С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Если в некоторый момент времени волновая функция симметрична, это свойство сохраняется во времени. Это происходит благодаря симметрии гамильтониана, определяюшего развитие во времени волновой функции. Точно так же, если волновая функция в некоторый момент времени антисимметрична, это свойство сохранится с течением времени. Отметим, что, несмотря на ссылку про начальный момент времени, свойство антисимметрии фермионной волновой функции не предполагает наличия симметрии физического явления. Вероятность любого физического явления будет неизбежно включаться в произведение волновых функций и комплексных сопряженных к ним. Поскольку обе эти величины при перестановке будут менять знак, то вероятность от этого не изменится, что означает симметрию по перестановкам.

Эти правила для бозонов и фермионов появились как результат эмпирического открытия, которое было понято в период рождения нерелятивистской квантовой механики. Но вскоре они появились как необходимое следствие из обших идей квантовой теории поля.

«Элементарные частицы» в нашей повседневной жизни — это электроны, протоны и нейтроны — являются фермионами со спином 1/2. Фотоны и другие ингредиенты повседневной жизни являются бозонами спина Е Но что можно сказать о составных частицах, например, о ядрах? Ответ заключается в том, что в тех явлениях, где внутренняя структура ядра не играет роли, например, в химии, биологии, науках о материалах и подобных им, ядра могут рассматриваться как элементарные частицы, удовлетворяющие подходящим правилам симметрии или антисимметрии. Например, ядра Нел состоят из 4-х фермионов (два протона, два нейтрона).

Следовательно, перестановка двух ядер гелия эквивалентна обмену четырех пар фермионов. От каждой пары возникает знак минус при перестановке, но, тем не менее, произведение четырех минусов дает плюс. Таким образом, ядра с четным общим числом бозонов и фермионов являют- Правила симметрии и аитисимметрии (З( ся бозонами, а если общее число протонов и нейтронов в ядре нечет- но, то фермионами. При этом надо сделать важное замечание. Обычно для ядер, так же как и для атомов, существует множество внутренних состояний.

Понятие тождественности применимо только к ядрам, находящимся в одинаковом состоянии. Например, два ядра углерода (С ) Га в одинаковом основном состоянии идентичны, но два ядра могут находиться и в одинаковом возбужденном состоянии, в котором они тоже идентичны. Но тождественность отсутствует, если одно ядро находится в основном, а другое — в возбужденном состоянии. При обычных температурах ядра для данного вещества, окружающего нас, находятся в основном состоянии.

Если этот уровень невырожден, то ядра тождественны. Здесь есть одна забавная деталь, которая следует из квантовомеханического статуса тождественности частиц. Рассмотрим ситуацию, когда два электрона сталкиваются, рассеиваются и разлетаются в различных направлениях. Предположим, что электроны сближаются друг с другом с равными по величине и противоположными по направлению импульсами, так что полный начальный импульс равен нулю.

По закону сохранения полный импульс, равный нулю, остается таким н после рассеяния; поэтому импульсы электронов снова будут равны по величине и противоположны по направлению. Пусть 0 — угол рассеяния. Сконцентрируемся на функции распределения Р(0), описывающей распределение вероятностей для рассеяния на угол О. Это распределение может быть получено, хотя бы в принципе, повторением эксперимента по рассеянию, если на всех рассеивающих направлениях близко друг к другу поставить детекторы.

Более реально, вместо повторения эксперимента с одной парой рассеивающихся электронов, рассмотреть рассеяние пучка электронов. Сейчас предположим (что действительно дает хорошее приближение), что мы пренебрегаем силами, зависящими от спинов, и считаем, что взаимная потенциальная энергия любой пары является центральной (т. е. фактически кулоновский потенциал, но можно рассмотреть и более общий случай). Рассмотрим две различные ситуации.

(1) Антипараллельные спины: падающие электроны имеют спины, направленные в противоположную сторону вдоль некоторой несущественной оси. Например, электрон идущий слева, имеет спин вверх, идущий справа — спин вниз. (2) Параллельные спины: спины направлены у обоих либо вверх, либо вниз, независимо от того, какое направление выбрано. Предположим, что детекторы могут накапливать рассеянные электроны, не чувствуя их спин. Тогда, поскольку мы предполагали, что электрон-электронное взаимодействие не зависит от спина, тогда можно ожидать, что угловое распределение Р(0) будет одинаково для двух вышеперечисленных ситуаций. Но распределение оказывается неодинаковым.

