QML2 (1129442), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Легко видеть,что он возможен при выполнении неравенстваℏ|∇2 S0 | ≪ (∇S0 )2 .(1.15)С учетом соотношения ∇S0 = p, где p — классический импульс, определяемый соотношением 2p2 = 2m[E − V (r)],2(1.16)Классический импульс является функцией координат, и его не следует отождествлять с квантовым импульсом частицы, который совместно неизмерим с координатой.9условие (1.15) принимает вид:ℏ | div p| ≪ p2 .(1.17)pУчитывая, что λ = 2π~/p = 2π~/ 2m(E − V (r)) — длина волныде Бройля, неравенство (1.17) может быть переписано через длину волны де Бройля:| div λ| ≪ 2π,(1.18)или силу F = − grad V :p3 ≫ ℏm| grad V |.(1.19)Если L — характерный размер области движения частицы (в случаефинитного движения), то (учитывая, что в этом случае можно использовать следующую оценку: dλ/dx ∼ λ/L) условие (1.18) можно сформулировать иначе:λ ≪ L,(1.20)т. е.
квазиклассическое описание квантовой системы возможно в томслучае, если характерные размеры области движения намного превышают длину волны де Бройля частицы.При выполнении условия (1.17) уравнение Шредингера переходит вуравнение Гамильтона–Якоби, т. е. движение частицы становится почтиклассическим (или квазиклассическим). В качестве малого безразмерного параметра здесь удобно рассматривать ℏ/S0 . Таким образом, переход от квантовой механики к классической осуществляется формальным взятием предела ℏ → 0 [напомним, что переход от релятивистскойфизики к нерелятивистской происходит при c → ∞].1.3.Метод ВКБКвазиклассическое приближение как практический метод приближенного решения уравнения Шредингера наиболее полно разработанодля случая одномерного движения, которым мы и ограничимся ниже.В этом случае соотношения (1.9), (1.13) для частицы с массой m в потенциале V (x) принимают вид:iiiΨ(x, t) = exp σ(x) − Et = Ψ(x) exp − Et ,(1.21)ℏℏℏ(σ ′ )2iℏ ′′+ V (x) − E −σ = 0.2m2m10(1.22)Решение уравнения (1.22) будем искать в виде разложения неизвестнойфункции σ(x) по степеням малого параметра ℏ: 2ℏℏσ2 (x) + .
. .(1.23)σ(x) = σ0 (x) + σ1 (x) +iiДанная процедура называется методом Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ). Подставим разложение (1.23) в (1.22) и приравняемк нулю слагаемые с одинаковыми степенями малого параметра ℏ. Длястепени «0» получаем:p(1.24)σ0′ = ± 2m[E − V (x)] = ±p(x)— классический импульс, откудаσ0 (x) = ±Zxp(x′ ) dx′ .(1.25)Слагаемые степени «1» связаны следующим уравнением:σ1′ = −откуда1d1 σ0′′ln p ′=′2 σ0dx|σ0 |σ1 = ln p1|p(x)|(1.24)=1dln p,dx|p(x)|+ const.(1.26)Слагаемые второго порядка малости используются редко, и мы их неучитываем. Подставляя явный вид σ0 (x) и σ1 (x) в (1.21) и (1.23), дляволновой функции Ψ(x) получаем:ZZC1C2i xi x′′′′Ψ(x) = pp(x ) dx + pp(x ) dx ,exp −exp +ℏℏ|p(x)||p(x)|(1.27)где C1 и C2 — некоторые константы в соответствии с тем, что общеерешение уравнения 2-го порядка для Ψ(x) содержит две произвольныеконстанты.Характер полученной волновой функции (1.27) существенно зависит от знака разности E − V (x).
В так называемой классически доступной области движения, где E > V (x), импульс является вещественным,и волновая функция (1.27) осциллирует с изменением x. Совершенноиная ситуация наблюдается в классически недоступной области, гдеE < V (x). Здесь импульс становится мнимым (p(x) = i |p(x)|), а волновая функция, в отличие от (1.27), имеет вид суперпозиции двух вещественных экспонент:11Рис. 1.1C1′1Ψ(x) = pexp −ℏ|p(x)|Zx′′|p(x )| dx +C2′1pexp +ℏ|p(x)|Zx′′|p(x )| dx .(1.28)В соответствии с общей теорией линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка каждое из решений содержит подве произвольные константы, значение которых определяется соответствующими граничными условиями.
Из-за специфической структурыфункций (1.27), (1.28) данный метод иногда называют методом фазовыхинтегралов. Нижние пределы фазовых интегралов могут быть выбраны произвольно ввиду наличия неопределённых предэкспоненциальных констант. Из условия применимости квазиклассического приближения следует, что экспоненты, фигурирующие в (1.27), (1.28), являются быстро меняющимися функциямиp координат, в то время как предэкспоненциальные множители 1/ |p(x)| изменяются медленно, поэтому при дифференцировании функции Ψ(x) предэкспоненциальные множители можно рассматривать как константы.На рис. 1.1 (частица с энергией E в потенциальной яме V (x)) область II (a < x < b) является классически доступной, а области I иIII (x < a, x > b) — классически недоступными.
