С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Переходя в пределе к дифференциалам, запишем эту гипотезу в ви- сИ® =. — Аг® с(г(т, 126 Глава 5 где константа пропорциональности — является характеристическим па- 1 раметром исходного вещества. Это уравнение легко решается. Пусть Л'(О) — число нераспавшихся атомов в начальный момент времени 1 = О. То~да в последующие моменты времени число нераспавшихся атомов равно йГ(1) = Дг(0) ох1э( — 1(т).
15.23) Это и есть обещанный экспоненцнальный закон распада. Легко проверить, что среднее время жизни равно как раз т. Здесь можно сделать некоторые уточнения. Мы предполагали, что происходит распад только одного исходного вещества. Но если оно само является продуктом распада, в одном случае его количество будет уменьшаться, а в другом — увеличиваться. Такой анализ нетрудно провести, но мы пока от него воздержимся. Второе уточнение состоит в том, что мы рассматривали Гтг1г) как непрерывную переменную, хотя реально она является целым числом, которое меняется на единицу при каждом распаде. Это не очень большая погрешность, особенно если Дг1т) значительно больше единицы.
Если формула утверждает, что в некоторый момент осталось 1000000000,7 исходных атомов, мы можем спокойно округлить это число до ближайшего целого. Одно из наиболее ранних приложений квантовых идей в ядерной физике как раз было сделано в связи с явлением о-радиоактивности. Протоны и нейтроны, образующие ядра, удерживаются вместе мощными силами притяжения. Рассмотрим нестабильное по отношению к о-распаду атомное ядро с атомным числом У. Мы можем предположить, что существует специальный процесс, подготавливающий образование о-частицы, которая после этого выбрасывается из ядра.
После того как о-частица испущена и оказывается вне эффективной области, где существуют притягивающие ядерные силы, со стороны вновь образовавшегося ядра, о-частица чувствует только дальнодействующий кулоновский потенциал 1л(г) = +2(У вЂ” 2)езуг. Множитель отражает тот факт, что заряд о-частицы равен 2е, а заряд оставшегося ядра равен (Я вЂ” 2)е. Таким образом, о-частица чувствует сильные притягивающие силы, когда она находится внутри ядра (радиус которого около 10 з см), и отталкивающие электростатические силы вне его. Схематично этот потенциал представлен на рнс.
5.1. Потенциал достигает своего максимального значения, Ъмь„, на расстоянии, равном радиусу ядра. Пусть Š— энергия такой о-частицьь Исключая, возможно, короткоживущие ядра, эта энергия находится ниже высоты барьера, так что Е < )л „„. Например, для ядра урана Б зз, энергия Е составляет около 4 Мэв, при этом высота барьера около 30 Мэв. Следовательно, классически частица не может покинуть область ядра. Однако с точки зрения квантовой механики она способна туннелировать через барьер. Возможность туннелирования существенно зависит как от И , так н от энергии Ь' частицы. Это объ- 1227 Процессы распада ясняет, почему время жизни нестабильных по отношению к о-распаду ядер очень сильно меняется для разных элементов.
Рис. 5.1. Схематическое изображение потенциала, удерживающего а-частицу, которая образуется внутри ядра. Потенциал является сильно притягивающим внутри ядра. Вне ядра а-частица чувствует отталкивающий кулоновский потенциал. Существует еще последнее замечание, которое стоит сделать. Мы говорили об омчастице так, как если бы она обладала вполне определенным значением энергии, однако зто возможно, только если она находится в собственном состоянии энергии, Однако в общем случае это не так.
Строго говоря, она находится в состоянии, являющемся суперпозицией состояний непрерывного спектра энергий. Однако для типичного случая разброс энергий (корень из среднего квадрата) достаточно мал. Этот разброс связан со средним временем жизни т исходной частицы через принцип «неопределенности», обсуждавшийся выше, для энергии и времени; примерно сдЕ = Ь(т. Эта связь между временем жизни и разбросом энергии продуктов распада является обшей. Она справедлива для любых процессов распада. Этот разброс энергий едва заметен во многих случаях. Он составляет около 6х10 '" эв, если время жизни равно 1 сек! Представьте, насколько он мал, скажем, для с!~~~, время жизни которого несколько биллионов лет.
Но для определенных процессов распада времена жизни достаточно малы, чтобы привести к заметному разбросу энергии. Действительно, для некоторых короткоживущих частиц время жизни определяется не непосредственно, а через измерение разброса энергии. ГЛАВА 6 Тождественные частицы Правила симметрии и антисимметрии Хотя принципы квантовой механики в этой книге были заложены в общем виде, до сих пор мы рассматривали случай отдельной частицы. По мере того, как число частиц в системе увеличивается, растут и вычислительные сложности, которые уменьшают возможность получить точный ответ.
