С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Собственные состояния, соответствующие дискретному спектру (или дискретной части спектра, что часто не различают) часто называют сеязаняыми состояниями; кроме этого час~о говорят об энергетических уровнях внес~о собственных значений энергии. В случае непрерывного спектра вопрос о том, какие энергии разрешены, является бессмысленным, поскольку разрешены любые значения в непрерывной части спектра.
В этом случае интересной является только информация относительно процессов рассеяния и прохождения, содержащаяся в собственных функциях. В случаях трех измерений эти явления обобщаются на явления рассеяния. Столкновения частиц при заданной энергии приводят к силовым полям, характеризуемым некоторым потенциалом. Частицы рассеиваются в различных направлениях. Каковы будут вероятности рассеяния как функции энергии и угла рассеяния? Мы вернемся к этому вопросу чуть позже, в более широком контексте столкновительных реакций частиц.
ГЛАВА 5 Немного квантовой классики Свободная частица Предположим, что частица не взаимодействует ни с какими силами. В этом случае потенциал р' является константой, которую мы будем считать равной нулю. Поскольку энергия является чисто кинетической, и, следовательно, пропорциональна квадрату импульса, энергия и импульс коммутнруют между собой. Рассмотрим задачу на собственные значения импульса, сначала в одномерном случае. Собственные состояния и, соответствующие собственному значению р, являются одновременно собственными состояниями свободного гамильтониана с собственным значением —.
В соответствии с (4ЗЗ) функция импульса, р' 27п ' с точностью до постоянного множителя, который в данном случае нас не интересует, равна ир(х) = ехр(трх/Ь). Нетрудно прямо проверить, что это решение задачи на собственные значения для энергии, а именно ьз Нир — — — = Еир, где 2т (~хз Е = р-'/2т. Несложно видеть, что энергия двухкратно вырождена. Энергия Е определяет только величину импульса, знак р может быть как положительным, так и отрицательным.
Если собрать все вместе, то получит- Заголовок этой главы показывает, что мы попытаемся очень коротко рассмотреть несколько относительно простых задач, которые либо важны сами по себе, либо помогают продемонстрировать, как действует квантовая теория. В любом случае, в этой главе мы будем иметь дело с одиночной, нерелятивистской частицей массы т. !О5 Частица в яме ся следующее. Для свободной частицы разрешены все неотрицательные значения энергии.
При данном положительном значении энергии Е отсутствует два линейно независимых состояния, в качестве которых можно выбрать ехр(77гм) и ехр( — г!сл). Здесь к является положительной величиной, определенной соотношением й с2гпЕ 75а (5. 1) Оба(ее решение задачи на собственные значения для энергии является линейной комбинацией (5.2) оп = Аехр(!бам) + В ехр( — гкх). Если В = О, то (5.2) описывает частицу не только с определенной энергией, но и с определенным значением импульса р =- кй.
Если А =- О, то (5.2) описывает состояния с отрицательным импульсом р = — кй. Общее состояние с определенной энергией является суперпозицией двух состояний с противоположными импульсами. Измерения импульса в таком состоянии будут давать два возможных значения, соответствующих движению влево и вправо с относительными вероятностями А'А/В'В.
Для свободной частицы в трех измерениях мы снова увидим, что энергия и импульс коммутируют, но теперь импульс является трех-вектором. Собственное состояние импульса соответствует вектору собственных значений р и выражается экспоненциальной функцией (4.!4). Эта собственная функция одновременно будет собственной для энергии, с собственным значением Е = ра/2гп. Здесь символ р без значка вектора представляет величину вектора р. Поскольку энергия зависит только от величины, а не от направления, возникает бесконечное вырождение— вектор р может быть направлен в любую сторону. Для данной энергии Е (соответствующей величине р) общее собственное состояние является суперпозицией экспонент (4.!4), взятых с учетом всех возможных направлений р.
Частица в яме Одно измерение Расслютрим одномерную яму, расположенную вдоль л и окруженную слева и справа бесконечно высокими стенками. Такие стенки являются идеализацией, соответствующей случаю очень резкого увеличения потенциала до бесконечности. Такой бесконечный скачок потенциала соответствует случаю бесконечно сильных, отталкивающих сил на границе ямы.
