С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В качестве такой величины возьмем А и выразим все остальные через момент. Нетрудно проверить, что Еа ге', га ..' г=,; о=; щ= гт.-' ь Е' Лзгпеч 2Лз очевидным сейчас, при аз~ляле в прошлое, но тогда это было совсем не очевидно. Более того, большинство физиков шли по чисто классическому пути, ограничиваясь классическими модами в окрестности квантовой теории, инициированной работами Планка, Эйнштейна и других. Но Бор считал, что кванты должны быть исключительно важны для понимания стабильности атома. Что он сделал для одноэлектронного атома, мы расскажем в несколько шагов. (1).
Для начала просто запретим электрону излучать и вычислим чисто классические орбиты. Поскольку кулоновская сила со стороны ядра удовлетворяет закону обратных квадратов, динамически эта задача эквивалентна движению планет вокруг Солнца. Об этой задаче известно все. Орбиты являются эллипсами. Следуя Бору, выберем частный случай круговых орбит, которые легче считать. Пусть заряд ядра ее и будем считать ядро точечной частицей (поскольку ядро чрезвычайно мало по сравнению с целым атомом), центральная притягивающая сила для электрона равна Г(г) = — лез/гз. Потенциальная энергия, соответствующая этой силе, равна г'(г) = — Лез/г.
центростремительное ускорение частицы, движущейся со скоростью о по круговой орбите, равно а, =- оз/г. Из закона Ньютона находим 68 Глава 3 Классически, Л может непрерывно меняться по величине от нуля до бесконечности. !2). Здесь мы несколько уклонимся от истории, рассмотрев только один из аргументов Бора, которые он использовал для мотивации необходимости революционных «квантовых условий«. После озарения Бор постулировал, что Л может принимать только дискретный набор значений (3.6) где и — любое положительное число, и = 1, 2, 3,... оо. При этом круговые орбиты, занумерованные числом и, начинают квантоваться! Для и-й орбиты мы получаем квантованные радиус, скорость, угловую скорость, энергию: (3.7) Естественная длина в этой задаче получила название радиуса Бора ав = , = 0,53 д, где 1 А = 10 з см.
Масштаб энергии называетд~ те ся постоянной Ридберга, Лу = "'е = е; численно 1 Лу = 13,6 эв. 2ав ' е Наконец, о = — = — 1/137 называется постоянной тонкой структуры. Ье Белое число и часто называют главна«м квантовьчм числом. 13) Проигнорировав излучение и использовав свои квантовые условия для определенного разрешения круговых орбит, Бор после этого принял, что излучение испускается тогда и только тогда, когда электрон «собирается» прыгнуть вниз с орбиты с энергией Е„ на орбиту с более низкой энергией Е„ .
Когда это происходит, испускается излучение частоты щ , при этом вылетает фотон, уносящий разность энергий (3.8) )кст = ń— Е„. Заметим, что Бор не говорит, как н где электрон совершает прыжок в процессе испускания. Дополнительно к процессу испускания излучения существует процесс поглощения. Атом может поглотить падающий фотон с нужной частотой, чтобы запрыгнуть на один или больше уровней вверх.
Падающий фотон должен иметь как раз такую величину энергии, чтобы скомпенсировать разность энергий между двумя электронными уровнями. Бор предложил называть состояния движения (разрешенные орбиты) «стационарными состояними«ч чтобы подчеркнуть, что 1по гипотезе Квантовая модель Бора 69 Бора) они являются стабильными до тех пор, пока электрон не прыгнет в другое стационарное состояние. Основное состояние (и .= 1) не может излучать вообще, так как оно стабильно относительно спонтанного распада. Конечно, электрон из такого состояния может запрыгнуть вверх, если в него попадет фотон с подходящей энергией. Возбужденные состояния (п > 1) все нестабильны по отношению к спонтанному распаду.
В соответствии с принципами статистической механики, атомы в куске вещества при низкой температуре будут находиться большей частью в основном состоянии. Такая система будет давать подходящие линии поглощения, в то время как спектр испускания будет очень слабым. При достаточно высоких температурах будет наблюдаться избыток атомов в различных возбужденных состояниях, что приведет к линиям испускания по мере того, как электроны начнут падать вниз на низко лежащие уровни. Заметим, что частота ш фотона, испущенного при прыжке с уровня п на уровень п', не равна частоте исходного или конечного орбитального движения. Рассмотрим случай, при котором прыжок происходит на 1 уровень, из п к и' =-п — 1.
