С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 26
Текст из файла (страница 26)
С точки зрения квантовой механики, после домножения на константу, задача на собственные значения энергии сводится к виду дги 2тЕ /тпшйг г и — 1 ) хи=О. дхг йг (, Д ,) (5.6) Как обычно, это уравнение имеет решение при любых значениях энергии, но такие решения, вообще говоря, «расходятся»; т. е. неограниченно растут по мере того, как х †» ~ж. Только при определенных значениях энергии Е„существуют хорошо определенные решения, соответствующие собственным функциям и„. В данном случае хорошая определенность означает, что функция очень быстро обращается в нуль по мере того, как величина х растет. Разрешенные собственные значения энергии определяются хорошо известной н знаменитой своей простотой форму- лой Е„.=- БЯ(и + 1»»2), и =- О.
1, 2, 3 .... (5.7) Отметим, что основное состояние имеет конечную энергию Ео = йи»/2. Из волновых функций мы выпишем только функцию основного состояния, которая равна ио = »УехР( — ' ], хо = 1,1 2хог,l ™~ » (5.8) где 7»г — константа нормировки, которая здесь не будет вычисляться. Хотя для получения (5.8) из (5.6) необходима довольно сложная математика, подтвердить, что (5.8) является решением (5.6) для Е = Ео = Ьь»(2 можно простым дифференцированием.
Убедитесь в этом! Заметим также, что волновая функция начинает очень быстро спадать за точками поворота. Тем не менее, существует малая вероятность найти частицу в классически запрещенной области ~х~ > хо. Если частица имеет энергию Е, ее классическое движение лежит между точками поворота х = хо и — хо, где хо = (2Е»»пи ~~)~7г. Общее решение классических уравнений движения имеет вид 109 Гармонический осггаллятор Три измерения Потенциал «сферическогог гармонического осциллятора равен Р'(2) = — таг'г~. 2 (5.9) гг(х, у, а) = пкн (х) + по, (У) + ио, (У), Зч (5.!О) где целые числа иг, иа, пз снова меняются от нуля до бесконечности. Конечно, энергия зависит только от их суммы, которая снова являет- ся целым числом. Поэтому уровни энергии можно нумеровать одним числом и, определяемым как и =- иг Ч- па+ из.
Егг = йсо(п+ — ), и = О, 1, 2, 3, (5. Н) Такая ситуация связана с вырождением, поскольку за исключением и = = 0 одно и то же число и можно представить разными способами в виде суммы трех неотрицательных чисел пг, пю из. Для основного состояния, и =. О, вырождение отсутствует, т.к. (пг, пн пз) .= (О, О, 0) дает единственный набор чисел. Но для и =. 1 существует три разбиения: (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1).
Для и = 2 возникает шесть наборов (проверьте!), и т.д., степень вырождения повышается по мере роста п,. Каждое разбиение для данного и соответствует другой собственной функции. Основное состояние сферического осциллятора имеет энергию 31гог,г'2. Его волновая функция, как это видно из (5.8) и (5.!0) равна оо,о,о =- !у ехр~ — — а(, го = хог,г, (5.!2) 2'о Для трехмерного случая мы заменили обозначение хо на го. Он соответствует притягивающей радиальной силе Е = — Кг; снова можно определить частоту аг через упругую константу К в соответствии с ш = (К,гт)~г~.
Поскольку потенциал разделяется в сумму слагаемых. каждое из которых зависит только от одной декартовой переменной, т, к. г- = ха + у + е~, то решение задачи сводится к решению одномерной задачи, которую мы рассмотрели выше. Собственное значение энергии получается как сумма энергий для трех одномерных задач. Пусть и„— одномериое собственное состояние, выраженное как функция одной из декартовых координат х, у, -. Пусть ń— соответствующее собственное значение одномерной задачи. Тогда собственные функции для трехмерного осциллятора (назовем их о(х, у, е)), занумерованные тремя целыми числами пг, гга и пз, могут быть записаны в виде ПО Глава 5 Общий случай центрального потенциала Потенциал Г(г) является центральным, если он зависит от х, у, .
только через переменную г, равную расстоянию до начала координат. Можно сказать, что потенциал И(г) «центрирован» относительно начала координат. Силы, описываемые сферическим потенциалом, называются центральными силами. Они действуют в радиальном направлении с величиной Е = — гПг((Ьт Положительное значение Г означает, что сила является отталкивательной, отрицательное значение Е соответствует притягивающей силе, которая направлена к началу координат.
Конечно, возможна ситуация, когда при некоторых значениях г сила является отталкивающей, а при некоторых г — притягивающей. Потенциал сферического осциллятора, обсуждавшегося выше, дает пример чисто притягивающего центрального потенциала. Центральный потенциал не имеет в пространстве предпочтительных направлений. В такой ситуации физика явления должна допускать вращательную инвариантность, т.е.