Причина в следующем. Во втором случае, поскольку спины па- 132 Глава 6 раллельны, спиновая часть волновой функции является симметричной. Но полная волновая функция должна быть антисимметричной, следовательно, антисимметричной должна быть пространственная часть волновой функции. В первом случае волновая функция является линейной комбинацией двух выражений.

Одна из них — волновая функция, соответствующая случаю 2, а вторая — полностью симметричная пространственная волновая функция, сопровождаемая антисимметричной спиновой частью. Поэтому пространственные волновые функции в этих двух случаях различны. Таким образом, хотя законы для сил и детекторы спин непосредственно не ощущают, требование комбинирования пространственно-спиновой антисимметрии приводит к эффектам зависимости от спина. Ситуация особенно драматична при О = я/2(90'), В случае 1, Р(я/2) имеет ненулевое значение, в то время как в случае 2, Р(я,г2) = О. Принцип Паули Правило для фермионов иногда формулируют как утверждение: два фермиона не могут одновременно находиться в одинаково состоянии.

Эта формулировка носит имя Вольфганга Паули. Но эта формулировка достаточно неопределенна, поскольку в многочастичных системах собственно не существует понятия индавидуальнгях состояний частиц. Волновая функция системы включает в себя все частицы совместно. Но существуют специальные условия, когда интересующие нас состояния строятся из одночастичных состояний.

Пусть и„— набор одночастичных состояний, которые обозначают функцию от положения е и квантового спинового числа т, отдельного фермиона. Одночастичные состояния мы будем отмечать общим индексом п. Для системы из двух тождественных фермионов существует специальный класс двухчастичных состояний, который получается как антисимметризованное произведение одночастичных состоянии; и„„(1, 2) = — (и„(Ци„(2) — и„(2)и„(1)).

ъ'2 Аргументы 1 и 2 относятся к координатам и спиновому квантовому числу частиц 1 и 2, соответственно. Ясно, что иаа является антисимметричной относительно перестановки аргументов 1 и 2. По отношению к такому типу двухчастичных волновых функций можно собственно сказать, что одна из частиц находится в одночастичном состоянии и„, другая— в одночастичном состоянии и„, Но мы не можем сказать, какая из частиц в каком именно состоянии находится. Это следует, так сказать, из вышеприведенной формулы. Более того, очевидно, что не существует двухчастичного состояния с п =- и', в котором оба электрона находятся в одном состоянии.

Так срабатывает принцип Паули. То, что 133 Ферми-газ здесь было описано для двух частиц, может быть без труда обобщена на систему из Х фермионов. Взяв произведение Х одночастичных состояний цп(1)цп (2)цп (3), ..., затем антисимметризуем их, чтобы построить дг-частичное состояние цп „ „ . Естественно, что все метки п, гг', п"... должны быть различны. Эта многочастичная функция говорит, что один нз электронов находится в состоянии пп, другой в цп, третий в пп и т.д.

Опять же, нет смысла говорить, какой электрон в каком состоянии находится. Они меняются. Для класса многочастичных состояний, описанных здесь, многочастичная задача на собственные значения сводится к решению одночастичной задачи. Возьмем состояние ц„, которое является собственной функцией, соответствующей энергии еи. Здесь мы снова будем понимать, что п — это некоторый индекс, позволяющий отличать одно состояние от другого. Теперь нетрудно получить, что собственные функции для Ю-частичной задачи являются антисимметризованным произведением ип п „, как это обсуждалось выше. Собственные функции задаются набором индексов п, и', и",....

Соответствующие уровни энергии получаются как сумма одночастичных энергий: (6.1) Епглци'с. = и+ел'+-ил Этот результат согласуется с нашей интуицией; а именно, что энергия многочастичной системы должна получаться как сумма одночастичных энергий в силу отсутствия межчастнчного взаимодействия. Пришло время остановиться на примерах. Ферми-газ Электроны внешних оболочек (валентные электроны) в металлах не связаны с отдельными атомами, а вместо этого движутся в металле более или менее свободно с энергией, которую не совсем верно называют «энергией зоны проводимостиги Положительно заряженные ионы практически остаются на месте, образуя регулярную решетку и совершая малые колебания вблизи своего положения равновесия.

Характеристики

Список файлов книги