Тогда частота фотонов равна = У~пте')' 1 1 ~ Я~ггье~ 2ц-1 ~29) 26з ) (и — 1)~ г,г ) 2йз пз(п — 1)г ' При больших и числитель во втором множителе примерно равен 2п, а знаменатель примерно равен пл. Тогда из третьего выражения в (3.7) следует, что частота фотона приближенно равна орбитальной частоте, независимо от того, какая берется орбита 1исходная или конечная). Понятно, что для больших п эти две орбитальные частоты почти равны, Это пример того, что Бор назвал принципом соответствия, который был использован им и другими исследователями в квантовых дебрях. Очень грубо говоря, это означает, что в пределе, когда разрешенные орбиты и соответствующие им энергии очень близки к макроскопическому масштабу, квантовое поведение должно начать напоминать непрерывное классическое поведение.
Боровская теория одноэлектронного атома очень хорошо согласуется с экспериментальными данными, хотя и не совершенно. Мы рассматриваем электрон как бы двигающимся вокруг фиксированного ядра. На самом деле ядро и электрон движутся вокруг общего центра масс. Это нетрудно узнать, если электронную массу во всех формулах заменить на приведенную массу тД1+ гп(Л1), где ЛХ вЂ” масса ядра, т — масса электрона.
Поправка очень мала (для атома водорода отношение 2/ЛХ составляет одну двухтысячную), но спектроскопические данные достаточно точны, чтобы почувствовать даже такую малую поправку. Интерес к квантам, значительно подогретый достижениями Бора, привел к попыткам современников продвинуться дальше. Каким обра- 70 Глава 3 зом были обобщены квантовые условия Бора для того, чтобы иметь дело с некруговыми орбитами однозлектронного атома, учесть влияние электрического и магнитного поля, релятивистские поправки, значительно более сложную динамику многоэлектронных атомов и т.д.? Обобщения квантовых условий Бора было предложено многими людьми и открыло путь для дальнейшего прогресса в области одноэлектронного атома. Например, Арнольд Зоммерфельд смог рассмотреть случай эллиптических орбит в одноэлектронном атоме.
Он обобщил задачу до двух квантовых условий с соответствующими квантовыми числами п1 и пю Затем он смог показать, что главная и вспомогательная полуоси, б и а, ограничены по отношению своих размеров соотношением 6/а = п1/(п1 + пз). Уровни энергии, однако, снова были получены по формуле Бора, при условии п = п1+пю Это привело к вырождению уровней энергии, означающему, что для данного значения и (уровня энергии) существует так много эллиптических орбит, как много способов представить число и в виде сумме двух пелых чисел п1 и па.
Мы снова встретимся с явлением вырождения, когда вернемся к атому водорода в «современной» квантовой механике. Достижения в многоэлектронных атомах были менее значительными. Однако понятие уровней энергии атомов и молекул любой сложности стало общепринятыми. Оно получили подтверждение в результате экспериментов по рассеянию электронов на атомах.
При низких энергиях электроны рассеивались только упруго; т.е. начальные и конечные энергии электрона были одинаковы. Но при энергиях, превышающих некоторый характеристический порог для атома мишени, электроны иногда отскакивали с другой энергией. Эта энергия терялась в результате того, что она отдавалась атому, меняющему свое внутренне состояние. Это можно интерпретировать как рассеяние, при котором падающий электрон передавал свою энергию атомной системе, переводя ее на более высокий квантовый уровень.
Такая интерпретация была подтверждена экспериментально наблюдением того, что был испущен фотон нужной частоты в тот момент, когда атомная система вернулась в начальное состояние. Волны материи де Бройля Следующий важный шаг на пути к «новой> квантовой теории был сделан (принцем) Луи де Бройлем в середине его докторской диссертации в 1923 г.
Точно так же, как было открыто, что электромагнитные волны проявляют частицеподобные свойства, так и другие частицы материи (например, электрон) должны обладать волновыми свойствами— утверждал де Бройль. Благодаря удаче, его мнение было поддержано следующими причинами.
В соответствии с Эйнштейном, фотон, соот- Волны материи де Бройля 71 ветствующнй излучению с длиной волны Л, имеет импульс р =- Л Рассмотрим электрон, двигающийся по круговой боровской орбите. Величина его импульса р классически является константой при движении по круговой орбите. Если существует волна, говорил де Бройль, кажется естественным предположить, что те же соотношения между длиной волны и импульсом должны быть справедливы как для фотона, так и для электрона. Если это так, то кажется разумным потребовать, чтобы круговая орбита соответствовала длине волны; а именно, окружность должна равняться целому числу, умноженному на длину волны. Это приводит к соотношению 2яг = пЛ = 2яд/р; отсюда рг =- пй. Но для круговой орбиты рг равно угловому моменту Б. Поэтому из такой цепи гипотез получалось квантовое условие Бора Б = па.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
