QML2 (1129442), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вели(1)чина λ al определяется из условия нормировки функции Ψl . Функции(0)Ψl предполагаются нормированными, поэтому из условия нормировки с точностью до λ2 следует соотношение:(1)al(1)∗+ al(1)= 0.(1)Следовательно al — чисто мнимое (то есть al = iαl , так что 1+iλαl ≈≈ eiλαl ) и, так как волновые функции определяются с точностью до26(1)фазового множителя, можно положить al = 0. Итак, в первом порядкетеории возмущений волновая функция определяется выражением:(0)ΨlΨl =+X′mVml(0)El−Ψ(0)m .(0)Em(2.17)(1)Подставляя далее значение am из первого уравнения (2.13) во вто(2)рое уравнение (2.12), находим величину El :(2)El=X′ Wlm Wml(0)mEl(0)− Em.Таким образом, во втором порядке теории возмущений энергия l-гостационарного состояния выражается формулой:El =(0)El+(1)∆El+(2)∆El=(0)El+ Vll +X′m|Vlm |2(0)El(0)− Em.(2.18)(2)Из (2.18) следует, что поправка второго порядка к энергии ∆E0 ос(0)новного состояния всегда отрицательна (энергия E0 наименьшая извсех возможных).Полученные формулы для поправок к энергиям и волновым функциям легко переписать и в дираковских обозначениях:(1)∆El = hl| V̂ |li ;X′ hl| V̂ |mi hm| V̂ |li(2)∆El =;(0)(0)El − EmmEX′ |mi hm| V̂ |li(1)=.∆Ψl(0)(0)−EEmml(2.19)(2.20)(2.21)Формулы (2.19)–(2.21) иногда можно использовать и при наличии(0)вырождения начального состояния с энергией El .
Пусть невозмущен(0)ное значение энергии El вырождено с кратностью f , т. е.(0)(0)(0)Ĥ0 Ψlk = El Ψlk ,где k = 1, . . . , f , а оператор возмущения в энергетическом представлении диагонален по k, т. е.hl′ k ′ | V |nki = Bk,l′ l δk′ k .27(2.22)Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий вырождение в невозмущенной задаче, после наложения возмущения попрежнему остается интегралом движения. В данном случае при k 6= k ′ ,l′ = l числители спектральных сумм в (2.20), (2.21) вместе со знаменателями обращаются в 0, т. е.
появляется неопределенность 00 . Еслитакие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении условия (2.22) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений дляневырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как параметр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каждого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений дляневырожденных уровней. При этом поправки к энергии могут зависетьот параметра k (снятие вырождения).Если в уравнении Шредингера с гамильтонианом (2.1) требуетсянайти энергию с точностью до первого порядка, поправку к волновойфункции вычислять не следует, поскольку для расчета наблюдаемыхвеличин требуется вычисление матричных элементов.
При учете поправок к волновой функции в матричных элементах появляются квадратичные по возмущению члены, что является превышением точности.(1)(0)Поэтому в формуле (2.19) при вычислении ∆En ограничиваются Ψn ,(2)(1)в (2.21) при нахождении ∆En в волновой функции оставляют ∆Ψnи т. д. 2Ряды теории возмущений (2.8), (2.9) могут быть как сходящимися, так и асимптотическими. В качестве примера можно рассмотретьвозмущение вида λx3 , действующее на линейный гармонический осциллятор. В этом случае движение становится инфинитным. Поэтому,начиная с некоторого слагаемого, ряды (2.8), (2.9) расходятся.
Предлагаем проверить это самостоятельно.В большинстве случаев формулы (2.19)–(2.21) оказываются достаточными для приближенного решения задачи. Условие их применимости сводится, очевидно, к выполнению неравенства(0)|Vnm | ≪ |En(0) − Em|.(2.23)На практике обычно поступают следующим образом. Вначале находятпоправку первого порядка к энергии по формуле (2.19). Если она оказы(1)вается ненулевой, решение задачи завершают.
Если En = 0 (что можетбыть обусловлено определенной симметрией оператора V̂ и функций(0)Ψn ), это еще не означает, что поправка отсутствует вообще. В такомслучае переходят к вычислению поправки второго порядка к энергии(2)(1)En и первого порядка к функции Ψn и т. д. Как только очередная(k)2Вообще, зная лишь поправки к волновой функции вплоть до Ψn , можно по(2k+1)лучить поправки к энергии до En.28(k)поправка к энергии En становится ненулевой, вычисления прекращают. Данная процедура иногда называется поиском поправок в первомнеисчезающем порядке теории возмущений.2.2.Теория возмущений при наличии двух близкихуровнейПрежде чем развить метод теории возмущений при наличии вырождения, рассмотрим частный случай предыдущего формализма —случай двух близких уровней. Он позволяет исследовать также и особенности решения задачи при наличии двукратного вырождения невоз(0)мущенного значения энергии El .Из формул (2.20), (2.21) следует, что если среди собственных зна(0)чений гамильтониана Ĥ0 есть одно или несколько близких к El (настолько, что для них перестает выполняться условие (2.23)), то поправки к волновой функции и энергии l-го уровня будут велики из-за малости энергетических знаменателей, и пользоваться этими формулами(0)нельзя.
Если, однако, число собственных значений Ĥ0 , близких к El ,невелико, то можно изменить метод вычислений так, чтобы исключитьпоявление больших поправок. Покажем это на примере двух близкихуровней.(0)Пусть оператор Ĥ0 имеет два близких собственных значения E1 и(0)(0)(0)E2 , которым соответствуют собственные функции Ψ1 и Ψ2 , а всеостальные собственные значения расположены далеко от них. При вычислении поправки к волновой функции по формуле (2.20) мы убе(0)(0)(0)димся, что из-за малого знаменателя E1 − E2 вклад функции Ψ2будет велик.