Границы классическидоступной области называются классическими точками поворота. Ихкоординаты определяются из решения уравненияV (x) = E.Точка поворота называется левой (правой), если классически доступнаяобласть находится справа (слева) от нее. На рис. 1.1 точка a (b) являетсялевой (правой) классической точкой поворота.121.4.Граничные условия в методе ВКБПрактическое использование квазиклассических волновых функцийвозможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующегорешения (1.27) с экспоненциальным (1.28) при переходе через точкиповорота, т.
е. связь между константами C1 , C2 , C1′ , C2′ . Однако длянепрерывной в точке поворота потенциальной энергии V (x) обычнаяпроцедура сшивания функций, заключающаяся в приравнивании ихлогарифмических производных в соседних областях, является незаконной, поскольку в окрестности этой точки условия применимости квазиклассического приближения (1.19) не выполняются (p = 0). В этомслучае используют так называемые формулы сопряжения.Получим формулу сопряжения для левой точки поворота a(рис. 1.2). Выделим около нее область [a1 , a2 ], в которой квазиклассическое приближение неприменимо (эта область на рисунке заштрихована).
В областях I (x < a1 ) и II (x > a2 ) можно использовать функцииквазиклассического приближения (1.28) и (1.27) соответственно. Будемобозначать их ΨI (x) и ΨII (x). В качестве нижнего предела фазовыхинтегралов удобно взять x′ = a. Чтобы ΨI (x) убывала вглубь классически недоступной области I, необходимо в (1.28) положить C1′ = 0,C2′ ≡ C 6= 0:Z1 aC′′|p(x )| dx .(1.29)exp −ΨI (x) = pℏ x|p(x)|Справа от точки поворота (x > a2 ) осциллирующую функцию ΨII (x)тоже удобно записать в вещественной форме: Z xA1ΨII (x) = pp(x′ ) dx′ + α ,(1.30)sinℏp(x)aвводя в (1.27) вместо произвольных постоянных C1 и C2 новые постоянные A и α: C1 = (−i/2)A exp(iα), C2 = (i/2)A exp(−iα).Если область [a1 , a2 ] достаточно мала, потенциальную энергиювнутри нее можно линеаризовать, разлагая V (x) в ряд в точке x = a: dV.V (x) ≈ E − F (x − a),F = (1.31)dx x=a Точное решение уравнения Шредингера в однородном поле F (1.31) 2 2ℏ d+ F (x − a) Ψ(x) = 0(1.32)2m dx213Рис.
1.2известно в аналитическом виде и выражается через функцию Эйри (см.приложение Б):Ψ(x) = B Ai(ξ),ξ=2mFℏ21/3(a − x).(1.33)Для корректного перехода из области I в область II необходимо, чтобы внутри интервала [a1 , a2 ] и функция ΨI (x), и функция ΨII (x) непрерывно переходили в (1.33).Согласно (1.19), границы области, в которой надо использовать решение (1.33) уравнения (1.32), определяются неравенством (получитьего самим!):ℏ|x − a|3/2 ≫ √, или |ξ| ≫ 1.mFНас интересуют решения (1.32) только на границах этой области.
Следовательно, функцию Ψ на границах области можно выразить черезасимптотические выражения дляpфункций Эйри при |ξ| ≫ 1 (см. приложение Б). При x > a p(x) = 2mF (x − a), следовательно,Z x2 3/22p32mF (x − a) =ℏξ=p(x′ ) dx′ .33apПри x < a p(x) = 2mF (a − x), следовательно,Z a22p3/23|p(x′ )| dx′ .2mF (a − x) =ℏ |ξ|=33xИтак, квазиклассическое решение на границах интервала [a1 , a2 ],полученное как предельный случай точного решения уравнения Шредингера во всём интервале [a1 , a2 ], можно записать (с точностью до14нормировочного множителя) в виде:ZB1 a′′ 2p|p(x)| exp − ℏ x |p(x )| dx , Z xΨ(x) =π1B,p(x′ ) dx′ +sin pℏ a4p(x)приx . a1 ;(1.34)приx & a2 .Сравнивая (1.34) с (1.29) и (1.30), мы видим, что волновая функцияΨI (x) будет непрерывно переходить в ΨII (x), еслиB = A,2C = A,α=π.4Таким образом, для левой точки поворота формула сопряжения выглядит следующим образом: Z xZ11 aBBπ′′′′pexp −sin|p(x )| dx → pp(x ) dx +.ℏ xℏ a42 |p(x)|p(x)(1.35)Формулу сопряжения для правой точки поворота b можно получитьиз (1.35), если изменить направление оси Ox на противоположное и вкачестве фиксированного предела интегрирования взять b:" Z#Zb1πD1 xD′′′′pp(x ) dx +|p(x )| dx .sin← pexp −ℏ x4ℏ bp(x)2 |p(x)|(1.36)Следует отметить, что формулы сопряжения (1.35)–(1.36) верны только«в одном направлении» , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