Для упрощения задачи в таком случае приходится использовать различные модели, основанные на физической интуиции или математических приближениях. При этом, если бы все частицы отличались друг от друга, никаких новых принципов для многочастичных задач не появилось бы. Замечательным фактом является то, что различные элементарные частицы одной природы появляются всегда в строго идентичных копиях.
Почему это происходит именно так, мы обсудим несколько позднее. В данный момент лучше остановится на том, к чему приводит в квантовой механике тождественность частиц. Как с точки зрения классики, так и квантовой механики две частицы будут идентичны, если они ведут себя одинаково зо всех мыслимых исследованиях. Если измеряется масса, то в эксперимент должен давать одинаковую массу; если действует электрическое или магнитное поле, они должны приводить к одинаковым зарядам; они должны рассеивать свет одинаковым образом; и т,д. Классически, если объекты являются макроскопическими, мы можем пометить их и различать с помощью идентифицирующих ярлыков. Правда это небольшое жульничество: маркированные объекты перестают быть идентичными.
Поэтому мы хотим рассмотреть объекты, на которые нельзя повесить ярлыки. Во всяком случае, в классическом случае нет необходимости физически помечать частицы. Хотя внутренне они идентичны,мы, в принципе можем отследить за каждой из них и просто объявить, что в некоторый начальный момент времени первая частица находилась здесь, вторая — там, и т.д. После этого, в принципе, мы можем отследить их движение по траекториям и таким образом поддерживать выбранную идентификацию.
Пусть 129 Правила симметрии и аитисимметрии силовые поля, в которых движутся частицы, действуют на них одинаковым образом, как это подразумевается многими гипотезами, объясняющими идентичность частиц. Но начальные условия у частиц неодинаковы (первая — здесь, вторая — там, и т.д.); следовательно, их траектории различны, поэтому мы всегда знаем, где какая частица находится.
Следовательно, классически невозможно создать какой-либо специальный принцип, если мы имеем дело с тождественными частицами. Квантовомеханическая ситуация существенно отличается от классической, поскольку имеет дело не с определенными положениями частиц, а только с вероятностями. Возможна ситуация, когда первоначальная волновая функция двух частиц сконцентрирована вблизи двух точек, для первой частицы вблизи одной точки «здесьы для второй — в точке «тами. Точку «здесьи мы припишем первой частице, точку «тами — второй.
Но это различие исчезнет с течением времени, поскольку волновые пакеты движутся и меняют свою форму. Первоначальные максимумы волновых функций будут уширяться и перекрываться. Способы работы квантовой механики с тождественными частицами, вообще говоря, очень различны, что имеет далеко идущие следствия. В соответствии с общим смыслом тождественности оператор Гамильтона (энергия), управляющий системой тождественных частиц, учитывает их, конечно, на полностью симметричной основе. Он будет симметричен при любой комбинации перестановок положений и спинов любых частиц. Например, если метки гт и Ят соответствуют координатам и переменным спина для 1-ой частицы, а гя и Яз — для второй частицы, тогда гамильтониан будет симметричен относительно совместной перестановки с1 и гь вместе с Яг и Яю хотя и не обязательно будет симметричен, если производить перестановку только координат или только спина.
Аналогично можно сказать о перестановках меток любой дру~ой пары частиц в системе. Волновая функция системы из Аг идентичных частиц зависит от координат т, и спиновых квантовых чисел (впеременныхм) га... 1 = 1, 2.... Х. Чтобы избежать лишних символов, будем включать эти переменные в компактные обозначения аргументов волновой функции. Для любого состояния Ф, заданного своими переменными, будем записывать чг(1, 2, ... Ю, Г), гДе число ! соответствУет г1 и тт, число 2 соответствует тз и щ„, и т.д.
С точки зрения математики, волновая функция системы тождественных частиц не обязана иметь какие-либо свойства симметрии, даже если оператор Гамильтона, управляющий временной эволюцией, является симметричным, как уже говорилось выше. Однако природа более требовательна. Существуют квантовомеханические правила, которые состоят в следующем: Волновая функция системы тождественных частиц, спин которых Я является целым, должна быть полностью симметрична. Глава 6 Частицы с целым спином называются бозонами (по имени индийского физика Сатендры Бозе).
Волновая функция системы тождественных частиц, спин которых Я является полуцелым, должна быть полностью антисимметрична. Частицы с полуцелым спином 5 называются фермионами (по имени американца итальянского происхождения физика Энрико Ферми). Как уже обьяснялось выше, симметрия — а теперь также и анти- симметрия — проявляется в поведении волновой функции относительно перестановок двух тождественных частиц (совместной перестановки их координат и спинов). Если волновая функция является симметричной, то она будет четной (неизменной) при таких перестановках; если она анти- симметрична, то нечетной (меняет знак). Нетрудно проверить, что вышеприведенные квантовомеханические правила сохраняются в следуюшем смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
