С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Выберем специальную волновую функцию, представляюшую целое семейство состояний, которая минимизирует соотношения неопределенности координаты и импульса: 89 Концепция операторов Концепция операторов (х), = ~~~с(хс(усхФ'хф, Это ожидаемое значение будет меняться с течением времени, потому что меняется волновая функция. Поэтому можно вычислить его произ- водную по времени, используя уравнение Шредингера (4.2). Результат сведется к с((х) с . 1' с' с" ° д гп = — 1сс тугу! дх иу с(з 1е' — Ф.
А1 Я дх Но классически, компонента р, = т с(х/с(1. Поэтому это выражение под- сказывает, что (р,), =- ~~~ с)х с(ус(аФ'( — 1А —,) гу. (й) Аналогичные соотношения можно записать и для других декартовых компонент ри и р„если выполнять дифференцирование по у и з соответственно. Используя функцию А, определенную соотношением (4.!5), основанным на определении У„в (4.14), можно получить чисто математическое следствие (й) и (4.4) (р ) — 1Цс(рхс(русур Арр -4„ Я~не„п' "ГА Эти два соотношения подтверждают наши подозрения о том, что А„"Ап действительно является плотностью функции распределения по импульсу, подтверждая, что уравнение (4.13) может корректно восприниматься как уравнение на собственное значение для импульса.
Величина, заключенная в скобки в правой стороне соотношения (й), называется оператором импульса. В общем случае оператор — это некоторое правило для действия на функцию Г, в результате которого получается обычно некоторая другая функция. В данном случае правило Откуда появилось уравнение на собственные значения импульсар Правдоподобное обоснование может быть получено из следующих рассуждений. Мы уже рассматривали уравнение Шредингера (4.2) и выражение (4.6) для пространственного распределения вероятности.
В дальнейшем, если у нас будет волновую функцию системы Ф, мы можем вычислить средние значения (ожидаемые значения) различных пространственных величин. В частности, рассмотрим среднее значение координаты (х), в момент времени 1. Из (4.6) следует, что 90 Глава 4 состоит в дифференцировании функции г" и умножении ее на ( — 16).
Ес- ли обозначать оператор некоторой буквой с тильдой, то три оператора декартовых компонент импульса запишутся в виде р, = -16 —, рв — — -16 —,, р, = -16 —. д — д — д д..' " др' ' д.' (4.!7) — (р +р~ 4-р~) + и'(х р г) = Е Чтобы получить квантовомеханический оператор энергии, кажется естественным просто заменить классические импульсы в вышеприведенном выражении на соответствующие квантовомеханические операторы.
Точно также можно поступить с потенциальной энергией. Оператор потенциальной энергии, действуя на функцию, умножает ее на $'(аб у, з). Для примера, когда р, действует на некоторую функцию 1, получает- . дУ ся функция д — — — гй —. Соответствующее уравнение на собственные дл значения (4.13) может быть записано в виде р,и =- р,и.
Таким образом, мы имеем дело ни с чем иным, как с собственными функциями оператора импульса. В качестве примера возьмем компоненту р . Когда оператор действует на произвольную функцию, обычно он приводит к другой, линейно независимой функции. Но когда он действует на собственную функцию импульса, обозначенную здесь и, он дает ту же функцию, умноженную на число. Это число и есть собственное значение р . Такая ситуация является обшей. Установив соответствие между оператором и наблюдаемой величиной, можно записать уравнение на собственные значения.
Если В является оператором, то вид этого уравнения Ви = би, где Ь вЂ” параметр. Каждое значение Ь, для которого существует хорошо определенное решение, и является собственным значением. Соответствующая функция и является собственной функцией. Наше основное предположение состоит в том, что при измерении наблюдаемых могут быть получены именно собственные значения. Операторы, соответствующие декартовым компонентам импульса, мы уже обсуждали.
Операторы координат устроены еше проще. Например, оператор х, действуя на любую функцию 7"(аь р, з), просто умножает ее на переменную дс ху' = хГ"; аналогично действуют и другие координаты. Мы идентифицировали операторы с наблюдаемыми координат и импульсов.
Что можно сказать относительно других наблюдаемых? Для энергии у нас уже есть уравнение на собственные значения; в случае одиночной нерелятивистской частицы оно представлено уравнением (4.1). Рассмотрим его с точки зрения операторов. Классически, сумма кинетической и потенциальной энергии дает полную энергию Е 91 Концепция операторов Операторы импульса, как отмечалось выше, приводят к дифференци- рованию.
Получающийся оператор называется гамильтонианом и будет отмечаться тильдой над буквой Н. Тогда уравнение на собственные зна- чения для энергии будет иметь вид Ни = Еи, (4. 18) где ьз, Ва дз дз Н =- — ( — -1- — + — „+(). 2кп (, для дуз два Здесь и является собственной функцией, а Š— соответствующим собственным значением. Мы переоткрыли уравнение (4.!)1 Нетрудно видеть, что оператор Гамильтона играет в квантовой механике специальную роль. Он управляет эволюцией во времени волновой функции системы.