Невзирая на странности квантовой механики, такая яма позволяет удерживать частицу, как если бы она была классической. Даже 106 Глава 5 квантовая частица не может туннелировать через бесконечную стенку. Это приводит к граничному условию на границе ямы; волновая функция должна обращаться в нуль на стенках. Пусть стенки находятся в точке х = 0 и т. = В. Движение частицы между ними можно считать свободным (и' = 0). Поэтому общее собственное состояние для энергии внутри ямы может быть записано в виде (5.2). Пока что (комплексные) константы А и В были произвольны. Но теперь мы должны потребовать выполнения граничных условий. Чтобы выполнить условие в точке х = = О, необходимо потребовать, чтобы В = — А.
Тогда нетрудно видеть, что разность двух экспонент в (5.2) приводит к тригонометрическому синусу. Поэтому, если обозначить новую константу с, можно записать, что ип(х) = с вш Йл. Но решение должно обращаться в нуль так же в точке х =- Е, что приводит к условию в1пйЛ = О. Хорошо известно, что синус обращается в ноль, если его аргумент пропорционален числу я. Следовательно, возможные значения 1г определяются числами к„ = ~~, и, = 1,'2,..., оо.
1. ' Соответственно, собственные функции и собственные значения энергии (которые теперь можно занумеровать целым индексом и) равны (5.3) где коэффициент перед синусом выбран таким образом, чтобы собственная функция была нормирована. Собственные значения энергии и собственные функции занумерованы целым числом, которое меняется от 1 до со. Поэтому существует счетная бесконечность связанных состояний.
Отметим, что собственные значения энергии растут без ограничения по мере увеличения целого числа и.. Абсолютное значение расстояния между данным уровнем и его соседним, т.е. ЬЕь = Ен«.1 — Е„, также растет по мере увеличения»,. Но относительное изменение становится все меньше и меньше, при увеличении и. Для больших и относительное изменение примерно равно отношению ЬЕ„/Е„, которое уменьшается при увеличении и. В этом смысле макроскопические энергии (при больших и) образуют спектр, который практически является непрерывным. Эта простая задача иллюстрирует, как требование «хорошего поведения> волновой функции приводит к квантованию собственных значений.
В данном случае это требование состояло в том, что волновая функция должна обращаться в нуль на стенках ямы. Обычно, при отсутствии стенок, хорошее поведение состоит в требовании, чтобы волновая функция была ограничена, т, е. не росла бесконечно по мере того, как х~ — ~ оо. 107 Гармонический оецаллятор Три измерения Сейчас можно рассмотреть трехмерную яму, куб со стороной Л, один из углов которого находится в точке (х, у, л) = (О, О, 0). Опять предположим, что внутри ямы частица движется свободно. При этом мы должны требовать, чтобы волновая функция обращалась в нуль на всех шести стенках.
Задача решается аналогично одномерному случаю, Собственные значения и собственные функции нумеруются тремя неотрицательными целыми числами нм па, пз. Можно найти Еан п2, ль з (п1 + нэ + пз) й и 2 2 2 2101,2 (5.4) Мы используем этот результат несколько позже. Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор проявляется в различных формах во многих разделах науки. По этой причине, а так же в силу педагогического значения, осциллятор занимает важное место в ряду классических примеров. Одно измерение Потенциал осциллятора соответствует закону Д(х) =- †, где к— положительный параметр, называемый лкоэффициентом упругостигч Этот закон с хорошим приближением описывает действие возвращающей силы, которая возникает со стороны реальной пружины, которая сжата (или при х < 0 растянута) на величину х.
Потенциальная энергия в этом случае равна 1г(х) =- Кх . Отметим, что потенциал растет по ме- 2 ре увеличения отклонения х. Следовательно, можно предположить, что квантовомеханический спектр энергии будет чисто дискретным. В дальнейшем удобно заменить параметр К на частоту х, определенную соотношением ш = (К/т)'~-', где гп — масса частицы. Тогда потенциал можно переписать в виде (л(х) .=.
— ггка х . 1 (5.5) 108 Глава 5 х(г) = хо з1п(а»(г — го)) где хо и 1о — произвольные параметры, определяемые начальными условиями, Поскольку синус изменяется в пределах от — 1 до 1, это решение подтверждает, что частица движется между точкам поворота при х = хо, где величина хо определяется значением энергии Е, в соответствии с написанным выше. Параметр 1о является моментом времени, в который частица проходит через начало координат (в положительном направлении). Основная мысль, которую стоит подчеркнуть, состоит в том, что это движение является периодическим, с угловой частотой ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
