QML2 (1129442), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если же вариационная функция совпадает с точной, получится и точноезначение энергии. Поэтому залогом успешного использования методаРитца является удачный выбор пробной функции. Необходимо учитывать симметрию задачи, правильное асимптотическое поведение пробной функции, а также выбирать ее в соответствии с осцилляционнойтеоремой (если речь идет об одномерной задаче). Примеры решенияконкретных вариационных задач с анализом пробных функций содержатся, например, в [3] из списка основной литературы (гл.
3).Метод Ритца эффективен при исследовании основного и несколькихпервых возбужденных состояний.3Выбирая, например, для основного состояния осциллятора пробную функциюв виде Ψ0 (x; α, β) = α exp(−βx2 ).373.3.Вариационный вывод уравнения Шредингерадля стационарных состоянийВ качестве примера использования вариационного метода с варьированием формы волновой функции получим уравнение Шредингерадля стационарных состояний квантовой системы с гамильтонианом Ĥ.В соответствии с (3.8), (3.9), для этого необходимо методами вариационного исчисления минимизировать функционалZJ = Ψ∗ ĤΨ dξ(3.14)при дополнительном условииZΨ∗ Ψ dξ = 1,(3.15)налагаемом на варьируемые функции Ψ и Ψ∗ (ввиду комплексностиΨ, в общем случае они рассматриваются как независимые). Это математическая задача поиска условного экстремума.
Она сводится к задаче безусловного экстремума введением неопределенного множителяЛагранжа, который мы обозначим буквой E, и варьированием следующего функционала:ZZZ∗∗J˜ = Ψ ĤΨ dξ − E Ψ Ψ dξ = Ψ∗ (Ĥ − E)Ψ dξ.(3.16)Теперь функционал J˜ варьируется по функциям Ψ и Ψ∗ , которые рассматриваются как независимые:ZZZδ J˜ = δ Ψ∗ (Ĥ − E)Ψ dξ = δΨ∗ (Ĥ − E)Ψ dξ + Ψ∗ (Ĥ − E) δΨ dξ.Условие минимума функционала J˜ сводится к обращению в нульего вариации или, с учетом самосопряженности гамильтониана, к равенствуZZ∗δΨ (Ĥ − E)Ψ dξ + δΨ(Ĥ − E)∗ Ψ∗ dξ = 0.(3.17)Равенство (3.17) выполняется при произвольных независимых вариациях δΨ и δΨ∗ при условии, что Ψ и Ψ∗ удовлетворяют стационарнымуравнениям Шредингера:(Ĥ ∗ − E)Ψ∗ = 0.(Ĥ − E) Ψ = 0,Таким образом, в нашей задаче множитель Лагранжа соответствуетэнергии стационарного состояния.38Глава 4.Теория квантовых переходовВ данной главе будет рассмотрено действие переменного внешнего поля V̂ (ξ, t) на систему с заданным стационарным гамильтонианомĤ0 (ξ).
В этом случае система описывается нестационарным уравнением Шредингераiℏ∂Ψ(ξ, t) = [Ĥ0 (ξ) + V̂ (ξ, t)]Ψ(ξ, t)∂t(4.1)и уже не имеет стационарных состояний, поскольку полный гамильтониан системыĤ(ξ, t) = Ĥ0 (ξ) + V̂ (ξ, t)(4.2)не является интегралом движения (так как ∂ Ĥ(ξ, t)/∂t 6= 0). Даннаяглава знакомит читателя с наиболее известным приближенным методом решения уравнения (4.1) – нестационарной теорией возмущений, атакже с общими свойствами таких нестационарных систем.4.1.Квантовые переходыПусть внешнее возмущение V̂ (ξ, t) (рассматриваемое как функциявремени) включается в момент времени t = 0, а выключается в моментt = τ (рис.
