С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Задача на собственные значения для Ьз уже была записана выше. Ее вид упростится, если уравнение переписать в сферических координатах. Поэтому оператор Лз тоже удобнее записать в сферических координатах. Но мы не будем выписывать здесь эти уравнения явно, а приведем лишь результаты. Для наблюдаемой Ьз собственные значения — те, что возможны, — даются выражением Ьа =- ((! -г 1)й~, ! =- О, 1, 2, 3, (4.2!) где ! может быть любым целым числом от нуля до бесконечности.
Для данного квантового числа ! собственные значения Л, равны 1;. = га~й, пн .= — (, — ! + 1,, ! — 1, !. (4.22) 94 Глава 4 Таким образом, для данного 1 число гп является целым и может принимать 21+ 1 значений в интервале от -1 до +1. С точки зрения классики, здесь можно увидеть несколько странных эффектов.
Один из них состоит в том, что величина вектора углового момента квантована: она принимает только определенные дискретные значения. Это происходит несмотря на то, что оператор углового момента определен через координаты и импульсы, операторы которых имеют непрерывный спектр. Более того, для одного из выбранных значений Лз — выберем его равным 1 — проекция Гз на ось з может принимать только определенные дискретные значения, как это видно из (4.22). Таким образом, здесь происходит некоторое дополнительное квантование. Возможно ли это по той причине, что у Х могут быть только определенные направления в пространстве? Если так, то ось з не может не может быть ни одним из этих направлений.
Действительно, если направление Х совпадает с положительным или отрицательным направлением оси -, то квадрат проекции на ось з должен быть равен Бз, в этом случае Г., -з= Аз = Ц1 + 1)1«з. Но из (4.17) и (4.18) видно (при данном 1), что наибольшее собственное значение ь~ равно 1зйз, которые меньше, чем 1(1+1)йз. Поскольку мы не делали каких либо специальных предположений при выборе направлений координатных осей, их всегда можно переориентировать, выбрав предполагаемое направление Х за новое направление оси ж Тогда те же аргументы говорят нам, что Х не может быть направлен туда, куда, как мы считали, он направлен. Чтобы закончить с этим абсурдом, мы должны отказаться от классического образа вектора углового момента, имеющего некоторое определенное направление в пространстве.
Квантовая механика очень эксцентрична. Конечно, классическое мышление совсем не плохо в макроскопических ситуациях. Микроскопическая единица углового момента равна й. Это очень малая величина в масштабах того, что происходит в повседневном мире. При вращении любые макроскопические тела будут иметь величины углового момента, значительно большие, чем 6. Тогда, при больших значениях 1, дискретное изменение Г,з при изменении от 1 к 1 + 4-1 будет совсем незаметно. Поэтому в макроскопическом мире возможные значения Ьз будут практически непрерывны, т.е. будут вести себя классически.
Поэтому не совсем законное понимание определенного направления Х становится вполне законным для физически реалистичных, макроскопических ситуаций. Вернемся теперь к задаче на собственные значения для углового момента и сосредоточимся на собственных функциях; назовем их и~ Они должны нумероваться двумя индексами и лучше всего выражаются в сферических координатах г, д,:р («полярный» угол 0 — это угол между радиус-вектором т и осью; «азимутальный» угол у» — угол между осью т и проекцией т на плоскость х-у). Нетрудно понять, что каждая функция иь , является определенной функцией углов, умноженной на Угловой момент функцию радиальной переменной гч ш ., = Вгг)Уы'(О, Эв).
Функция ЛГг) пока может считаться произвольной, т.к. нас интересует лишь угловой момент. Однако сферические гармоники 1; ' являются вполне определенными функциями угловых переменных. Здесь выписаны некоторые из них — К = ~) — 1пВе о 1 г 3 'у' 8п 1 = ~1 — созд, Т' = ~1 — з1пое а 43, 43 Спин Существует определенная часть частиц, которые обладают внутренним свойством, аналогичным угловому моменту. Это свойство называют спинам, и он является дополнением к угловому моменту, связанному с орбитальным движением. К частицам, которые обладают этим свойством, можно отнести те, которые образуют обыкновенную материю: электроны, фотоны, нейтроны.
Как уже обсуждалось в главе 2, представляя спин, можно представлять частицу в виде тонкой сферы, спиновой угловой момент которой появляется из-за вращения вокруг оси, проходящей через центр частицы. Такую аналогию подсказывает вращение Земли. Земля имеет не только орбитальный угловой момент, связанный с вращением Земли вокруг Солнца, но и внутренний угловой момент, появляющийся из-за вращения вокруг полярной оси. Конечно, такая картина в мире микроскопических частиц может восприниматься лишь как некоторый образ.
Квантовомеханически уместно лишь сказать, что для определенного типа частиц существует вектор наблюдаемых Я, который является дополнительным к наблюдаемым, определенным через координаты н импульсы; а также, что декартовы координаты Я связаны друг с другом так же, как компоненты орбитального углового момента Х. Компоненты Я не коммутируют между собой.
но каждая из них коммутирует с яз. Спиновой угловой момент отличается от орбитального тем, что его величина вовсе не является динамической переменной. В орбитальном случае возможные значения величины л,а являются собственными значениями, описываемыми уравнением (4.2!). Квантовомеханическое отличие от классики проявляется в том, что спектр не непрерывен, а может принимать бесконечно много возможных значений. Для спина Яз — фиксированная количественная характеристика типа частицы. Его значения равны ~2 ( + 1)й2 (4.23) 96 Глава 4 где, в зависимости от типа, в является либо целым, либо полуцелым числом.
