С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Волновая функция чг(1) зависит от координат пространства через функции иь, но мы не выписываем здесь эти переменные. Предположим, что нам известна зависимость чч(0) от пространственных координат в некоторый начальный момент времени 1 =- О. Поэтому в начальный момент времени мы знаем коэффициенты разложения А„(0).

Из уравнений (4.18) и (4.19) нетрудно показать, что коэффициенты А„(1) в произвольный момент времени 1 связаны со своими значениями в момент 1 = 0 простыми соотношениями А„(1) =. А„(0) ехр( — 1Е„Цй). (4.30) Этим соотношением решается задача временной эволюции — по крайней мере, если задача на собственные значения может быть решена.

Конечно, эта победа кажется сомнительной, поскольку сумма в (4.29) обычно содержит бесконечное число слагаемых. Однако это формальное решение обеспечивает глубокое понимание и служит основой для различных приближенных подходов. Интересно рассмотреть эволюцию во времени для самой простейшей из всех ситуаций, а именно, для свободно движущейся частицы, когда Г = О. Для упрощения рассмотрим одномерный случай.

В классическом случае, если частица начинает движение в момент времени 1 = 0 из точки хо с начальным импульсом ро, то в последующие моменты времени ее импульс не меняется, а координата меняется по закону х(1) = хо+рог/т. В квантовой механике мы имеем дело с распределением вероятностей. Пусть (х)г, н (р),, соответственно, являются средними 99 Энергетические аспекты координаты и импульса в момент 1. Квантовым аналогом постоянства импульса является неизменность распределения по импульсам с течением времени.

Следовательно, (р)г —— (р)о и (р~)г = (р~)о. Но среднее положение с течением времени меняется, В терминах средних значений это изменение должно выглядеть так же, как и в классике: (*)г = (х)о+ (рот В данном случае больший интерес представляет среднеквадратичное отклонение координаты, которое не имеет аналога в классическом случае. Среднеквадратичное отклонение является мерой ширины распределения вероятности.

Об этом распределении часто говорят как о волновом пакете, который может рассматриваться как описание материального тела, движущегося в пространстве и меняющего форму с течением времени. Определим ширину среднего квадрата координаты и импульса как (гхх-")г = ((х )г) — ((х)г)'-; (глр' )г = ((р )г) — ((р)г) .

Тогда нетрудно видеть, что для свободной частицы ширина среднеквад- ратичного отклонения координаты с течением времени равна (~ах)г = (гааз)о+64+ (~рх)о~я(пгх. Коэффициент 6 в линейном слагаемом зависит от деталей первоначальной волновой функции и здесь нас интересовать не будет. Интересно последнее слагаемое. Коэффициент при г~ всегда положителен. Тогда, каким бы ни был знак Ь, через достаточно продолжительное время пакет будет не только двигаться, но и уширяться. Это означает, что даже если в некоторый начальный момент пакет был локализован, через некоторое время он неизбежно будет постепенно «расплыватьсяги Туннелнрованне Предположим, что одномерная частица движется в потенциале Ъ'(х), изображенном на рис. 4.2. Достаточно сложная, изогнутая функция, показанная на рисунке, выбрана для иллюстрации определенных интересных свойств задачи на собственные значения энергии.

Мы хотим сравнить классический и квантовый подходы. Классические барьеры Классически, кинетическая и потенциальная энергии частицы изменяются при ее движении по орбите, но сумма Е = К + 1г является величиной постоянной. Поскольку кинетическая энергия Л = рх/2гп обязательно неотрицательна, классическая частица с энергией Е может Глава 4 двигаться только в областях пространства, где )г(х) < Е. На энергетической диаграмме потенциал меняется вдоль х, но полная энергия Е, поскольку она является константой и не зависит от х, представляется прямой горизонтальной линией, Частице доступны все значения энергии Е, которые находятся выше минимума потенциала. Какой конкретно энергией будет обладать частица, определяется ее начальными условиями.

Рассмотрим несколько различных случаев полной энергии Е. Рнс. 4.2. Воображаемая функция потенциала»'(х), придуманная с педагогическими целями (сплошная кривая). Горизонтальные линии Е»-Е» соответствуют различным случаям полной энергии. кинетической плюс потенциальной. (1) При энергии Е1 < В, показанной на диаграмме, частица может двигаться только в ограниченной (финитной) области между «точками поворота» А и В.

Говорят, что она движется по ограниченной орбите. Если частица движется вправо, неизбежно наступит момент, когда она окажется в точке В. После этого она повернется, и начнет двигаться к точке А, достигнув которую, двинется к В и т.д., вперед и назад между точками поворота, Линия, отмеченная Еы проведена сплошной внутри разрешенной области и пунктиром в классически запрещенной области, (2) При энергии Ез, как показано на рисунке, существует три не связанные друг с другом пространственные области. Одной из них является неограниченная область между отрицательной бесконечностью и точкой поворота в С. Другой является неограниченная область между положительной бесконечностью и точкой поворота в С.

Третьей является 1О1 Энергетические аспектьь ограниченная орбита между точками поворота Р и Г. Если в начальный момент частица начинает движение слева от точки С, но движется вправо, она достигнет точки поворота С, развернется и уйдет на отрицательную бесконечность. Если же она двигалась влево, то сразу уйдет на отрицательную бесконечность. Подобное замечание можно сделать и в том случае, если частица находится справа от С; ее движение заканчивается на положительной бесконечности либо сразу, либо после поворота в точке С.

