С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Если звезда не слипжом массивна, и гравитационные силы не слишком сильны, вырожденного электронного давления будет достаточно, чтобы снова стабилизировать звезду, теперь уже в новом обличье белого карлика. Ограничение на массу, впервые полученное Чандрасекаром, составляет примерно 1,4 солнечных массы. В стадии белого карлика звезда не выгорает, но становится очень горячей благодаря энергии, выделяющейся при гравитационном коллапсе, который привел к этой стадии. В последующую эпоху звезда остывает.

Типичная плотность белого карлика в 10т раз больше плотности Солнца. Радиус такой звезды примерно равен земному. Температура в центре составляет около 10т градусов по стоградусной шкале. Хотя это кажется большим значением, все же оно мало по сравнению с температурой Ферми, составляющей около 10ы градусов. По мере сближения электронов белый карлик будет стремиться к абсолютному нулю температуры. Если звезда слишком массивна, чтобы электронный газ мог спасти ее от гравитационного коллапса, она переходит в состояние с такой высокой плотностью, что превращается в систему нейтронов. Электроны и протоны постепенно исчезают в результате реакции электрон + протон — нейтрон + нейтрино, после чего нейтрино улетают за пределы звезды.

Если звезда не очень массивна, вырожденное давление нейтронов может обеспечить стабильность звезды против гравитационного коллапса. В конечном итоге звезда становится нейтронной звездой, илн пульсаром. Детальный анализ поведения в этом случае более сложен по сравнению с белыми карликами, поскольку нейтрон-нейтронное взаимодействие является настолько сильным, что считать нейтронную звезду газом взаимодействующих фермионов просто нереалистично. В остальных случаях, если звезда слишком массивна, чтобы ее могло спасти превращение в нейтронную звезду, и если ей не удается сбросить избыток массы в виде взрыва сверхновой, она неизбежно кол- 138 Глава 6 лапсирует в черную дыру. Квантовая механика черных дыр в настоящее время является объектом активных исследований.

Атомы Одноэлектронный атом не представляет собой проблемы. Точное аналитическое решение задачи на собственные значения энергии для многоэлектронных атомов пока недостижимо. На самом деле, с увеличением числа электронов проведение численного исследования становится довольно безнадежным делом даже для современных компьютеров. Но за время исследования этой теперь уже достаточно хорошо изученной области было предложено много различных приближений, основанных на приемлемых физических представлениях (тем не менее, эти приближения требуют достаточно объемных численных расчетов). Важность моделирования, если это хорошее моделирование, состоит в том, что оно развивает физическую интуицию и дает основы для организации, интерпретации и обмена численными результатами, В последующем изложении мы будем игнорировать силы, зависящие от спина, и релятивистские поправки.

Многоэлектронные атомы сложны сами по себе. Если мы проигнорируем силы, с которыми электроны взаимодействуют друг на друга, так что их можно будет рассматривать как независимо движущиеся в притягивающем потенциале, то задача решается легко, Многочастичные состояния будут антисимметризованными произведениями одночастичных состояний, а соответствующие энергии будут суммой одночастичных энергий — все это уже обсуждалось.

Поэтому достаточно решить одночастичную задачу. Более того, для случая кулоновского потенциала такая задача уже рассмотрена аналитически. Плохо то, что пренебрежение электрон-электронным взаимодействием является не слишком удачной идеей. Чтобы это почувствовать, достаточно рассмотреть основное состояние двухэлектронного атома.

Для отдельно~о электрона в поле ядра с атомным числом У уровни энергии определяются из соотношения (5.15). В дальнейшем мы заменим обозначение Е„ на символ „, под которым будем понимать одночастичную энергию. Численно эти значения равны гз 13, 6, эв. пв Для двухэлектронных атомов, если игнорировать электрон-электронное взаимодействие, основное состояние будет включать в себя два электрона с противоположными спинами в одном пространственном состоянии. Для гелия (Я = 2) полученное таким образом состояние будет иметь энергию — 108.8 эв. Но экспериментальное значение равно — 78, 9 эв.

Расхождение довольно существенно. Поэтому игнорировать Атомы 139 электрон-электронное взаимодействие — действительно не очень хорошая мысль. То же самое касается атомов с большим числом электронов. Следовательно, необходимо рассмотреть такой подход, который позволил бы учесть эти взаимодействия в некотором приемлемом приближении, которое к тому же поддавалось бы вычислениям. Природа исследуемых приближений будет частично зависеть от типа рассматриваемых вопросов (например, будут ли они учитывать основное и низколежащее состояния или только сильновозбужденные состояния атома); а частично — от понимания ьвычислимостиь, Например, исключительно для основного и низколежащих состояний можно предложить следующий подход, который объективно очень хорош при описании, но не так прост в вычислительном плане.

