С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Оно зависит не только от координат пространства, но и от момента времени, поскольку от них зависит Ф. Это свойственно плотности вероятности, но когда плотность проинтегрирована по всему пространству— по всем возможным положениям в пространстве, где может находиться частица при измерениях, — результат не зависит от времени и равен единице.

Это видно из (4.5) совместно с (4.4) и (4.6). Идея, что физический мир вероятностен в своей основе, явилась центром драматических преобразований, приведших к квантовой теории. Это может раздражать, но это так. Все, что мы можем знать о динамическом состоянии системы, содержится в ее волновой функции; и волновая функция, в общем, не предполагает единственность результатов измерений, которые могут быть выполнены над системой. Надо подчеркнуть, что именно Бор, а не какой-то другой основатель квантовой механики вывел эту интерпретационную картину из того, что рассматривалось выше.

А структура уравнения Шредингера, по крайней мере,математически поддерживала и согласовывалась с этой интерпретацией. Краткий обзор правил Мы пришли к вероятностной интерпретации измерений положения частицы, но это только начало. Что можно сказать о других переменных: энергии, импульсе, угловом моменте, и т. д.? По каждой физической наблюдаемой можно фактически задать три вопроса: (1) Какова область значений, которые будут получаться в результате измерения? (2) Если система в некоторый момент находится в конкретном состоянии Ф, то каковы вероятности получения различных значений при измерении? (3) Какое состояние возникает сразу после измерения и какие конкретные значения могут быть получены? 82 Глава 4 Для наблюдаемых положения мы уже рассмотрели вопросы 1 и 2 и нашли (точнее постулировали), что, как и в классике, возможны все положения; при этом функция распределения определяется соотношением (4.6).

Для наблюдаемой энергии ответ на первый вопрос состоит в том, что разрешены энергии, которые являются соответственными значениями энергии (4.1); а именно, те энергии, которым соответствуют хорошо ведущие себя решения (собственные функции). Обобщение на остальные наблюдаемые сделаем следующим образом. Каждой физической наблюдаемой соответствует свое уравнение на собственные значения, аналогичные уравнению (4.1) для энергии. Что именно за уравнения они представляют, мы пока разбирать не будем, а обсудим чуть позднее. На данный момент будет достаточно принять, что каждой физической наблюдаемой соответствуют хорошо определенные уравнения, включающие в себя первоначально неопределенный параметр.

Значения этого параметра, для которых существуют хорошо определенные решения являются соответственными значениями исследуемой переменной; соответствующие решения являются собственными функциями данной переменной. При этом надо помнить, что различным физическим величинам будут соответствовать различные наборы соответственных функций. Тогда ответ на 1 вопрос: какие возможные значения получаются в результате измерений — дается возможным спектром наблюдаемой величины — множеством собственных значений соответствующих данной наблюдаемой. Они и только они могут быть получены при измерении.

Если система в некоторый момент времени находиться в собственном состоянии интересующей нас наблюдаемой, то далее мы можем утверждать, что при измерении в данный момент мы будем получать только соответствующее собственное значение. В общем случае система, конечно, не будет находиться в собственном состоянии интересующей нас наблюдаемой, или в собственном состоянии какой-то другой наблюдаемой. Это приводит нас к обобщению вопроса 2. Для произвольного состояния Ф результаты измерения интересующей наблюдаемой будут распределены с некоторой вероятностью.

Каково будет распределение вероятностей? Легче всего сначала доказать постулированный ответ для случая, когда спектр наблюдаемой является счетным, или, что то же самое, дискретным. Пусть собственные функции и„ помечены индексом и, и пусть ˄— собственное значение, соответствующее п-ой собственной функции 17„. Предположим, что собственные функции являются нормированными. Если система находится в состоянии Ф, то квантовое правило будет следующим. Определим амплитуду вероятности А„в соответствии (4.7) А„= (и„~Ф), воспользовавшись определением скалярного произведения (4.4).

Вероят- 83 Краткий обзор правил ность Р„ получить Л„ принимается равной Р„= А*„А„. (4.8) Для наблюдаемых положения и импульса, спектр которых непрерывен, разрешенные собственные значения Л меняются непрерывным образом. Пусть их — собственная функция, соответствующая данному Л. В данном состоянии Ф, бессмысленно спрашивать о вероятности получить конкретное значение Л, смысл имеет лишь вероятность Р(Л) аЛ нахождения наблюдаемой в некотором бесконечно малом интервале г)Л. Как и в дискретном случае, определим амплитуду вероятности А(Л) в соответствии с (4.9) А(Л) =- (и„(Ф). Соответствующую плотность вероятности примем равной (4.10) Р(Л) =- А(Л) * А (Л) . Для наблюдаемой, спектр которой является смешанным, т.е.

