С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

В зависимости от конкретного выбора наблюдаемых может получиться так, что даже когда заданы оба значения Л и р, остается еще некоторое вырождение, соответствующее одинаковым значениям Л и гг. В конце концов можно прийти к полному набору коммутирующих наблюдаемых, все общие собственные состояния которых единственным образом определяются их собственными значениями. Три декартовых координаты х, у, з образуют набор коммутирующих наблюдаемых с непрерывным спектром. Поэтому можно построить определенную волновую функцию, которая локализована одновременно при некотором конкретном выборе трех переменных.

То же самое справедливо для трех компонент Рп, Рю Р, импульса. Но можно выбрать наборы наблюдаемых, не коммутирующих между собой; например, х и Ре не коммутируют между собой. Для таких пар не существует состояний, в которых обе наблюдаемых могут быть известны с неограниченной точностью; в этом случае они определяются принципом неопределенности Гейзенберга. Принцип неопределенности Рассмотрим некоторую конкретную наблюдаемую, для примера, координату частиц х. Существуют волновые функции, для которых пространственное распределение вероятностей задается узким пиком вблизи выбранного конкретного значения х.

То же самое можно сказать про компоненту импульса Р,. Но как впервые показал Гейзенберг, существует ограничение на то, чтобы волновая функция одновременно являлась пиком для обоих величин. Для данной волновой функции ге мы можем найти пространственное распределение вероятности. Но пока еще мы не говорим о том, как получить из »Р распределение по импульсу. Для этого существуют определенные правила, которые мы вскоре обсудим, Из ннх следует, что если пространственное распределение является узким, то распределение по импульсу неизбежно будет широким, н наоборот. Нет способа обойти этот вывод. Мерой ширины любого распределения в среднем является «квадратный корень из среднего квадрата отклонения».

Проиллюстрируем это на примере координаты т, положения частицы, подразумевая следующее. Для данного распределения вероятности можно вычислить среднее значение х, обозначаемое (х); а также среднее значение хз, обозначаемое как (хг). Если распределение по х имеет фор- 86 Глава 4 Оно является полезным способом для характеристики ширины распределения. Малые Лм означают узкое, а большие Ьх — широкое распределение. Если нам известно состояние йг в определенный момент времени, мы можем получить пространственное уширение Ьх, а используя распределение вероятностей по импульсам — среднеквадратичное отклонение лхр,.

Гейзенберг показал, что для любой волновой функции йг справедливо следующее неравенство: Ьл лхр, > — 6. 1 2 (4.1!) Это соотношение устанавливает предел, с которым одновременно могут быть известны две некоммутирующих наблюдаемых. Аналогичные ограничения существуют для пар (у, р,) и (з. р,); для других пар наблюдаемых, некоммутируюших между собой, тоже существуют некоторые ограничения. Нет никаких ограничений только на одновременную измеримость, например, величин х и р„.

Они коммутируют между собой. Принцип неопределенности может быть выражен в достаточно общем виде для любой пары переменных, но мы не будем их здесь выписывать, поскольку это требует достаточно тонких технических упражнений. В квантовой механике существует и другое неравенство, которое также часто цитируется, и которое включает в себя энергию и время. Оно выглядит как принцип неопределенности, но имеет другое происхождение, чем принцип Гейзенберга, обсуждавшийся выше. Коротко остановимся на этом. Предположим, что состояние системы описывается волновой функцией 4г(л, у, з, ! = 0) в какой-то начальный момент! = О.

Это состояние определяет некоторое распределение по энергиям; соответственно можно вычислить среднеквадратичное отклонение для этого распределения ЬЕ, характеризуюшее ширину распределения. В некоторый, более поздний момент й волновая функция системы, конечно, измениться. Но для достаточно малых т, можно ожидать, что волновая функция изменится очень мало. Можно спросить, сколько же времени должно пройти, чтобы волновая функция стала существенно отличаться от своего начального состояния? Назовем это время т.

