QML2 (1129442), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В этомслучае говорят о туннельном эффекте. Отметим, что туннельный эффект имеет чисто квантовую природу и в предельном переходе ℏ → 0(переход к классической механике) его вероятность равна нулю.Для оценки вероятности туннелирования используем квазиклассическое приближение. Область движения частицы можно разделить натри части: I, II и III, указанные на рис. 1.3. Для упрощения вычисленийбудем полагать, что потенциал равен нулю для x < a и x > b, следовательно, состояние частицы в областях I и III описывается плоскимиволнами (волнами де Бройля.) Будем считать, что до падения на барьерчастица находилась в области I, так что в области I решение уравнения Шредингера должно описывать как падающие на барьер частицыс импульсом p0 (описываемые функцией exp[ip0 x/ℏ]), так и частицы,отраженные от барьера (описываемые функцией exp[−ip0 x/ℏ]).
Такимобразом, волновая функция в этой области должна быть представленав виде суперпозиции двух волн:ΨI (x) = A eip0 x/ℏ + B e−ip0 x/ℏ .(1.46)В то же время, в области III волновая функция описывает лишь частицы, прошедшие через потенциальный барьер и улетающие в положительном направлении. Таким образом, при x > b волновая функцияимеет вид:(1.47)ΨIII (x) = C eip0 x/ℏ .20Коэффициент прохождения D определяется как отношение плотности потока проходящих частиц к плотности потока падающих частиц,что дает:D = |C/A|2(1.48)(см. [3] осн., ч. 2, п.
1.3). Если барьер, создаваемый плавно меняющимсяпотенциалом V (x), достаточно широк (в соответствии с (1.19)), то вклассически недоступной подбарьерной области II (см. рис. 1.3) точнаяволновая функция может быть заменена квазиклассической:ΨII (x) = pгдеP(x) =Zακ(x)x′eP(x)/ℏ + p′κ(x ) dx =aZxapβκ(x)e−P(x)/ℏ ,2m[V (x′ ) − E] dx′ ,(1.49)(1.50)а α и β – некоторые константы, подлежащие определению путем сшивания решений (и их первых производных) на границах барьера. Так какпотенциал V (x) отличен от нуля вплоть до точек поворота, то квазиклассическое приближение можно использовать и в бесконечно малойокрестности точек a и b.
В этом случае сшивку волновых функций и ихпервых производных можно произвести непосредственно в точках a и bобычным методом (с учетом правила дифференцирования квазикласpсических функций, т. е. считая предэкспоненциальные функции κ(x)слабо меняющимися):√(A eip0 a/ℏ + B e−ip0 a/ℏ ) pa = α + β,√ (A eip0 a/ℏ − B e−ip0 a/ℏ ) i p=pa (α − β),0(1.51)γ−γip0 b/ℏ √p,αe+βe=Ceb √pb (α eγ − β e−γ )= C eip0 b/ℏ ip0 ,гдеpa =p2m[V (a) − E],pb =p2m[V (b) − E],γ = P(b)/ℏ.С учетом условия квазиклассичности (1.19) полагаем, что(1.52)γ ≫ 1.Разрешая систему (1.51) относительно переменных A и C (проделать вычисления самостоятельно), при условии (1.52) получим:4 e−γ−ip0 (b−a)/ℏC=√ pa1A√√1 −−paip0pb21√pbip0или для коэффициента D:D = D0 e−2γ ,D0 =16pbpa+pa pbp20+p20pa pb+papb.(1.53)Отметим, что явный вид слабо зависящего от энергии предэкспоненциального множителя зависит от вида потенциала, в то время как зависимость e−2γ/ℏ является универсальной для всех потенциалов.
Следовательно, с экспоненциальной точностью имеем:"D ∼ exp −2ℏZbap#2m[V (x) − E] dx .(1.54)Универсальный результат (1.54) для потенциала произвольного вида может быть получен также и с помощью использования формулсопряжения (см. § 50 в [1] доп.).22Глава 2.Стационарная теория возмущенийТочное аналитическое решение уравнения ШредингераĤΨ = EΨ,определяющего энергию и волновые функции стационарных состояний,возможно только для некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих идеализированным системам (например, прямоугольная бесконечно глубокая потенциальная яма, линейный гармоническийосциллятор, заряженная частица в кулоновском поле точечного заряда).
При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственныхзначений и собственных функций гамильтониана. В предыдущей главе был рассмотрен один из таких методов, не требующий численногоинтегрирования уравнения Шредингера, — квазиклассическое приближение. Другой аналитический метод, называемый теорией возмущений(ТВ), развит для случая, когда гамильтониан Ĥ рассматриваемой задачи может быть представлен в виде:Ĥ(ξ) = Ĥ0 (ξ) + V̂ (ξ),где Ĥ0 — гамильтониан идеализированной задачи, допускающей точное аналитическое решение, а V̂ ≡ Ĥ − Ĥ0 — некоторая малая добавка, называемая оператором возмущения или просто возмущением. Оператором возмущения может быть либо часть гамильтониана, котораяне учитывалась в идеализированной задаче, либо потенциальная энергия внешнего воздействия (поля).
