С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Получалось целое значение, равное 2! Этот триумф нисколько не уменьшал тот факт, что это не вполне точное эмпирическое значение. Из экспериментов это значение известно с потрясаюшей точностью д, = 2 х (1, 001159652193:Ы. О, 000000000010). (5.20) Очень малое отклонение от целого числа, полученного Дираком, определяется квантовополевыми эффектами.
Они могут быть вычислены с той же потрясающей точностью и приводят к полному согласию с экспериментом! Однако сейчас давайте примем число 2 как очень хорошее приближение и вернемся к додираковскому атому с учетом малых релятивистских и спиновых эффектов, учитываемых в первом порядке. Существует еше один зависящий от спина эффект, который следует рассмотреть и который никак не связан с внешним магнитным полем. Он проявляется следуюшим образом.
В системе отсчета ядра и в отсутствии внешнего магнитного поля электромагнитное поле, которое чувствует электрон — это кулоновское поле ядра. Но теперь представим себе, что мы находимся на электроне. В соответствии с релятивистскими преобразованиями, обсуждавшимися в части 2, в системе отсчета электрона имеется не только слегка модифицированное кулоновское электрическое поле, но и ненулевое магнитное поле. Поэтому мы можем ожидать взаимодействия между магнитным полем и спином электрона аналогично тому, как это происходило в случае, когда поле было внешним.
Суммарный эффект всего этого состоит в том, что появляется дополнительное слагаемое, которое необходимо включить в гамильтониан 6")ЕТ*З*+ бьЗ +Т..З.), где функция 5 зависит от выбора центрального потенциала И. Для случая атома водорода ге' 2 'сзг' Поскольку выписанные выше слагаемые включают в себя наблюдаемые как спинового, так и орбитального моментов, оно называется спин-орбитальным взаимодействием.
Забавно то, что релятивистские причины, которые приводят к определению С(г), имеют некоторые тонкости, которые можно пропустить при поспешном выводе. Сам Эйнштейн первоначально получил неправильный численный множитель, правильный ответ нашел Л. Д. Томас. 120 Глава 5 Если учитывать спин-орбитальное взаимодействие в уравнении на собственные значения энергии, то энергия перестает коммутировать с Ль и 5,. Но она продолжает коммутировать с Аз и с полным моментом .У = А+ Я, а, следовательно, с,Уз и любой компонентой,У, скажем д, (о полном угловом моменте см.
(4.26) и (4.27)). Собирая все вместе, мы можем выбрать собственные состояния обгцими для Ьз, да и,У,. Собственные состояния энергии (назовем их и„, дл,„,) нумеруются квантовым числом 1 орбитального углового момента, квантовыми числами у и ту полного углового момента и главным квантовым числом и. Из (4.28) мы знаем, что для любых у орбитальное квантовое число может принимать только два значения: 1 = у + 1/1, 1 — 1/2. Поскольку в пространстве нет предпочтительных направлений,мы можем быть уверены, что энергия не зависит от квантового числа тю Следовательно, уровни энергии Е„л л могут отмечаться только тремя индексами и кратность вырождения равна 2у -~- 1.
Набор вырожденных 2у + 1 состояний, занумерованных одинаковым квантовыми числами п, 1, у, но различными пт образует то, что спектроскописты называют мультиилетом. Все это относится к любому центральному потенциалу. Но кулоновский потенциал очень специфичен. Он имеет дополнительное вырождение. Мы уже отмечали это при рассмотрении в нулевом порядке одноэлектронного атома без учета релятивистских и спин-орбитальных поправок, сделанных позднее. В этом нулевом приближении существует вырождение по й для данного ьп уровни энергии зависят только от главного квантового числа п. Некоторая часть этого остается, даже если принять во внимание поправки.
Лля данного и энергии различаются при различных значениях у', так что уровни расщепляются на подуровни, для которых у меняется через единицу от в' = 172 до у' = и — 172. Но для данного у' существует вырождение по 1; состояние с 1 = у + 1/2 и 1 = в' — 1/2 имеют одинаковую энергию. В результате, для одноэлектронных атомов уровни энергии Е„~ зависят только от двух квантовых чисел. Вырождение равно 2(2в'+ Ц, где второй множитель представляет вырождение, связанное с квантовым числом гп, и множитель 2 связан с числом различных 1 при заданном уй Получающиеся собственные значения энергии: 12 о = — = —.