она не должна меняться при произвольных вращениях вокруг любой оси, проходящей через начало координат. Это свойство симметрии имеет очень важное приложение. В классическом случае оно приводит к сохранению углового момента Х: угловой момент частицы, движущейся в центральном потенциале, остается неизменным по величине и направлению, пока она движется по орбите. Это необходимо приводит к тому, что классическая орбита должна лежать в плоскости с вектором л., перпендикулярным плоскости.
Возможно все ориентации плоскости движение. Ориентация для любой конкретной орбиты определяется начальными условиями. Вращательная симметрия приводит также к тому, что равновозможна любая ориентация орбиты внутри плоскости, а конкретная ориентация опять определяется начальными условиями. Например, Земля движется вокруг Солнца по некоторой конкретной эллиптической орбите (которая близка к круговой). Главная ось такого эллипса расположена в некотором конкретном направлении в пространстве.
Центральные силы гравитации допускают для этой оси любое направление в пространстве; точно так же они допускают любую другую ориентацию плоскости. Более общим образом классическую ситуацию можно рассмотреть так. Для данного потенциала и', является он центральным или нет, ньютоновский закон движения допускает бесконечно много различных ор бит. Конкретный вид орбиты определяется начальными условиями. Из наличия геометрической симметрии, если таковая существует, получаются соотношения между орбитами. В случае вращательной симметрии, если мы знаем одну орбиту, мы можем получить остальные при помощи произвольных вращений, как описано выше. Это очень мощное средство.
Квантовомеханический эквивалент закона сохранения для классического углового момента состоит в утверждении, что все три декартовы Оби~ий случай центрального потенциала компоненты наблюдаемой углового момента Х коммутируют с наблюдаемой энергии. Как уже обсуждалось, эти три компоненты не коммутируют между собой, но Ез коммутирует с компонентами А в любом направлении. Следовательно, для частицы, движущейся в центральном потенциале, мы можем найти состояния, которые одновременно являются собственными как для энергии, так и для Ез и одной из компонент Х в любом направлении, которое мы выберем. Выберем желаемое направление в качестве оси з. Общие собственные состояния будут отличаться квантовыми числами 1 и пч! (см. (4.21) и (4.22)).
Для данного значения этих квантовых чисел будет существовать целый спектр значений энергии. Для простоты обозначений будем считать этот спектр дискретным. Тогда мы можем ввести главное квантовое число и (в действительности это просто индекс для подсчета) для того, чтобы различать среди линейно независимых состояний те, которые имеют одинаковые 1 и тп Такие общие собственные состояния можно обозначить как и„п,„,. Энергию, соответствующую этому состоянию, мы предусмотрительно обозначим Еп,ь~п,.
Фактически, нетрудно показать, что энергия в центральном потенциале не зависит от тб точнее — по данному квантовому числу энергия вырождена. Энергии Е„ ~ зависят только от двух индексов и и 1. Тогда 21 + ! состояний и и ,, которые имеют одинаковые индексы и, и 1, но различные гап будут соответствовать одной и той же энергии. Это вырождение является квантовым аналогом классического результата, что угловой момент Х может иметь любую ориентацию. Квантовое вырождение по пч~ следует из того факта, что центральный потенциал не имеет предпочтительного направления в пространстве.
Разберемся с главным квантовым числом и, Рассмотрим все линейно независимые состояния, которые имеют одинаковую пару 1 и гнь Все состояния в этом наборе будут иметь различные энергии. Чтобы различать состояния по энергиям, используем индекс п, такой, чтобы п увеличивался по мере увеличения энергии. Выбор того, откуда должен начинаться это индекс — какое именно п ,„ соответствует уровню с наименьшей энергией, — это вопрос удобства и соглашения. Иногда лучше выбирать различные значения п ш для различных значений 1.
Собственные состояния проще всего выразить в сферических координатах. В этих координатах собственные функции имеют вид и„дпч = Л„й(г)Ъ' '(О,:р), (5.13) где множитель в виде сферической гармоники, являющейся функцией полярного угла о и азимута ~р, гарантирует, что решение является собственным состоянием для ЬЯ и Л. Если это выражение подставить в уравнение на собственные значения для энергии (4.!), получится обыкновенное дифференциальное уравнение для радиальной функции Л, или П2 Глава 5 для произведения г Л: д (гЛ) + 2тЕ( Л) 2т" (г)( ) 1(1+1)( Л) (514) Мы временно опустили индексы и и ! у радиальной функции Л. Хорошо определенные решения уравнения (5.14) зависят от квантового числа 1 полного углового момента (но никак не от тп которое даже не появилось в этом уравнении). Одно решение этого уравнения отличается от другого главным квантовым числом п: поэтому Л вЂ” Л„ь Аналогично Š— Еи ь Как обычно, мы не будем предлагать здесь непосредственно решать это уравнение для некоторого конкретного потенциала $'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