Задачей теории возмущений являетсяотыскание формул, определяющих энергию и собственные функции гамильтониана Ĥ через известное решение задачи с гамильтонианом Ĥ0 .Формализм теории возмущений различается в зависимости от того, какое (вырожденное или невырожденное) состояние гамильтониана Ĥ0используется в качестве «нулевого» приближения для решения задачи.Ниже эти случаи рассматриваются раздельно.232.1.Теорияуровнявозмущенийдляневырожденного(0)(0)Пусть значения энергий El и волновые функции Ψlщенной» системы с гамильтонианом Ĥ0 известны:(0)(0)(0)(2.1)= El Ψ l .Ĥ0 Ψl«невозму-Для решения задачи целесообразно переписать исходное стационарное уравнение Шредингера(2.2)(Ĥ0 + V̂ )Ψ = EΨв энергетическом представлении, выбирая в качестве базиса решение«невозмущенной» задачи (2.1).
Разлагая искомую функцию Ψ по известному базису гамильтониана Ĥ0 :XΨ=an Ψ(0),(2.3)|{z} nn?(0)∗подставляя (2.3) в (2.2) с учетом (2.1), умножая на Ψm (ξ) и интегрируя по ξ, вместо дифференциального уравнения (2.2) получаем эквивалентную ему бесконечную систему алгебраических уравнений длякоэффициентов {an } (см. также ч. 1, п. 3.4):X(0)] am =Vmn an ,[|{z}E −Em(2.4)|{z}|{z}?гдеVmn =n?Z?(0)Ψ(0)∗m (ξ) V̂ (ξ)Ψn (ξ) dξ(2.5)— матричный элемент оператора возмущения V̂ . В дираковских обозначенияхE (0)Vmn = hm| V̂ |ni ;an = hn |Ψi ;|ni ≡ Ψn .(2.6)Отыскание энергии E и коэффициентов an в общем случае сводитсяк диагонализации бесконечной матрицы системы (2.4).
Однако в случаемалого V̂ спектр El и собственные функции Ψl оператора Ĥ мало отли(0)(0)чаются от El и Ψl , что позволяет развить достаточно эффективныйприближенный метод решения (2.4). Для этого выделим безразмерный24малый параметр λ в операторе V̂ явно 1 :V̂ = λŴ ,Vmn = λWmn ,(2.7)и будем искать решения матричного уравнения Шредингера (2.4) в виде разложения в ряд по степеням λ:(0)El = El(1)+ λEl(2)+ λ 2 El+ ...;(1)2 (2)am = a(0)m + λ am + λ am + . . . .(2.8)(2.9)Сущность теории возмущений состоит в последовательном вычисле(k)(k)нии поправок {El } и {am } в разложениях (2.8) и (2.9) с использованием решений уравнения Шредингера для невозмущенной системы.(0)Если состояние невозмущенной системы с энергией El невырожденное, то и состояние с энергией El также будет невырожденным, причем(0)lim Ψ = Ψl .λ→0Поэтому в соответствии с (2.3) в разложении (2.9) необходимо положитьa(0)(2.10)m = δml .Дальнейший ход решения задачи состоит в подстановке (2.8)–(2.10)в систему (2.4)(0)[El(1)(0)+ λEl− Em(2)+ λ 2 El2 (2)+ .
. .][δml + λ a(1)m + λ am + . . .] =X2 (2)=λWmn [δnl + λ a(1)n + λ an + . . .] (2.11)nи приравнивании слагаемых с одинаковыми степенями λ в правой илевой части (2.11). Следует раздельно рассмотреть случаи m = l иm 6= l.1. При m = l получаем первую систему связанных уравнений для(k)(k){El } и {an }:(1)El = Wll ;X(1) (1)(2)(1)Wln an ; .El + El a l =(2.12)n..............................1Явный вид этого параметра зависит от конкретной задачи. Пусть, например,V̂ = −eEx, где e — заряд электрона, E — напряженность внешнего электрическогополя, действующего на систему с гамильтонианом Ĥ0 .
Вводя боровский радиус a0и атомную единицу напряженности электрического поля E0 = |e|/a20 ≈ 5, 1 × 1092В/см, V̂ можно переписать в виде: V̂ = EE ax ae ; в случае слабого поля E (то есть0 0 0E ≪ E0 ) величина λ ≡ E/E0 ≪ 1 может рассматриваться как малый параметр.252. При m 6= l получаем вторую систему, аналогичную (2.12):(1)El a(1)m +(0)(0)a(1)− Em]m [El(0)(0) (2)[El − Em]am= Wml ;X=Wmn a(1)n ;n...........................................(2.13)Каждое k-е уравнение систем (2.12) и (2.13) соответствует слагаемымпорядка λk в (2.4).Из (2.8), (2.12) следует, что в первом порядке теории возмущений(т.е.
учитывая лишь члены порядка λ) энергия квантовой системы выражается формулой(0)E = El(1) (2.7)(0)+ λ El= El|{z}(2.14)+ Vll .WllТаким образом, поправка к энергии изолированного уровня в первомпорядке теории возмущений равна среднему значению оператора возмущения V в соответствующем невозмущенном состоянии:(1)∆El= Vll =Z(0)∗Ψl(0)(ξ) V̂ Ψl (ξ) dξ.(2.15)Используя первое уравнение (2.13) и соотношение (2.3), находимволновую функцию Ψl в первом порядке по величине возмущения:Ψl = (1 + λ(0)(1)al )Ψl|{z}+λX′m?Wml(0)El−(0)EmΨ(0)m .(2.16)Штрих над знаком суммы с энергетическим знаменателем означает отсутствие слагаемого с m = l. Это так называемая спектральная сумма.Легко видеть ее ортогональность невозмущенному состоянию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
