Заметим, что эту расходимость можно также устранить, формально полагая в (6.38) первообразную равной нулю на бесконечности.Как известно, при упругом рассеянии переданный импульс связанс углом рассеяния соотношением (6.33).
Амплитуда рассеяния на кулоновском потенциале получается подстановкой (6.41) в (6.24):−2θbα(c)(6.42),sinAБ (kb , ka ) = −2mv 22где v = ℏk/m — классическая скорость рассеиваемой частицы. В соответствии с (6.25), (6.42), дифференциальное сечение кулоновского рассеяния в первом борновском приближении имеет вид−4(c) α 2 dσБθb=.sindΩb2mv 22(6.43)Выражение (6.43) совпадает с классической формулой Резерфордаи имеет одинаковый вид как для притягивающего (α < 0), так и дляотталкивающего (α > 0) потенциалов.
Отметим, что точное решениеквантовомеханической задачи рассеяния на кулоновском потенциале(6.37) приводит к той же самой формуле Резерфорда независимо отусловий применимости первого борновского приближения. Такое совпадение специфично для кулоновского потенциала. Между тем, точнаяквантовомеханическая амплитуда кулоновского рассеяния отличаетсяот первой борновской (6.42) фазовым множителем.Потенциал с кулоновской асимптотикой можно представить в видесуммы короткодействующего и кулоновского потенциалов:V (r) = V0 (r) + Vc (r).Соответственно и амплитуда будет состоять из двух слагаемых, приводя к появлению интерференционной компоненты в формуле для сечения.
Таким образом, выполнение условия применимости первого борновского приближения здесь становится обязательным. Сформулируемего для быстрых частиц (см. (6.36)) применительно к притягивающему потенциалу с кулоновской асимптотикой, полагая α = −Ze2 . В этомслучае величину Ṽ d можно грубо оценить как Ze2 . Тогда условие (6.36)дает:Ze2Ze2≪ 1 или v ≫= Zvat ,ℏvℏvat — скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода.73ПриложениеА.Дельта-функция ДиракаДельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регулярной функции ее значение в нуле:Z+∞def(А.1)δ(x)f (x) dx = f (0).−∞Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:Zdefδ(r)f (r) dr = f (0).(А.2)В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с1-мерной δ-функцией простым соотношением:(А.3)δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z).Напомним основные свойства δ-функции.1.
Четность: δ(−x) = δ(x).2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального оператора, действующего согласно правилу:Z +∞n(n)n d f (x) δ (x)f (x) dx = (−1).dxn x=0−∞3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:δ[g(x)] =Xδ(x − xi ) dg(x) dx i,x=xiгде xi — i-й нуль функции g(x). В частности,δ(αx) =74δ(x).|α|(А.4)4. Аналитические представления δ-функции.
Известны многочисленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболеераспространенные интегральноеZ +∞1eixq dqδ(x) =(А.5)2π −∞и три предельных представления: 21xδ(x) = lim √exp − 2 ;a→0aπaa11 sin axδ(x) = lim.;δ(x) = lim22a→∞ πa→0 π x + axСоотношение (А.5) допускает 3-мерное обобщение:Z1(А.3)eirq d3 q.δ(r) =3(2π)Б.(А.6)Функции БесселяФункциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные решенияцилиндрического дифференциального уравнения:x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − ν 2 )y = 0.(Б.7)Функцию Бесселя можно представить в виде разложения в ряд:∞ x ν X(−x2 /2)k.Jν (x) =2k!Γ(ν + k + 1)k=0Функция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравненияy ′′ − xy = 0(Б.8)1и выражается через функции Бесселя порядков ± :31√1√Ai(x) =x [I−1/3 (ζ) − I1/3 (ζ)]; Ai(−x) =x [J−1/3 (ζ) + J1/3 (ζ)],332где Iν (ζ) = i−ν Jν (iζ); ζ = x3/2 .
Приведем также асимптотические3представления функций Эйри при x ≫ 1:1Ai(x) ∼ π −1/2 x−1/4 e−ζ ;2π−1/2 −1/4.Ai(−x) ∼ πxsin ζ +475ЛитератураОсновная1. Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. — М. : Наука,1973. — 704 с.2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики / Д.И. Блохинцев. —М.
: Наука, 1983. — 664 с.3. Копытин И.В. Задачи по квантовой механике : в 3 ч. / И.В. Копытин, А.С. Корнев. — Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2007.Дополнительная1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10 т. / Л.Д. Ландау,Е.М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2001. — Т. 3. : Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — 803 с.2. Левич В.Г. Курс теоретической физики : в 2 т. / В.Г.
Левич,Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. — М. : Наука, 1971. — Т. 2. — 936 с.3. Балашов В.В. Курс квантовой механики / В.В. Балашов, В.К. Долинов. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2001. — 336 с.76Учебное изданиеКопытин Игорь Васильевич,Корнев Алексей Станиславович,Манаков Николай Леонидович,Фролов Михаил ВладимировичКВАНТОВАЯ ТЕОРИЯКурс лекцийЧасть 22-е издание, исправленное и дополненноеРедактор И.Г. ВалынкинаУсл. печ.
л. 4,6. Заказ 555.Издательско-полиграфический центрВоронежского государственного университета.394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7(473)259-80-26http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
