С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Но с другой стороны, электромагнитное излучение наследует от классических частиц их частицеподобный характер, в смысле эйнштейновских энергетических пакетов для излучения. В связи с этим, при низкой интенсивности излучения из светового источника в А, световые детекторы будут регистрировать отдельные целые «щелчки», а не их часть. В этом и проявляются частицеподобные свойства света: дуализм волна-частица! Волновое уравнение Шредингера Как отмечалось ранее, мы будем следовать шредингеровской версии квантовой механики, понимая, что это лишь одно нз многих физически эквивалентных представлений абстрактных основополагающих принципов. Ьолее того, мы обратимся к случаю одиночной нерелятивистской Волновое уравнение Шредингера частицы, движущейся в некотором силовом поле. Шредингер использовал идею де Бройля о том, что каждой частице может соответствовать определенный тип волнового поля.
Для начала можно было считать, что (как в классике) частица имеет определенное положение и импульс в любой момент времени. Новая идея состояла в том, что движение частицы определяется волновым полем, распространяющимся по всему пространству (наглядным примером может служить судно, дрейфующее вместе с волнами на море, — судно занимает конкретное положение в каждый момент, но дрейф определяется распространением волн по поверхности).
Шредингер пытался провести аналогию между классической динамикой частиц и другими разделами физики, в частности, геометрической оптикой. Это привело его к таинственному уравнению для функции, называемой н(а, у, -), которая некоторым образом связана с одиночной частицей массы т и полной энергии Е, движущейся в потенциале )г(ю, у, з): (4.1) 2т ! Вю' <)у' два ) Как мнемоническое правило, это уравнение можно соотнести с уравнением классической энергии К + 1' = Е, где К является кинетической, (г — потенциальной,Š— полной энергией частицы.
Г!оэтому слагаемое в (4.1), зависящее от вторых производных, можно представлять себе как кинетическую энергию. Функция м в (4.!) пока что еще не обязана быть волновой функцией частицы. Связь с волновой функцией будет видна чуть позднее. А пока посмотрим, что же Шредингер сделал с уравнением (4.!). Математически, для данного потенциала 1г, это уравнение всегда имеет решение, каким бы ни было значение параметра Е. Но даже несмотря на то, что функция и пока не имеет физической интерпретации, при анализе уравнения (4.1) Шредингер сразу предполагал, что природа должна допускать только те решения, которые «хорошо себя ведут». «Хорошее поведение» означает, что м(а, у, з) ограничена для всех а, у, з, в том числе и тогда, когда эти переменные стремятся к бесконечности.
Кроме того, он полагал, что функция должна быть однозначной, т.е. должна иметь единственное значение в каждой точке пространства. При таких предположениях Шэ!»едингер обратился к случаю потенциала для атома водорода 1г =- — Уе /г, для которого, при условии Е < О, разрешены только определенные значения энергии. Это оказались именно те значения энергии, которые получались в старой квантовой теории Бора и которые так хорошо согласовывались с экспериментом! Для Е ) О разрешены все значения энергии;можно сказать, что в этом случае спектр непрерывен. В дальнейшем уравнение (4.1), дополненное требованиями хорошего поведения его решений, будет называться уравнением на собственн»не 78 Глава 4 значения энергии. Хорошо ведущие себя решения этого уравнения называются собственными функциями энергии, а соответствующие значения Е, при которых возможны эти решения — собственными значениями энергии.
Здесь стоит сделать несколько замечаний. Уравнение описывает частицу с энергией Е. С точки зрения классической науки, здесь нечего обсуждать. Конечно, частица имеет определенную энергию( Классически, эта энергия распределена между кинетической и потенциальной в разной пропорции, в зависимости от движения частиц, но в любой момент сумма этих энергий всегда постоянна. В квантовой механике, хотя мы в ней еше не разобрались, все несколько иначе— частица не обязана иметь строго определенную энергию, хотя уравнение (4.1) как раз относится к случаю, когда энергия точно определена. Другое замечание состоит в том, что в уравнение (4.1) не входит время. Но все меняется с течением времени, независимо от того, смотрим ли мы с классической или квантовомеханической точек зрения. Собственно, функция и играет важную вспомогательную роль в квантовой теории, но в действительности она не является настоящей волновой функцией нашей частицы.
Такая волновая функция Ф(х, у, г, 1) зависит как от пространства, так и от времени. Для настоящей волновой функции Ф частицы, движущейся в потенциале Ъ', Шредингер вывел уравнение: 6~ (дзФ+ дз4г дзйг) +)лф,йдФ 2пг 1 дмз дуз дгз 1 дт ' (4.2) которое стзло называться уравнением Шредингера. Нет особого смысла говорить, что Шредингер получил это уравнение или уравнение (4.1) таким же образом, как это было сделано только что. Конечно, сама мысль о волновом уравнении была мотивирована гипотезой де Бройля о связи между волной и частицей.
Более того, Шредингер должен был руководствоваться требованием, чтобы то, что он делает, отражало структуру классической механики, хотя бы с некоторой натяжкой. Как бы там ни было, классическая механика хорошо описывает явления повседневного мира. Чтобы получить правильные квантовомеханическне уравнения, он мог рассчитывать достичь понимания, следуя за математическими намекамн, создаваемыми классической теорией. Но как уже говорилось, прыжок научного воображения был потрясающим; тем более, что уравнение Шредингера было написано до того, как появился объект для этого уравнения, т.е. волновая функция не обладала даже слабой интерпретацией. Но этот прыжок состоял не просто в замене уравнения Ньютона на уравнение Шредингера (или их эквивалент — уравнение Гейзенберга).