4.1).Будем считать, что до моментавремени t = 0 система находиласьв одном из стационарных состоянийгамильтониана Ĥ0 (ξ) с энергией Ei .Обозначим его |ii и будем называтьначальным состоянием (по-английскиinitial — отсюда и обозначение). В промежутке времени 0 6 t 6 τ гамильтониан зависит от времени, поэтомуэнергия не будет иметь определенного значения. Начиная с момента t =Рис. 4.1= τ , гамильтониан системы вновь становится стационарным: (Ĥ(ξ, t ≥ τ ) = Ĥ0 (ξ)). Поэтому ее состояние вV(t)039ttлюбой момент времени t ≥ τ может быть представлено в виде суперпозиции стационарных состояний гамильтониана Ĥ0 (ξ) с постояннымикоэффициентами, зависящими от времени τ действия внешнего возмущения как от параметра:X(4.3)Ψ(ξ, t > τ ) =ak (τ )ψk (ξ) eiEk t/ℏ .kОчевидно, что это состояние является нестационарным, а коэффициент ak (τ ) определяет амплитуду вероятности обнаружения системы встационарном состоянии |ki после прекращения действия внешнего поля.
Если |ki отличается от |ii, то говорят, что, вследствие действиявнешнего возмущения V̂ (ξ, t), система совершила квантовый переходиз начального состояния |ii с энергией Ei в конечное состояние |ki сэнергией Ek . Часто конечные (англ. final) состояния обозначаются |f i,а их энергии – Ef . Факт квантового перехода не противоречит закону сохранения энергии, поскольку при наличии переменного внешнеговоздействия (т. е.
в интервале времени ∆t = τ ) энергия не сохраняется,dĤ∂ Ĥ∂==V̂ (ξ, t) 6= 0,dt∂t∂tи изменение энергии квантовой системы ∆Ef i = Ef − Ei (которое может быть как положительным, так и отрицательным) компенсируетсяза счёт внешнего поля. Задачей теории квантовых переходов являетсявычисление вероятности того или иного квантового перехода i → f ,которая, как следует из вышесказанного, дается квадратом модуля амплитуды перехода af (τ ) ≡ af i (τ ):Wf i = |af i (τ )|2 .(4.4)Подчеркнем, что это выражение дает полную вероятность перехода завсе время действия возмущения и удовлетворяет условию нормировкиXXWf i =|af i (τ )|2 = 1,(4.5)ffв котором суммирование включает и вероятность того, что системаостанется в исходном состоянии (слагаемое с f = i).Для расчета вероятностей квантовых переходов вначале необходимо решить нестационарное уравнение Шредингера (4.1) с начальнымусловиемΨ(ξ, 0) = ψi (ξ),(4.6)где ψi (ξ) – одно из решений «невозмущённого» стационарного уравнения ШредингераĤ0 ψk = Ek ψk .40Неизвестную нормированную функцию Ψ(ξ, t) удобно искать в видеразложения по базису стационарных состояний невозмущенного гамильтониана H0 :X(4.7)Ψ(ξ, t) =ak (t)ψk (ξ) eiEk t/ℏ ,kв котором неизвестные коэффициенты ak (t) зависят от времени вплотьдо t = τ , а далее остаются постоянными и дают искомые амплитудыпереходов aki (τ ).
Отметим также, что ak (t) нормированы условиемX|ak (t)|2 = 1,(4.8)kне зависящим от времени.Уравнения для коэффициентов af (t) получаются подстановкой разложения (4.7) в уравнение Шредингера (4.1), умножением его слева наψf∗ (ξ)eiEf t/ℏ и последующим интегрированием по координатам. С учетом ортонормированности невозмущенных волновых функций это даётдля искомых коэффициентов бесконечную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:iℏXdaf (t) =Vf k (t) ei ωf k t ak (t),dt(4.9)kгдеVk′ k (t) =Zψk∗′ (ξ)V̂ (ξ, t)ψk (ξ) dξ(4.10)— матричный элемент оператора возмущения в базисе невозмущенныхволновых функций,ωk′ k = (Ek′ − Ek )/ℏ(4.11)— так называемая частота перехода k → k ′ .Отметим, что система (4.9) эквивалентна нестационарному уравнению Шредингера (4.1).
