С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Действительно, в большинстве случаев, представляющих реальный интерес, найти простые аналитические решения невозможно и приходится прибегать к численным или приближенным методам. Но аналитическое решение, которое приведено ниже, вы должны попытаться проверить! Так называемое радиальное уравнение (5.14) подобно уравнению на собственные значения для энергии частицы, движущейся в одномерном потенциале 1г(ш), хотя и имеет некоторые отличия: (1) переменная л заменяется на переменную г, которая может принимать только неотрицательные значения; при этом одномерные собственные функции заменяются на произведение (гЛ). Это произведение должно зануляться в начале координат, где г равно нулю.
На одномерном языке это означает наличие стенки при л = О, так что м может меняться только в неотрицательной области. (2) Кроме того, проводя аналогию с одномерным движением, мы должны заменить 1г(л) на !Г(х) +1(1«- 1)6э/2тлз. Лишнее слагаемое представляет эффект действия центробежной силы. Одноэлектронный атом Это задача, на которой произрастали основы квантовой механики, начиная с Бора и кончая Шредингером, Дираком, сдвигом Лэмба и квантовой электродинамикой. Под одноэлектронным атомом мы понимаем «водородоподобный» атом, систему, состоящую из ядра и электрона: настояший атом водорода, однократно нонизированный атом гелия, двухкратно ионизированный атом лития и т.д. Для взрывоподобного открытия Шредингера в квантовой механике, как и в «старой» теории Бора, было вполне достаточно игнорировать различные тонкости, рассматривая электрон как нерелятивистскую частицу, притягивающуюся к ядру с помощью кулоновского потенциала.
Это привело к очень близкому, хотя и не совсем идеальному, совпадению с результатами эксперимента. Для примера, в основном состоянии атома водорода отношение среднеквадратичной скорости электрона к скорости света равно 1/137. Одноэлентронньщ атом Нз Это достаточно малая величина, которая подтверждает, что релятивистские поправки будут малы, как и ожидалось; но, тем не менее, они не пренебрежимо малы. Отсюда появился факт, что электрон обладает спином.
Само по себе это не меняет энергии уровней, если внешние силы не зависят от спина. Но такие силы еуи1ествуют, и они приводят к сдвигу на величину, подобную релятивистским поправкам. Чтобы не учитывать эти поправки по отдельности, да еще и не точно, Дирак предложил ввести полностью релятивистское уравнение для электрона. Он руководствовался тем утверждением, что электрон обладает спином, но природа спина является открытым вопросом.
Ответ появился из уравнения Дирака, причем весьма захватывающим образом. Но триумф не был полным. Оставались некоторые тонкие расхождения с экспериментом, хотя они и не были точно измерены почти два десятилетия спустя. Решение вопросов, связанных с этими различиями, привело к установлению принципов квантовой электродинамики, релятивистской квантовой теории поля электронов и фотонов. Но об этом позже.
Теперь вернемся к обычному нерелятивистскому атому, который содержит один электрон массы т и заряд — е, двигающийся вокруг неподвижного точечного ядра с зарядом Яе. В данном случае мы пренебрежем спином. Кулоновский потенциал равен )л(г) = — Уег1'г. Он спадает до нуля по мере увеличения т, поэтому можно сказать, что спектр энергий непрерывен при Е > О. Поэтому мы сконцентрируемся только на связанных состояниях, Е ( О.
Поскольку потенциал является центральным, мы можем использовать уравнения (5.13) и (5.!4) для задачи на собственные значения энергии. Радиальное уравнение, как уже упоминалось, имеет решение для любых значений энергии Е; но обычно такие решения плохо определены. Однако при определенных значениях Е, а именно — собственных значениях, существуют приемлемые решения. Для каждого значения квантового числа 1 углового момента существует спектр энергий и соответствующих радиальных функций.
Мы временно введем индекс в виде большой буквы Х, значения которого меняются от Х ы = О и выше, независимо от значения 1. Тогда энергетический спектр связанных состояний для данного квантового числа 1 можно записать в виде Е, = — ~опт 1, К=0123 яьг (гнг 4 1+1)г' Заметим, что энергия зависит только от суммы целых чисел Л и 1. Поэтому можно определить новое целое квантовое число и = Х ~-1+ + 1. Для данного 1, и меняется от О до 1 н„= и — 1. Выражая таким образом 1, можно найти, что спектр связанных состояний имеет вид 7~е~гп 1 (5.15) 26г п,г где п =. 1, 2, ..., ж, и для данного и, 1 = О, 1 ...