В многоэлектронном атоме на любой электрон, как и на ядро, действуют все другие электроны. Если для них известно пространственное распределение вероятности, можно вычислить полную силу, действующую на электрон с учетом этого распределения электронов и, конечно, ядер. Это означает, что можно вычислить эффективный потенциал, действующий на электроны — потенциал, свой вклад в который дают все другие электроны.

Но это распределение вероятностей неизвестно, пока не решена задача на собственные значения энергии, так что мы оказываемся в замкнутом круге. Однако были придуманы различные приближения, для которых можно сначала сделать простейшие предположения о природе эффективного потенциала, а затем улучшать его самосогласованным образом.

После этого можно считать, что электроны движутся независимым образом в образуемом ими эффективном потенциале, предполагая (если оптимистично опустить некоторые вопросы), что электрон-электронные силы учитываются, по крайней мере, в некотором приближении. Обычно при этом идут чуть дальше и ограничиваются нахождением приемлемого центрального потенциала. Процедура получения эффективного потенциала является довольно технической, поэтому мы лишь упомянем названия двух наиболее известных подходов: приближение Хартри — Фока и модель Томаса — Ферми.

После того, как эффективный центральный потенциал )гьээ каким- либо способом найден, решение задачи о многочастичных связанных состояниях сводится к одночастичной задаче в этом потенциале. Этот потенциал, конечно, больше не соответствует закону Кулона 1/г. Он ведет себя более сложным образом, поэтому одночастичная задача на собственные значения не может быть решена аналитически. Здесь могут помочь современные компьютеры. Но теперь можно вздохнуть свободно, поскольку многочастичная задача сведена к одночастичной. Конечно, хороший эффективный потенциал все равно трудно придумать и рассчитать. Связано это с тем, что он не является универсальным, потенциал различен для различных атомов (у которых разное число электронов).

Предположим, что мы хотим получить эффективный потенциал для основного состояния (или некоторых низколежащих возбужденных со- 140 Глава б Уег ~,эй(г) — — „при г — О. (2) Когда электрон движется далеко от ядра и остальных электронов, они кажутся маленькой капелькой вещества (ядро экранировано оставшимися Я вЂ” 1 электронами) с полным зарядом е; так что можно ожидать, что е Ъ'м Э(г) — — — „прн г — сю. На не очень больших и не очень малых расстояниях функция )гЭЭ будет являться более сложной. Независимо от деталей этого потенциала, поскольку он является центральным (по конструкции), мы знаем, что наблюдаемая величина, соответствующая одночастичной энергии, коммутирует с переменными углового момента Ьг и Е„а также со спиновой переменной я„электрона (см.

обсуждение центрального потенциала в гл. 5). Поэтому одночастичные собственные состояния энергии отличаются квантовыми числами орбитального углового момента 1 и ьчп спиновым квантовым числом ги, и главным квантовым числом и,. Соответствующие одночастичные энергии вьл зависят только от и и 1. Отметим, что кратность вырождения равна 2(21+ 1), где множитель 2 определяется тем фактом, что щ, может принимать только два значения 1/2 (направление спина вдоль оси м) и — 1/2 (спин вниз), множитель (21 + Ц вЂ” число возможных значений квантового числа ть Для данных 1, тс, т„, главное квантовое число п является индексом, который различает состояния с различной энергией. По традиции, для данного 1 нумерация начинается с и ы = 1 + 1.

В этот момент удобно ввести некоторые общепринятые обозначения, которые используются как в атомной физике, так и других разделах. Каждому значению 1 сопоставим некоторую букву алфавита: Значение О 1 2 3 Обозначение р г( стояний) нейтрального атома с Л электронами. Чтобы получить приемлемый эффективный потенциал )гфф, мы должны учесть некоторые ограничения. (1) Поскольку электрон движется вблизи ядра, в этом случае вблизи ядра будет доминировать неэкранированный кулоновский потенциал. Мы можем ожидать, что Атомы 141 После у список продолжается вниз по алфавиту. Только пропущена буква е, чтобы не путать с электрическим зарядом.

Конечно, можно исходить из букв, заменяя их на численные значения 1. Но если использовать буквы для обозначения 1 и числа для главного квантового числа и, то получатся такие комбинации, как 2з, 4р, и так далее, обозначающие одночастичные состояния 1и = 2, 1 =- О), (и =- 4, 1 =- 1) и так далее. Но никогда не будет выражения Зу, поскольку оно нарушает соглашение, что п не может быть меньше!-ь 1.

Характеристики

Список файлов книги