йс 137' Выражение перед фигурными скобками — это результат нулевого порядка. Выражение в фигурных скобках — это единица плюс поправочные слагаемые; поправка составляет величину порядка (иск)з, которая достаточно мала, если 2" не слишком большое. Так получается, что дира- 121 Однозлентронный атом ковское уравнение для релятивистского электрона может быть решено точно в случае атома водорода. Точный результат сохраняет качественные результаты, полученные выше; а именно, существует вырождение по 1 для данного у'. Более точно, в первом порядке по (ге)з результат Дирака согласуется с вышеприведенной формулой, но включает в себя и все поправки более высокого порядка.
Для малых У эти поправки высших порядков очень малы. Абсолютное значение энергии значительно труднее для экспериментального измерения, чем разность энергий. Особый интерес предславляет вопрос о том, разделены ли энергетическими барьерами состояния с одинаковыми и и у и разными 1. В частности, рассмотрим состояние и = 2 атома водорода (Л = 1). Здесь можно выделить три результата: О, 1) = (1/2, О), (1/2, 1) и (3/2, Ц.
Их соответствующие спектроскопические обозначения зг~з, рзуз и рз~з. Индекс соответствует значению у; и по причинам, которые мы здесь не обсуждаем, буква з соответствует 1 = О, р для 1 = 1. Дираковокое предсказание состоит в том, что зк~а и рьяна мультиплеты тонно имеют одинаковую энергию; более того, эта пара должна лежать ниже уровня рзуш на расстоянии, предсказываемом (5.21), — или даже более точно с помощью полностью релятивистской формулы Дирака.
Таким образом, более чувствительный из этих двух тестов предсказывает вырождение ргуз и згуз мультиплетов. Что же говорит эксперимент? Ничего, до середины 40-х годов, когда прошло много времени после того, как (5.2!) было обнародовано и исследовано Дираком. Только после этого первое уверенное обнаружение разделения этих двух мультиплетов было сделано В. Лэмбом и Р. Резерфордом. Они обнаружили, что уровень рь~а лежит ниже уровня згуа на величину, меньшую 10 з электрон-вольт.
В общем, в спектроскопии принято выражать разность энергий ЬЕ через частоту воображаемого фотона, обладающего энергией ЬЕ: г" .= ', где ЬŠ— разность энергий и у' — ооыкновен- ЬГ 2яа' ная частота колебаний. Лэмбовский сдвиг, как он называется, сейчас известен с очень большой точностью: Сдвиг Лэмба =- 1057,86 Мегациклов/сек, Подобно наномальному» множителю Ланде (см. (5.20)) («аномальность» состоит в том, что он получился из уравнения Дирака) существование лэмбовского сдвига происходит из квантовой теории поля электронов и фотонов. Вскоре после появления первоначального исследования Лэмба теоретики стали работать в этом направлении, и вскоре им удалось провести расчеты, сопоставимые с экспериментом.
Точность экспериментов и расчетов в последующие годы значительно возросла, и их согласованность продолжает усиливаться. 122 Глава б Мы уделили большое внимание одноэлектронному атому по той причине, что он играл центральную роль в развитии квантоной механике. О нем еще многое можно сказать: например, о сдвиге уровней, индуцированным электрическим полем (эффект Штарка), об эффекте Зеемана, которого мы только коснулись, и т.д. Формула эффекта Зеемана находится в хорошем согласии с экспериментом для сильного магнитного поля, но в слабых полях она вызывает беспокойство. Картина в значительной мере портится спин-орбитальным взаимодействием, которым пренебрегли в (5.2!). В слабом магнитном поле говорят об «аномальном» эффекте Зеемана.
Он был большой загадкой в ранний период развития квантовой механики до понимания природы спин-орбитального взаимодействия, пока вскоре все не стало на свои места. Осталось еще одно последнее замечание к предыдущему. Мы рассматривали атомные ядра как геометрические точки. В действительности, нейтроны и протоны, из которых состоят ядра, распределены (в квантовомеханическом вероятностном смысле) в области с некоторым характерным размером ядра. Очень приблизительно этот размер составляет Л = А'~з х 10 'з см, где А — полное число нейтронов и протонов.
Размер одноэлектронного атома примерно равен ав/Л, где ав = = 0,53 х 10 з см. Даже для больших ядер шанс найти электрон внутри ядра очень мал, так что рассмотрение ядер как точечных частиц является хорошим приближением, которое мы и использовали. Аналогичным образом можно рассмотреть и отрицательный мюон. Как частица, он во многом подобен электрону. Он имеет такой же заряд, спин, но, во-первых, мюон нестабилен, а во-вторых, он примерно в 200 раз тяжелее электрона. Поэтому мюон, движущийся в некоторой среде, захватывается в атомную орбиту с боровским радиусом в 200 раз меньшим, чем электрон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