одна его часть дискретна, а другая — непрерывна, соотношение (4.7) и (4.8) используется для дискретной части, (4.9) и (4.10) для непрерывной. Есть еще третий вопрос, который касается возможных результатов и распределения вероятностей. Что станет с состоянием системы сразу после того, как проведены измерение и получены конкретные значения Л„(для простоты будем полагать, что спектр дискретен). Поскольку система меняется вследствие воздействия во время измерения, ее состояния до и после измерения различны. Какой станет новая волновая функция? Квантовое утверждение состоит в следующем. Каким бы ни было состояние системы до эксперимента, при измерении оно «коллапсирует» в собственное состояние (г„, соответствующее собственному значению Л„, полученному на эксперименте.

После этого волновая функция начинает меняться во времени согласно уравнения П1редннгера. Конечно, можно утверждать, что в этом утверждении присутствует очень большая доля идеализации, хотя бы потому, что, помимо других причин, процесс измерения не происходит мгновенно. Более того, само понимание процессов измерения, которые мы рассматриваем при анализе воздействия извне на нашу квантовую систему, содержит глубокие технические и, что более важно, философские проблемы. Однако в данный момент мы остановимся на тех предположениях, которые были сформулированы выше, До сих пор принципы квантовой механики, в основном, иллюстрировались на примере отдельной частицы.

Хотя обобщение на многочастичные системы может быть сделано непосредственно, соответствующее математическое описание становится существенно более трудным. Для многочастичных систем состояние описывается волновой функцией, 84 Глава 4 зависящей от времени и координат всех частиц системы. Естественно, что и потенциальная энергия будет зависеть от всех этих координат. В уравнениях (4.1) и (4.2) возникнет сумма слагаемых, которые аналогичны первому из левой стороны этих уравнений, по одному на каждую частицу, каждое слагаемое со своей собственной массой и со своими координатами в производных для каждой частицы.

Скалярное произведение в (4.4) должно быть расширено, чтобы учесть интегрирование по переменным положения всех частиц. С учетом понимания этих замен, уравнения (4.1) и (4.2) останутся неизменными. В противоположность одночастичной интерпретации, выраженной в (4.8), произведение Ф*йг сейчас дает совместную вероятность распределения по положениям всех частиц. Кроме того, нужно отметить, что необходимо учесть спиновой угловой момент, который является динамической переменной для таких частиц, как электроны, протоны и нейтроны. Спин мы учтем чуть позднее. Коммутирующие наблюдаемые Для удобства последующего изложения остановимся на понятии линейной независимости. Говорят, что функция Г является линейной комбинацией и функций иг, из, ...

и„, если она может быть «разложена» на эти функциям в соответствии с Г=сгмг+сгнг+ ..+с„и,, где с, являются (возможно, комплексными) константами. Множество функций и„образует, как говорят, линейно независимый набор, если ни одна из них не может быть записана в виде линейной комбинации остальных, Рассмотрим некоторое конкретное собственное значение Л интересующей нас наблюдаемой.

Может быть так, что существует только одна линейно независимая функция ию соответствующая данному собственному значению. Тогда говорят о невырожденной ситуации. С другой стороны, может случиться так, что существует два или более линейно независимых собственных состояния с одинаковым собственным значением Л. В этом случае говорят о заграждении. Обычно существование вырождения отражает тот факт, что собственные состояния Л являются также собственными состояниями некоторой другой наблюдаемой; назовем ее н.

В такой ситуации для нумерации собственных состояний мы будем использовать второй индекс, записывая их и. Индексы говорят нам, что рассматриваемое состояние одновременно является собственным состоянием первой наблюдаемой с собственным значением Л и собственным состоянием другой наблюдаемой с собственным значением ц. Две наблюдаемых, для которых существуют одновременно общие Принцип неопределенности собственные состояния, называются коммутирующими. Если спектр дискретен, то в состоянии ил р обе наблюдаемых имеют определенные значения; или, как мы будем говорить, «известны» одновременно. Если спектр непрерывен, тогда существуют состояния (образованные суперпозицией близких соседних собственных состояний), в которых обе наблюдаемые могут быть известны с произвольной точностью.

Характеристики

Список файлов книги