Иначе говоря, (4.9) есть уравнение Шредингера(4.1), записанное в представлении взаимодействия (см. ч.1, пп. 3.5,3.8). Как видно, именно это представление для описания эволюцииквантовой системы во времени оказывается наиболее удобным в теории квантовых переходов. Решение сформулированной выше задачис начальным условием (задачи Коши) для уравнения Шредингера вчастных производных (4.1) в представлении Шредингера эквивалентно решению «уравнения Шредингера» (4.9) в представлении взаимодействия с начальным условием (сравни с (4.6)):af (0) = δf i .41(4.12)Конечно, как уравнение (4.1), так и эквивалентная ему система уравнений (4.9) не могут быть решены точно при произвольной зависимости V (ξ, t) (или Vk′ k (t)) от времени.
Поэтому ниже будут рассмотреныосновные приближенные методы расчёта вероятностей квантовых переходов.4.2.Нестационарная теория возмущенийВ ряде случаев оператор взаимодействия с внешним полем V̂ (ξ, t)можно рассматривать как малое возмущение, и тогда удается развитьформальный аппарат нестационарной теории возмущений. Действительно, если возмущение V̂ (ξ, t) содержит малый параметр λ (аналогично случаю стационарной теории возмущений в Гл.
2), то в «нулевом» порядке по λ в правой части системы (4.9) можно положитьak (t) равным его значению при t = 0, т. е. начальному условию: ak (t) ≈(0)≈ ak (t) = δki . В левой же части (4.9) af (t) представим в виде сум(0)(1)(1)мы af (t) ≈ af (t) + af (t), где af (t) имеет малость порядка λ. Тогда(1)выражение для af (t) имеет следующий простой вид:(1)af (t)1=iℏZt′Vf i (t′ ) ei ωf i t dt′ ,(4.13)0а результирующее выражение для коэффициентов af (t) с учетом членов нулевого и первого порядка по возмущению V̂ (ξ, t) есть1af (t) ≈ δf i +iℏZt′Vf i (t′ ) ei ωf i t dt′ .(4.14)0Заметим, что при t > τ верхний предел интеграла в этом выражениизаменяется на τ и af (t) перестает зависеть от t, принимая постоянноезначение af (τ ). Условие применимости теории возмущений для расчетаамплитуды перехода требует выполнения неравенстваZ1 τ′i ω f i t′ ′ (4.15)dt .1≫ 2Vf i (t ) eℏ0В итоге для вероятности перехода (4.4) в первом порядке теориивозмущений получаем:Wf i2Z′1 τ= 2Vf i (t′ ) ei ωf i t dt′ ,ℏ042f 6= i .(4.16)С помощью итерационной процедуры можно получить af (t) и в более высоких порядках теории возмущений (что может оказаться необ(1)ходимым, например, если af (t) обращается в нуль при заданных |ii и|f i).
Так, для нахождения поправок 2-го порядка нужно в левую часть(1)(2)(4.9) подставить af (t) в виде af (t) ≈ δf i + af (t) + af (t), а в правой ча(2)сти слагаемое с af (t) следует опустить, поскольку оно имеет малость(1)порядка λ3 . Учитывая явный вид (4.13) для af (t), легко получает(2)ся выражение для af (t) в виде повторного интеграла (получить егосамим).4.3.Адиабатическое и внезапное возмущенияНиже мы будем рассматривать вероятности квантовых переходов,используя первый порядок теории возмущений. В этом случае вероятность перехода из состояния |ii в |f i дается соотношением (4.16).Это соотношение может быть упрощено в двух предельных случаях –очень плавного («адиабатического») и очень быстрого («внезапного»)изменения возмущения V̂ (ξ, t) во времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