п — 1. !!4 Глава б Соответствующие состояния ми ! „, нумеруются тремя индексами. Нетрудно видеть, что эти состояния вырождены. Энергия состояний не зависит от квантового числа гпь Именно это и можно было ожидать: так всегда происходит в случае любого центрального потенциала. Это не справедливо для случайного центрального потенциала, однако и там есть вырождение по квантовому числу 1. Это является специфическим свойством кулоновского и сферического осцилляторного потенциалов. Для данной энергии Е„, ! может принимать любые значения, отмеченные выше; для каждого 1, т! меняется в интервале от — ! до ! через единицу. Для основного состояния (и =- 1) 1 имеет единственное значение (1 =- = 0), так что здесь вырождение отсутствует.
Для и = 2 существует два возможных значения 1: ! = О, 1. Для ! = О, тч единственно и равно нулю. Но уже для 1 = 1; ип = — 1, О, 1. В результате, уровень с и = = 2 четырежды вырожден, Нетрудно подсчитать степень вырождения в произвольном случае. Кратность вырождения и-го уровня г(„= и . Этот результат получается из суммирования величины 21+ 1 по всем значениям ! от 0 до и — 1. Заглядывая вперед, имейте в виду, что это все справедливо без учета спина. Мы выпишем здесь только волновую функцию основного состояния.
Она очень проста: 112 ио=ицо,о= е '7", и= —, ав= - (516) эгяаз У т(~ Это решение совпадает с радиальной функцией Лг о с точностью до множителя. Вы без труда можете проверить, что (5.!6) действительно является решением радиального уравнения с Е, равной энергии основного состояния. Это решение спадает экспоненциально при увеличении г, наиболее существенно концентрируясь в области с радиусом, равным параметру а. Этот параметр равен радиусу Бора, деленному на заряд ядра У. Чтобы охарактеризовать размер атома в состоянии с квантовыми числами и и 1, удобно в качестве меры обратной длины использовать среднее значение (1/и). На самом деле эта величина зависит только от и.
Тогда для и;го уровня результат равен (5.!7) (17г)„= 1|и а. Основываясь на этой мере, размер атома в п-ом энергетическом состоянии получается равным (гР(Х)ав. Заметим, что радиус Бора ав = 0,53 10 з см. Здесь будет поучительно немного отступить в сторону, чтобы сделать некоторые разлгерные заключения. Задача на собственные значения энергии для одноэлектронного атома включает в себя только два входных параметра: Лез и отношение Аз/т,. Атомный за- 115 Одноэлектронныа атом ряд У вЂ” безразмерен, поскольку это простое число (У =- 1 для водорода, У =- 2 для гелия, и т.д.). Поскольку е~(г является энергией; е имеет размерность [энергия] [длина]. Постоянная Планка 6 имеет размерность [энергия] [время]. Масса имеет размерность [энергия] [время],г[длина] .
Подставив эти размерности, найдем, что 2 2 [л"е ,', = [энергия] [длина]; ~ — ~ = [энергия] [длина] . 21 1ьгг 2 (2п! Таким образом, энергия системы будет определяться параметром (Уе~)~ г(йг~,гпг) = ~ е ~. Энергетические уровни должны получаться дг как безразмерные числа, умноженные на эту величину, как это было в (5.15). Аналогично, любая величина с размерностью длины должна выражаться как безразмерное число, умноженное на отклонение ГРгпгег. Выражение для радиуса Бора именно так и выглядит.
Такие размерные соображения всегда могут быть сделаны при исследовании задачи, поэтому задача на собственные значения сводится к нахождению этих безразмерных чисел. Читатель может попробовать использовать такой подход к задаче гармонического осциллятора. Вернемся к особенностям атома водорода. Одна из них состоит в следующем. До сих пор мы рассматривали атом, как если бы мы имели дело с одночастичной задачей. Ядро мы считали фиксированным, т.е. бесконечно массивным. Его роль состояла в создании кулоновского потенциала, в котором двигался электрон. К счастью, в квантовой, как и в классической механике, легко учесть конечность массы ядра и рассматривать свойства двухчастичной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
