QML2 (1129442), страница 9
Текст из файла (страница 9)
д.47Таким образом, под действием постоянного возмущения переходы возможны лишь между вырожденными состояниями с одной и той жеэнергией: Ei = Ef . Примером такого перехода является упругое (безизменения энергии) рассеяние электрона с энергией E = p2 /(2m) напотенциале V (r) (создаваемом, например, покоящимся атомом), чтоприводит лишь к изменению направления импульса электрона на уголθ, называемый углом рассеяния. Плотность конечных состояний в этомслучае можно получить из выражения (1.42) для числа квантовых состояний электрона с импульсами в интервале от p до p + dp, используяего в сферических координатах и учитывая соотношения E = p2 /(2m),m dE = p dp и p = mv (V — объем квантования):V p2 dp dΩV m2 v dΩV d3 p==dE.(2πℏ)3(2πℏ)3(2πℏ)3Отсюда находим число конечных состояний в объёме V для электронас направлением импульса в элементе телесных углов dΩ 3 :dρ(E) =V m2 vdΩ.(2πℏ)3(4.31)Квантовые переходы разделяют на три категории: связанно-связанные,связанно-свободные и свободно-свободные переходы.
Такая классификацияопределяется типом волновых функций начального и конечного состояний.Для связанно-связанных переходов волновые функции начального и конечного состояний принадлежат дискретному спектру, и как правило, такие переходы определяют возбуждение атомной системы под действием периодического возмущения либо испускание системой излучения той же частоты,что и частота возмущения.
Эти переходы возможны лишь на резонансныхчастотах, когда ℏω = |Ei − Ef |. В случае связанно-свободных переходов однаиз волновых функций принадлежит дискретному спектру, а другая — непрерывному. Переходы такого типа описывают, в частности, процессы ионизацииквантовой системы (фотоэффект) или рекомбинации электронов с атомамиили молекулами и возможны при всех частотах, превышающих |Ei |/ℏ (или(Ei + ℏω) > 0).
Для переходов последнего типа (свободно-свободных) обеволновые функции принадлежат непрерывному спектру. Такая ситуация возникает, например, при указанном выше упругом рассеянии электронов илитормозном излучении движущейся частицы при ее столкновении с мишенью.3Это же выражение для dρ(E) годится и для случая перехода электрона из связанного состояния в континуум под действием внешнего излучения (фотоэффект;см. ниже раздел 5.6), а также для переходов в континууме.48Глава 5.Излучение и поглощение светаВ данной главе рассматриваются элементы теории взаимодействияквантовых систем с электромагнитным полем.
В отличие от классической электродинамики, где электромагнитная энергия испускается(поглощается) системой непрерывно, в квантовой механике поглощение и испускание электромагнитной энергии в квантовых переходахмежду дискретными уровнями в соответствии с «золотым правиломФерми» происходит порциями величиной ℏω, где ω — частота электромагнитного излучения. Для удобства мы эти порции часто будем называть фотонами, хотя в настоящем изложении квантовой теории мыи не рассматриваем квантование электромагнитного поля, а считаемвекторный и скалярный потенциалы поля заданными классическимифункциями координат и времени. Ниже мы будем считать, что напряженности внешнего электромагнитного поля достаточно малы, так чтодля анализа квантовых переходов применимы результаты первого порядка теории возмущений.5.1.Гамильтониан взаимодействия квантовой системы с электромагнитным излучениемПусть на квантовую систему с гамильтонианомp̂2ℏ2 2Ĥ0 (r) =+ U (r) = −∇ + U (r)2m2m(5.1)действует внешнее электромагнитное поле, описываемое векторным искалярным потенциалами A(r, t) и ϕ(r, t).
По аналогии с результатами классической электродинамики для функции Гамильтона нерелятивистской частицы с зарядом e (для электрона e < 0 : e = −|e|) в поле спотенциалами (A(r, t), ϕ(r, t)), оператор Гамильтона в квантовой теории получается из Ĥ0 формальной заменой p̂ → (p̂ − (e/c)A(r, t)) идобавлением слагаемого eϕ(r, t):i2e1 hp̂ − A(r, t) + U (r) + eϕ(r, t).Ĥ(r, t) =2mc49(5.2)Раскрывая квадратную скобку с учетом некоммутативности операторов p̂ и A, гамильтониан Ĥ(r, t), можно представить в виде:(5.3)Ĥ(r, t) = Ĥ0 (r) + V̂ (r, t),гдеiℏee2eA(r, t)p̂ +div A(r, t) +A2 (r, t).V̂ (r, t) = −2mc2mc2mc(5.4)Ввиду калибровочной инвариантности теории электромагнитного поля,в дальнейшем удобно использовать кулоновскую калибровку, в которой нужно положить ϕ(r, t) = 0, а на векторный потенциал наложитьусловие div A(r, t) = 0. В результате оператор V̂ (r, t) взаимодействияс полем упрощается:e2eA(r, t)p̂ +A2 (r, t).V̂ (r, t) = −2mc2mc(5.5)Далее мы будем считать взаимодействие с электромагнитным полемслабым, так что можно ограничиться его учетом в первом порядке теории возмущений и пренебречь квадратичным по A(r, t) слагаемым в(5.5):eV̂ (r, t) = −A(r, t)p̂.(5.6)mcРассмотрим важный случай плоской монохроматической волны сэлектрическим вектором E(r, t) = −(1/c)∂A(r, t)/∂t, записанным в видеnoi(kr−ωt)E(r, t) = E0 Re u e, (k · u) = 0,(5.7)где E0 — амплитуда, k — волновой вектор и u — комплексный «единичный» вектор поляризации: u · u∗ = 1.