Для любых декартовых компонент, скажем Я„существует 2в+ 1 значений Я, =- ш,6, гпв =- — в, — в+ 1, ..., в — 1, в. (4.24) Эти два соотношения выглядят аналогично (4.21) и (4.22), но, как отмечалось выше, в противоположность орбитальному квантовому числу 1, в не может принимать весь интервал значений.
Это число фиксировано. Существует и другое отличие от углового момента. Для дальнейшего обсуждения заметим, что квантовое число 1 ограничено целыми значениями, в то время как в может быть целым или полуцелым. Существуют только две возможности, следующие из общей квантовомеханической картины. Для электронов, нейтронов и протонов з = 1/2; для пионов в = 0; и так далее для частиц другой природы. Разница между целым и полуцелым спином не является малой или чисто технической. Различие здесь очень глубокое. После этого уместно заметить, что мир был бы удивительным местом, и нас бы в нем не существовало, если бы электроны, нейтроны и протоны были бы частицами с целым спином.
Возвращаясь к (4.24), мы видим, что существует всего 2в+1 спиновых степеней свободы; вследствие этого существует именно столько линейно независимых собственных состояний оператора У,. Поэтому для электронов и других частиц с полуцелым спином существует всего две спиновые степени свободы. Произвольное спиновое состояние является линейной комбинацией этих двух собственных состояний Я,. Это звучит как некоторая магия, связанная с осью .. Но означают эти слова только то, что измерения спинового углового момента вдоль любого направления могут быть равны ~ †'. Собственные состояния компонент углового 2' момента в некотором направлении не являются собственными состояниями компонент в другом направлении.
Это справедливо не только для спина или углового момента. Но сугцествует иллюстрация как раз на примере спина электрона (или любой другой частицы спина 1/2). Предположим, что электрон находится в собственном состоянии Яя с собственным значением +6/2. Для такого состояния измерение компоненты л спина будет давать результат со !00% вероятностью. Однако это состояние является линейной комбинацией собственных состояний Ук. Измерение -х компонент спина будет давать значение ~6/2, причем оба значения, в данном примере, будут появляться с равной вероятностью. Полный угловой момент Частица со спинам имеет два типа углового момента, орбитальный Х и спинозой Я.
Вполне естественно определить полный угловой момент как (4.25) Энергетические аспекты 97 Это выражение говорит о том, что декартовы компоненты У связаны между собой точно так же, как компоненты У и Я. Как и в рассмотренных случаях, декартовы координаты У не коммутируют друг с другом, но проекция .У вдоль любого направления коммутирует с квадратом полного углового момента,Уз. В качестве такого направления мы обычно будем выбирать ось г. Более того, в последующем простом и очень существенном случае з = 1/2.
Тогда собственные значения йа равны У' = У'(У' + 1) 6', У' = 'Ь, '4, Ъ (4.26) значит, длЯ данного т', lе может пРинимать 2У'+ 1 значений У, = пг Гн ту — — — у, — ч'+ 1, ..., у — 1, у'. (4.27) И тут возникает нечто интересное. Наблюдаемые,Уз,,У, и У з коммутируют друг с другом, поэтому собственные состояния будут собственными не только для Уз и .У., но и для Еа. Состояния, одновременно являющиеся собственными для всех трех наблюдаемых, можно занумеровать тремя квантовыми числами у, ш и /. Можно поинтересоваться: какие значения 1 возможны для данного у? Ответ в том, что таких значений только два: (4.28) Энергетические аснекты Большая часть повседневных усилий людей, практически занимающихся квантовой механикой, посвящена энергетическим проблемам,— при столкновении с задачей на собственные значения, рассмотрении физически приемлемых приближений там, где возможные точные решения уже давно получены (что является наиболее частой ситуацией), а также при попытке развить физическую интуицию.
Задачи на собственные значения для импульса и углового момента могут быть решены точно, н будучи однажды решены, остаются такими всегда. Но проблема определения энергетического спектра меняется от одной задачи к другой, в зависимости от деталей функции потенциальной энергии. Энергия интересна и по дру~им причинам, т.к. она имеет специальный статус среди всех квантовых переменных. Гамильтониан, который является оператором энергии, определяет эволюцию во времени для квантовой системы в смысле соотношения (4.19). Хотя мы иллюстрируем принципы квантовой механики для одночастичной системы, это уравнение будет справедливо и для многочастичных систем, если соответствующий гамильтониан расширен способом, описанным ранее. 98 Глава 4 Эволюция во времени Задача эволюции во времени состоит в нахождении волновой функции в произвольный момент времени 1, если она известна в некоторый начальный момент.
Для этого предположим, что мы решили задачу на собственные значения для энергии, так что в нашем распоряжении полный набор линейно независимых собственных функций энергии и„ и соответствующих собственных значений Е„. Математическим фактом, исключительно важным для интерпретации всего аппарата квантовой механики, является то, что множество собственных состояний любой физической наблюдаемой образует полпгай набор. Для нас это означает, что любая хорошо определенная функция может быть представлена как линейная комбинация собственных функций. В частности, реальная волновая функция системы чг(1) в момент времени 1 может быть разложена по собственным функциям энергии и„: гр(1) =. Аг(Ц)иг 4-Аз(1)из+Аз(1)из+..., (4 29) где коэффициенты А„(г) определяют изменение во времени, а собственные функции зависят от пространственных координат, но не от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