Ограниченная орбита между точками Р и Г аналогична ограниченной орбите в случае 1. Частица на такой орбите имеет достаточно энергии, чтобы уйти на плюс или минус бесконечность, но она не может пройти через промежуточные барьеры. Аналогично, хотя полная энергия будет сохраняться, частица не может перескочить из одной неограниченной области в другую, Этому мешают барьеры между ними. 13) При энергии Ез, как показано, существуют две неограниченные пространственные области, одна с точкой поворота в Н, а другая в,Е Они не связаны между собой, благодаря наличию барьера. 14) При энергии Еч выше максимума потенциала существует единственная пространственная область, простирающаяся от минус до плюс бесконечности. Здесь отсутствуют точки поворота.

Если частица движется издалека слева, она сохранит свое движение к плюс бесконечности; и наоборот, если она движется справа, то уйдет на минус бесконечность. Точки поворота в этом случае отсутствуют. Квантовомеханический случай Во-первых, отметим, что, несмотря на все странности, квантовая механика разделяет с классической то свойство, что полная энергия Е не может быть меньше )г ш, соответствующего минимуму потенциала. Но в то время, когда все энергии Е > )г ы разрешены классически, в случае квантовой механики, в зависимости от вида потенциала, спектр энергий может быть дискретным, непрерывным или смешанным. Мы ограничимся в данном комментарии двумя широкими классами потенциалов.

11) Потенциалы, ко~орые стремятся к плюс бесконечности по мере того, как х стремится к плюс или минус бесконечности: 1'(х) — оо, при ~х — сс. Классически, все орбиты в таких потенциалах ограничены. Квантовомеханически, спектр энергий будет дискретным (квангованным) и это означает, что близкие значения энергий отличаются на конечную величину. 12) Потенциалы, которые стремятся к нулю, когда х стремится к плюс или минус бесконечности: г'(х) — О, при ,'х — оо.

Потенциал, изображенный на рис. 4.2, относится к этому классу. В этом случае спектр непрерывен для всех энергий Е ) О. Если минимум потенциала положителен, );ы„ ) О, на этом все и кончается; здесь 102 Глава 4 не существует собственных значений при Е < г' ы, а следовательно, для Е < О. Если г'(х) отрицательно для некоторой области л, в интервале и'(л1 < Е < О могут существовать, а могут и не существовать дискретные собственные значения. Если они существуют, то образуют дискретный спектр.

Таковы общие комментарии. Чтобы получить дополнительные отличия, вернемся к частному виду потенциала, изображенного на рис. 4.2. Снова рассмотрим несколько различных областей энергии. Предположим, что при Е < О суи1естеует по крайней мере одно ограниченное состояние, а, возможно, и больше. Пусть Е1 — собственное значение энергии для такого ограниченного состояния. Собственная функция тогда будет в основном сконцентрирована в классически доступной области между классическими точками поворота А и В. Но эта функция будет отличаться от нуля и в классически запрещенной области слева от А и справа от В.

Поэтому появляется конечная вероятность обнаружить частицу в классически запрещенной области! Это основное отличие: частица может проникать в классически запрещенные области. При всех Е ) О спектр непрерывен, но здесь также существуют некоторые странности квантовомеханических свойств. Обратимся к ним. Предположим, что в некоторый начальный момент времени существует состояние, которое является суперпозицией состояний с энергиями, близкими к энергии Еа, показанной на рисунке. Распределение вероятностей, связанное с такой волновой функцией, — волновой пакет — будет двигаться как материальное тело и изменять свою форму с течением времени. Расположим вначале этот пакет таким образом, чтобы он находился далеко слева от точки С и двигался вправо. Благодаря конструкции, пакет представляет собой частицу с почти определенной энергией Ез. Классически, такая частица должна отразиться в точке С и двинуться обратно.

Квантовомеханически, пакет по мере приближения к точке С начнет «чувствоватья и распадаться на две части, одна из которых отразится на минус бесконечность, а вторая будет двигаться к плюс бесконечности, пройдя точку С. Поэтому существует конечная вероятность туннелирования — прохождения через классический барьер. В действительности существует два таких барьера, которые должны быть преодолены при обсуждаемых здесь энергиях.

При этом следует отметить еше одно интересное квантовомеханическое свойство. Предположим, что первоначальный пакет сконцентрирован в классически ограниченной области между Р и Е. Классическая частица, разумеется, будет удерживать в этой области. С точки зрения квантовой механики, пакет будет удерживаться в данной области лишь некоторое время, после чего некоторая его часть уйдет на плюс бесконечность, в то время как оставшаяся — на минус бесконечность. Этот процесс подобен радиоактивному распаду. Энергетические аспекты При энергии Ез, изображенной на диаграмме, возможны явления отражения и прохождения через барьер, как и при энергии Еш только сейчас преодолеваться будет всего один барьер.

При энергии Ея, которая соответствует любой энергии Е > Ъ' „„, волновой пакет при движении не столкнется с барьером. Классическая частица, движущаяся издалека слева, уйдет вправо на плюс бесконечность; все наоборот будет происходить для частицы, движущейся издалека справа. Для квантовомеханического пакета мы будем наблюдать отражение и прохождение через барьер, хотя величина энергии превышает высоту барьера. В результате пакет, приходящий издалека слева, начнет распадаться по мере приближения к области, где пакет чувствует присутствие потенциала. При этом часть пакета, в конечном счете, уйдет далеко вправо, а другая отразится и уйдет далеко влево; подобное произойдет и для пакета, движущегося издалека справа, Несколько слов о терминологии.

Характеристики

Список файлов книги