Теперь V̂ (r, t) можно записать ввиде, использованном ранее в теории квантовых переходов:V̂ (r, t) = V̂+ (r)e−iωt + V̂− (r)eiωt ,(5.8)гдеV̂+ (r) = −ieE0 ikre (up̂),2mωV̂− (r) = V+† (r) = ieE0 −ikr ∗e(u p̂). (5.9)2mωСогласно общему соотношению (4.29), вероятность поглощения илииспускания кванта энергии ℏω (или фотона) в единицу времени в результате квантового перехода системы между начальным |ii и конечным |f i состояниями определяется выражением:22π ±Pf i =(5.10)hf | V̂± |ii ρ(Ef ), Ef = Ei ± ℏω,ℏ50где знаки «+» или «−» соответствуют поглощению или испусканиюфотона, матричные элементы hf | V̂± |ii вычисляются с использованиемоператоров V̂± (r) в форме (5.9), а плотность конечных состояний ρ(E)зависит от типа конкретного перехода.5.2.Дипольное приближениеТочные выражения (5.9) для операторов V̂± (r) достаточно громоздки (особенно из-за наличия экспоненциальных факторов exp(± i k · r))и затрудняют как численный расчёт амплитуд конкретных переходов,так и физическую интерпретацию результатов.
В классической электродинамике аналогичные экспоненциальные факторы входят в выражения для запаздывающих потенциалов и описывают так называемыеэффекты запаздывания взаимодействия или, на более понятном языке,эффекты влияния магнитного поля и пространственной неоднородности электромагнитной волны. Как и при анализе дипольного излучениясистемой зарядов в классической теории, в квантовой механике такжеоказывается, что в пределе длин волн, значительно превышающих характерные размеры излучающей системы, указанные экспоненты можно (приближенно) опустить, что позволяет ввести в задачу простую характеристику системы — электрический дипольный момент d. Поэтомупрежде чем переходить к анализу конкретных электромагнитных переходов, мы получим простые приближенные выражения для амплитудпереходов hf | V̂± (r) |ii в (5.10).Рассмотрим матричный элементhf | V̂+ (r) |ii = −ieE0hf | eikr (up̂) |ii2mωоператора V̂+ (r) в (5.9), определяющий амплитуду перехода с поглощением излучения.
Ввиду экспоненциального убывания волновой функции связанного состояния при больших r, в случае связанно-связанныхили связанно-свободных переходов область интегрирования по r в этомматричном элементе, дающая основной вклад в интеграл, ограниченаразмерами порядка размера квантовой системы a. Для атомных систем a ∼ 10−8 см. В то же время длина волны оптического излучения λзначительно больше размеров атомной системы, так чтоka =2πa∼ 10−3 .λ(5.11)Следовательно, в этих случаях экспоненту eikr в V̂+ (r) можно разложить в ряд:ikr (ikr)2++ ...,(5.12)eikr = 1 +1!2!51и ограничиться первым членом, т. е.
положитьhf | eikr (up̂) |ii ≈ u hf | p̂ |ii .(5.13)Это приближение называется дипольным, или длинноволновым, приближением, а квантовые переходы, рассматриваемые в этом приближении, — дипольными переходами. Если по каким-либо причинам (например, вследствие свойств симметрии начального и конечного состояний квантовой системы) матричный элемент hf | p̂ |ii равен нулю, тоучитывается следующий член разложения (5.12) и т. д. 1 .
Используяизвестное тождествоiℏ[r, Ĥ0 ] =p̂,(5.14)mматричный элемент hf | p̂ |ii можно преобразовать к следующему виду:hf | p̂ |ii = i m ω hf | r |ii(5.15)(выполнить самостоятельно). Таким образом, матричный элемент дипольного перехода можно записать в виде:hf | V̂+ |ii = −iE0eE0u hf | p̂ |ii =(udf i ),2mω2(5.16)гдеdf i = e hf | r |ii— матричный элемент оператора электрического дипольного моментаd = er.Для матричного элемента оператора V̂− (r) в (5.9), определяющегоамплитуду испускания излучения, преобразования полностью аналогичны приведенным выше и дают следующий результат:hf | V̂− |ii = ieE0 ∗E0 ∗u hf | p̂ |ii =(u df i ).2mω2(5.17)Таким образом, в дипольном приближении вероятности поглощения и испускания фотонов должны вычисляться по формуле (5.10)с использованием матричных элементов hf | V̂± |ii в форме (5.16) или(5.17).1Эти слагаемые описывают относительно слабые электрические квадрупольные,магнитные дипольные и т.
д. переходы.525.3.Правила отбора для дипольных переходовВыражения (5.16), (5.17) для матричных элементов дипольных переходов позволяют, исходя из свойств пространственной симметрииволновых функций начального и конечного состояний, установить, возможен дипольный переход между выбранными состояниями |ii и |f iили нет (даже если частота внешнего возмущения и удовлетворяет«условию резонанса»).
Будем считать, что система обладает сферической симметрией, так что начальное и конечное состояния можнопредставить в виде:1Ri,li (r)Yli mi (θ, ϕ),rhr |ii =hr |f i =1Rf,lf (r)Ylf mf (θ, ϕ),r(5.18)где Yli mi (θ, ϕ), Ylf mf (θ, ϕ) — сферические функции.Рассмотрим вначале линейно-поляризованное излучение. В этомслучае ось квантования Oz удобно выбрать вдоль направления вещественного вектора поляризации u (ez = u), а скалярное произведение(ur) в (5.16) записать следующим образом:r4π(ur) = z = r cos θ = rY1,0 (θ, ϕ),3dr).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