Он состоял в замене концепции физической реальности, заключающейся в интерпретационной картине, которая появилась вскоре после этого. 79 Волновое уравнение Шредингера Теперь вернемся к (4.2). Сделаем относительно него несколько замечании; (1) В уравнении появилась мнимая единица й квадратный корень из — 1. Это означает, что мы должны быть готовы иметь дело с комплексной функцией.
Напомним, что любая комплексная величина д, является ли она функцией или фиксированным числом, может быть разложена на сумму вещественной н мнимой частей: д — — дн ч- ?д„где де и д, являются вещественными, поэтому ?д, является чисто мнимой величиной. Напомним также, что комплексно-сопряженная к д величина обозначается д*, и равна д' =- д, — 1д,. Абсолютный квадрат величины д (квадрат модуля) равен д'д = д;+ д~. (2) Уравнение (4.2) линейно, что означает следующее: если Ф является решением, то решением будет и АФ, где А — произвольная комплексная константа. В общем случае, если Фг и Фз являются решениями, то решением будет и любая их линейная комбинация Ф = АгФг + + АаФю где Ат и Аа — произвольные комплексные константы. (3) Поскольку уравнение для Ф включает только первый порядок производной по времени, то есть если Ф известна как функция от пространственных переменных х, р, .
в некоторый момент времени, она будет определяться единственным образом и в последующие моменты. В этом смысле квантовая механика полностью детерминистична. (4) В уравнении Шредингера нет параметра энергии, но можно отметить следующее. Пусть независящая от времени функция и(х, р, г) является решением задачи на собственные значения (4.1), с Е, соответствующей этой энергии.
Тогда несложная проверка покажет, что Ф(х, р, з, Г) =- е ' ~ а(х, р, з) (4.3) будет одновременно являться решением уравнения (4.2). Тогда, если частица находится в состоянии с определенной энергией Е, ее волновая функция будет равна собственной функции энергии, умноженной на экспоненту от времени (4.3). В более общем плане можно отметить, что если иг и и являются решениями задачи на собственные значения с энергиями Ег и Ез соответственно, то их сумма вида Ф(х, р, с, 1) Аге — хв'™иг(х, р, з) + Азе 'ВЫ?лиз(х, р, г) с произвольными константами Ат и Аз тоже будет являться решением (4.2).
Правда оно включает две различные энергии. Которая из них дает энергию частицы? Ответ в том, что частица вообще не имеет определенной энергии, определенного положения, определенного импульса, определенного углового момента и т.д.! Для частицы с данной волновой функцией измерение энергии будет приводить к значениям либо Е,, либо Ез с относительными вероятностями АгА*,/АзАз. 80 Глава 4 Отметим, что приведенное решение, по сути, является линейной комбинацией с произвольными коэффициентами решений типа (4.3).
Последнее нетрудно обобщить. Суперпозиция любого числа решений такого типа сама по себе будет решением уравнения Шредингера. (5) Для любого решения Ф можно показать следующее. Хотя квадрат модуля йг*Ф, конечно, в общем, зависит от времени и от пространственных переменных, интеграл от этой величины по всему пространству от времени не зависит: О длдудя Ф*Ф = постоянен по времени. Здесь и далее, если не указаны пределы интегрирования, будем считать, что интегрирование ведется по всему пространству. При получении последнего результата предполагалось, что интеграл является конечной величиной, или, как говорят, квадратинно интегрируем.
Если он квадратично интегрируем в некоторый момент времени, предшествующее уравнение предполагает, что он таким и останется в последующие моменты времени. В данный момент, чтобы писать покороче, полезно ввести понятие и обозначение скалярного произведения. Для двух (возможно комплексных) функций 4" и д, определим скалярное произведение как (4.4) Отметим, что (д~ () = (Дд)'. По определению квадрат нормы функции г равен Ц~ (); он положителен и вещественен.
Вероятностная интерпретация Список свойств, отмеченных выше, приводит к первому правилу интерпретации. Из пункта (3) списка мы приходим к предположению, что волновая функция Ф вЂ” это все, что мы можем узнать о состояниях частицы в том смысле, что если мы знаем состояние в некоторый момент времени, то мы узнаем его и в последующие моменты. Пункт (5) приводит к вероятностной интерпретации. Из пункта (2) мы знаем, что если Ф вЂ” решение, то Ачч тоже является решением для произвольной константы А.
Примем гипотезу, что волновые функции, отличающиеся множителем, реально описывают одну и ту же ситуацию. Если это так, то мы можем использовать свободу выбора множителя для нормировки волновой функции, а именно, потребовать, чтобы 81 Краткий обзор правил Будем полагать, что эта нормировка в дальнейшем всегда выполняется. Пока что из того, что было сказано, ничто не говорит о том, где находится частица. Здесь надо сделать решительный шаг. Откажемся от мысли, что частица находится в данный момент в некоторой конкретной точке с учетом того, что квантовая механика оперирует только вероятностями. Пусть Р(х, у, з,?) — пространственное распределение вероятностей, определенное таким образом, что интеграл от Р по конечному ооъему пространства дает вероятность обнаружить частицу в этом объеме. Следуя Максу Борну, мы придем к гипотезе, что если система находится в состоянии Ф, распределение вероятности (плотность вероятности) равно (4.6) Р(а, у, з, 1) = Ф" Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