Уравнение Шредингера (4.2), компактно записанное через гамильтониан, имеет вид НФ =(й —, дФ д! (4.19) Коммутационные соотношения Для двух данных операторов А и В, и функции Г, выражение АВ( дает результат, который получается сначала действием В на Г, а затем действием оператора А на Г. Порядок действия операторов важен, поскольку в общем случае АВГ ~ ВАГ.
Разность произведений операторов А — ВА называется коммутатором этих операторов. Что же еще, кроме компактной записи, мы приобрели с концепцией операторов? Пока что только согласованность, Идентифицировав операторы координат и импульса, мы смогли проверить, что уравнение на собственные значения энергии (4.!), с которого мы начали, действительно является уравнением на собственные значения оператора Гамильтона; а также то, что оно получается из классического выражения для энергии заменой переменных координат и импульсов на квантовые операторы. Уравнение (4.2) является достаточно общим и справедливо как для одиночной частицы, так и для набора частиц или квантового поля.
Такой успех вдохновляет нас на то, чтобы расширить операторный подход на другие наблюдаемые, по крайней мере такие, которые имеют классическое воплощение. Процедура состоит в следующем: возьмем интересующую нас классическую наблюдаемую величину, представленную через координаты и импульсы, после чего заменим переменные координат и импульсов через их квантовые операторы, и в результате получим квантовый оператор. Мы коротко проиллюстрируем эту процедуру при получении оператора орбитального углового момента. 92 Глава 4 Рассмотрим пример соотношений коммутирования операторов.
Рассмотрим операторы координаты и импульса, которые были введены выше. Нетрудно проверить, что для произвольной функции Г, хр,у' = — Ых — )', р„ху = — гй —,(ху) = -г)Гх —, + И~. д —...д дУ дх' ' *' дх дх Поскольку они справедливы для произвольной функции Г', получаем сле- дующее коммутационное соотношение (4.20) хр — р,х = Ри Коммутационные соотношения получаются как разность произведений двух операторов, взятых в противоположном порядке. Если эти два произведения дают одинаковый результат, то говорят, что операторы коммутируют.
Достаточно легко проверить коммутационные соотношения для других компонент операторов координат и импульсов, Тогда можно найти, что х и рв коммутируют между собой, так же как и у и р, и т. д. Несколько заключительных слов об операторах. В абстрактной формулировке квантовой механики концепция операторов играет центральную роль. В подходе, который мы используем, состояние системы в любой момент описывается функцией пространственных координат; поэтому операторы, которые мы встречаем, являются операторами типа дифференцирования.
В абстрактной формулировке, абстрактные состояния системы образуют математическое пространство абстрактных объектов, называемых лвекторами», поэтому операторы задаются правилом отображения этих абстрактных векторов в, вообще говоря, другие вектора того же пространства. Такая точка зрения часто дает преимушество благодаря большой гибкости и широте взгляда. Однако для практических вычислений часто приходится опускаться до некоторых конкретных представлений.
То, что мы делали до снх пор — это работали в так называемом шредингеровском представлении «координатного пространства в. Угловой момент Орбитальный угловой момент Орбитальный угловой момент частицы определяется классически с помощью наблюдаемых координаты и импульса как их векторное произведение А = т х р. В декартовых координатах: Лк = ур, — зрв, Г,, = = зр, -- хр„Г„= хря -- ур . Дополнительно к трем декартовым координатам Х мы можем также рассматривать величину углового момента; или, что более удобно, ее квадрат — Аз. Соответствующий квантовый 93 Угловой момент оператор получается при замене в классическом выражении переменных координат и импульсов на операторы.
Например, квантовый оператор для А, получается в виде Уравнение на собственные значения для этой компоненты сводится к дифференциальному уравнению — И) к —, — у —,~ =. Д,и. ' "ду дх Величина Л, в правой части является собственным значением. Подобные выражения можно записать и для других компонент, а также для квадрата полного момента. Значительно удобнее выразить операторы для декартовых компонент углового момента через сферические координаглы г, О, ~р. Угловой момент в квантовом мире гораздо более интересен, чем в классическом.
Некоторые его свойства действительно имеют странный привкус. Хотя он выражен через координаты и импульсы, он может принимать только определенные дискретные значения; но, кроме этого, существуют и другие странности. Одно важное квантовомеханическое свойство углового момента состоит в следующем. За некоторым исключением, здесь отсутствуют состояния, которые являются собственными для всех трех компонент одновременно и даже для пары компонент Л. Это происходит вследствие того, что компоненты момента не коммутируют между собой; поэтому здесь нет состояний, для которых можно узнать значения двух компонент момента одновременно, но есть состояния, для которых известно значение только одной из компонент. Однако каждая из декартовых компонент момента коммутирует с 1,з.
Поэтому здесь должны существовать состояния, которые одновременно являются собственными для АЯ и компоненты Ь в любом направлении, не обязательно вдоль координатных осей. Для определенности будем искать собственные состояния для Ьз и Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