Поэтому целесообразно уже в нулевом приближении искать решение в виде линейной комбинации невозмущенных волновыхфункций, соответствующих близким энергиям:(0)(0)Ψ = aΨ1 + bΨ2 ,(2.24)т. е. ограничиться в энергетическом представлении только вкладом состояний |1i и |2i. Стационарное уравнение Шредингера в таком упрощенном представлении принимает вид системы двух алгебраическихуравнений:(H11 − E)a + H12 b = 0;(2.25)H21 a + (H22 − E)b = 0,где(0)Hmn = Emδmn + hm| V̂ |ni ,m, n = 1, 2.(2.26)29Рис.
2.1Из условия нетривиальной разрешимости системы (2.25) находим двазначения энергии:E1,2 =1p1(H11 + H22 ) ±(H11 + H22 )2 + 4|H12 |2 ,22(2.27)где знак «плюс» относится к уровню E1 , а «минус» — к E2 .Если для данных состояний выполняется условие(2.28)|H11 − H22 | ≫ |H12 |,то из (2.27) следуют значения энергииE1 = H11 +E2 = H22 +|H12 |2H11 − H22|H12 |2H22 − H11(2.26)(0)= E1 + V11 +(2.26)(0)E1+(0)= E2 + V22 +(0)E2+|V12 |2(0)V11 − (E2|V12 |2(0)V22 − (E1+ V22 )+ V11 );,совпадающие с точностью до слагаемых ∼ V 2 с результатом теориивозмущений для невырожденных уровней (2.18).Для противоположного (2.28) условия|H11 − H22 | ≪ |H12 |имеем:E1,2H11 + H22(H11 − H22 )2=± |H12 | +.28|H12 |(2.29)(2.30)На рис.
2.1 на основе формулы (2.27) показаны энергии E1 и E2 какфункции разности δ = H11 −H22 для некоторого фиксированного значения H12 . Значения H11 и H22 указаны штриховыми линиями. Поправки30второго порядка к значениям энергии изображаются на рисунке разностью между сплошной и ближайшей штриховой линией. Интересно, чтопоправки второго порядка к значениям H11 и H22 всегда увеличиваютрасстояния между уровнями.
В связи с этим иногда говорят об «отталкивании уровней», понимая под этим явлением увеличение расстояния между двумя близкими уровнями, когда в операторе Гамильтонаучитываются слагаемые, которые отбрасываются в более упрощеннойзадаче.Из уравнений (2.25) можно найти отношение коэффициентов a и b,определяющих волновую функцию (2.24):aaββ= ctg ;= − tg ,b 12b 22где2H12.(2.31)β = arctgH11 − H22Таким образом, нормированные волновые функции состояний, соответствующих энергиям E1 и E2 , будут иметь вид:ββ(0)+ Ψ2 sin ;22ββ(0)(0)Ψ2 = −Ψ1 sin + Ψ2 cos .22(0)Ψ1 = Ψ1 cos(2.32)Если выполняется условие (2.28), то из (2.31) следует, что β ≈ 0 и(0)(0)Ψ1 ≈ Ψ1 , Ψ2 ≈ Ψ2 , т. е.
при наличии возмущения одно из невозмущенных состояний будет давать доминирующий вклад (другими(0)(0)словами, уровни E1 и E2 фактически будут «далекими»). Наоборот,(0)(0)если выполняется условие (2.29), то β = π/2, поэтому Ψ1 и Ψ2 выступают в (2.32) с равными долями (это и есть случай «истинно близких»уровней в узком смысле слова).Если теперь для отыскания поправок к энергии E1 (или E2 ) и волновой функции Ψ1 (или Ψ2 ) использовать найденные в нулевом приближении уровни энергии(0)E4(0)Ψ4 ,E1 ,E2 ,E3 ,Ψ1 ,Ψ2 ,Ψ3 ,(0)и волновые функции(0)то в энергетических знаменателях спектральных сумм (2.20), (2.21) небудет встречаться малая разность E1 − E2 , так как числитель соответствующего слагаемого hΨ1 | Ĥ |Ψ2 i равен нулю в силу того, что обе31функции Ψ1 и Ψ2 являются решениями стационарного уравнения Шредингера с полным гамильтонианом (2.1).
Следовательно, определениепоправок более высокого порядка можно далее вести обычным методомтеории возмущений для невырожденных «далеких» уровней.2.3.Теория возмущений при наличии вырожденияРезультаты предыдущего параграфа остаются справедливыми ипри совпадении энергии двух уровней, т. е. при наличии двукратно(0)(0)го вырождения (E1 = E2 ). Легко обобщить эти результаты и на(0)случай f -кратного вырождения уровня El . Соответствующие невозмущенные волновые функции теперь нужно снабдить дополнительныминдексом k = 1, 2, . . . , f :(0)(0)Ψl → Ψlk .Рассмотрим теперь случай, когда условие (2.22) не выполняется.Тогда необходимо отказаться от (2.10) и в качестве функции нулевогоприближения взять линейную комбинациюΨl =fX(0)ak Ψlk .(2.33)k=1Другими словами, воспользуемся «редуцированным» энергетическимпредставлением, ограничившись лишь невозмущенными вырожденны(0)ми состояниями, относящимися к одному и тому же уровню El .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