Слова лсушественно отличаться> не являются, конечно, очень точными. Чтобы определить их более точно, поступим следующим образом. Можно показать, му острого пика при некотором ак так что каждое измерение приводит к одному и тому же значению ач тогда все значения лз тоже будут одинаковы. В этом случае (тз) = (м)з. Для всех других распределений, как нетрудно видеть, (аа) будет больше, чем (л)з; не намного больше, если распределение задано в виде пика и значительно больше, если распределение широко размазано. Среднеквадратичное отклонение определяется как в*= 4(*Ч вЂ” ЬЯ 87 Импульс что время т связано со среднеквадратичным отклонением по энергии неравенством тЬЕ > 6. (4.12) Часто его воспринимают как соотношение неопределенности для энергии и времени, но это неправильно. Это означало бы, что время является динамической величиной, которая, конечно, меняется со временем! Но это просто очевидно.

Время является независимой переменной, от которой зависят другие величины: волновая функция, распределение вероятностей различных переменных и т.д. Время меняется само по себе — квантовое распределение вероятности для него отсутствует (хотя, конечно, для реальных часов существует множество причин говорить в практическом смысле о вероятностном распределении точности часов). Уравнение (4.12) может восприниматься лишь в том смысле, в каком оно изложено выше. Мы уже отмечали, что для каждой физической наблюдаемой существует конкретное уравнение на собственные значения, которое определяет спектр н собственные функции.

Собственные значения сами по себе, очевидно, представляют непосредственный физический интерес. Соответствующие собственные функции интересны в связи с определением вероятностей различных значений, получаемых в эксперименте, определяемых состоянием Ф системы (см. уравнения (4.7) — (4.10) и многочастичное обобщение, рассмотренное позднее).

Для наблюдаемой энергии мы уже выписывали уравнение на собственные значения — уравнение (4.1) для случая отдельной частицы; мы показали как оно обобщается на случай двух или более частиц. Что же можно сказать о других наблюдаемых? В остальной части главы мы остановимся на импульсе, орбитальном угловом моменте, спиновом угловом моменте и энергии для одиночной частицы, а также на сопутствующих им разделах.

Импульс Уравнение на собственные значения для декартовых компонент импульса р выглядит очень просто. Например, для компоненты р, уравнение имеет вид — 1й —,' = р„и. дм (4.13) дж Аналогичное соотношение можно записать для двух оставшихся компонент. Все три декартовы компоненты импульса коммутируют между собой. Это означает, что можно найти решения, которые являются одновременно собственными состояниями всех трех. Из уравнения (4.13) и его аналогов для остальных компонент нетрудно найти, что единственное состояние с одновременными значениями р„р,, р, (образующими 88 Глава 4 3-вектор р) имеет вид Ггр(х, Гм а) = ехр(грг/6), (2хй)згз рт = хр, + ура+ зр,. (4.14) Численный коэффициент перед экспонентой выписан для удобства дальнейших вычислений.

Это решение одновременно удовлетворяет как уравнению (4.13), так и его аналогам для рр и р,. Такое состояние доказывает, что импульс не квантуется: разрешены любые трех-вектора р. Импульс делит это свойство с наблюдаемой положения гч возможны все положения частицы. Предположим, что наша частица описывается некоторой волновой функцией Ф. Какое распределение по импульсам мы получим при измерении? В соответствии с (4.9) и (4.!0), амплитуда вероятности Ар = (ир~Ф), (4.15) где скалярное произведение определено в соответствии с (4.4).

Плот- ность вероятности получить р равна Р(р) = А„"Ар, (4.16) Ф = йгехр( — х" /4ЛЯ), где дг — нормировка, которую мы не будем выписывать, а Л вЂ” произвольный параметр. Плотность вероятности распределения по координате х равна Р(х) = Ф*(х)Ф(х). Отсюда легко вычислить различные средние, в частности, средний квадрат отклонения координаты. Результат равен Ьх = Л. Используя (4.15) и (4.16), мы можем вычислить плотность вероятности распределения по импульсу и, после этого, средний квадрат отклонения по импульсу.

Получаем Ьр = 6/2Л. Следовательно, произведение координатного и импульсного уширения равно Ьр,.Ьх =- 6/2, что в точности равно наименьшей возможности, установленной Гейзенбергом, см. уравнение (4.11). интегрируя которую по некоторой конечной области переменных импульса,мы получим вероятность того, что импульс частицы находится в заданной области. Чуть отвлекаясь, рассмотрим интересный пример одного из лучших проявлений ограничений, определяемых принципом неопределенности Гейзенберга. Для простоты рассмотрим случай одномерного движения вдоль оси х.

Характеристики

Список файлов книги