С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Это можно сделать в случае, когда, как и в данной задаче, силы между двумя частицами зависят только от их относительного расстояния. Мы только должны понимать, что все, делавшееся раньше, теперь относится не к фиксированной системе отсчета, связанной с лабораторией, а к системе отсчета, связанной с центром масс. Задача двух тел эффективно сводится к одночастичной задаче, за одним исключением: во всех формулах массы теперь являются не массами электрона, а приведенной массой задачи двух тел: пгег1гя 1 гпе + г гя 1 + гпе(мя где гпе — масса электрона и ЛХя — масса ядра.

Из-за того, что последняя значительно больше массы электрона, приведенная масса мало отличается от массы электрона. Даже для водорода эта разность порядка одной двухтысячной. Тем не менее спектроскопия вполне способна зафиксировать такую разницу. Если, например,мы будем игнорировать эффект приведенной массы, то из формулы (5,15) будет следовать, что уровень Пб Глава 5 атома водорода с и =- 1 будет совпадать с уровнем п, — — 2 для однократно ионизированного атома гелия (У =. 2). Однако эта разница была экспериментально измерена вскоре после появления теории Бора; собственно, Бор и понял, что эта разница появляется из разницы приведенных масс водорода и однократно ионизированного атома гелия.

Существенные поправки к нашему изучению одноэлектронного атома появляются из релятивистских эффектов. Напомним, что правильная формула для кинетической энергии частицы массы т и импульсом р равна, в соответствии с (2.14), «=в- ..'=,Гч» -««- Для скоростей частиц, малых по сравнению со скоростью света с, п»»с =. ср ,, « 1. В первом порядке по этому малому отношению кинетичетс ская энергия сводится к известному выражению К = рз«'2пп В следующем порядке надо учесть поправку вида — рл,«8тзсз.

Ее можно добавить как дополнительный оператор в уравнение на собственные значения энергии; в низшем порядке нетрудно вывести, как он влияет на сдвиг уровней энергии. Эти поправки были вычислены вскоре после рождения новой квантовой механики, хотя они фактически фигурировали уже в рамках старой квантовой механики.

Другой путь, релятивистский подход, был не полон и не точен. Поэтому релятивистские поправки, как описано выше, были рассмотрены в первом порядке как малое возмущение. Эти поправки оказались действительно малы. Далее, необходимо учесть влияние спина. Наличие спина увеличивает пространство квантовомеханических состояний. Наиболее общее спиновое состояние является линейной комбинацией состояний со спинам «вверх« вдоль некоторой выбранной оси У, и «вниз» вдоль той же оси; в обозначениях (4.24) т, = 1«»2 и — 1«»2 соответственно. Для большей краткости, мы будем обозначать эти два спиновых состояния символами ", и Е Предположим, что спин электрона ориентирован строго ( во всех точках пространства. Тогда его волновая функция может быть записана в виде Ф =- у(п, «) Е где пространственно-временная функция Г" нормирована на единицу и Г у имеет обычную интерпретацию как пространственная плотность вероятности для электрона (со спинам вверх).

Если спин во всем просгранстве ориентирован вниз, волновая функция запишется в виде Ф = д(п, «) ).. Реальная волновая функция является некоторой их линейной комбинацией Ф = аДг, «) ) +Ьд(т, «) (, где а и Ь являются константами, нормированными согласно а,'а+Ь'Ь = 1. Пространственными распределениями вероятностей для спина вверх 117 Одноэлектронный атом е — В,.

2гпс (5.18) Из уравнения (4.22) мы видим, что «возмущенное» уравнение на собственные значения (уравнения в присутствии поля В) имеет те же самые собственные функции и„д „что и нневозмущенное» уравнение. Наличие поля не меняет собственных функций. Но энергии сдвигаются на величину еВЬпц(2тис, этот сдвиг снимает вырождение по квантовому и спина вниз являются, соответственно, п*аг*) и Ь*Ьд'д.

Относительная вероятность, не зависящая от пространственно~о положения, равна а'а/Ь*Ь. Теперь вернемся к проблеме собственных значений энергии и для начала предположим, что силы, действующие на электрон, не зависят от спина; а именно, что, хотя электрон и имеет спин, силы этот спин не чувствуют. В такой ситуации очевидно, что наблюдаемая спина В, очевидно, коммутирует с наблюдаемой энергии и, следовательно, можно найти общие собственные состояния энергии и компоненты В вдоль любой оси, скажем, л. Ясно, что собственные значения энергии полученные без учета спина, не будут изменяться, если мы примем спин во внимание.

Однако число собственных состояний удвоится. А именно, предположим, что в отсутствие учета спина мы можем найти собственные состояния и(ай у, л), соответствующие энергии Е, С учетом спина оба состояния 7 и 1 будут собственными с одной и той же энергией В. Предположим, что частица движется в центральном потенциале. Без учета спина у нее будут общие собственные состояния энергии, Р и Е,.

Мы обозначим нх как и„л . Пусть ин ~ — соответствующие уровни энергии (для атома водорода существует вырождение по 1; но это нетипично для центрального потенциала). Если учесть спин, эти состояния приобретают индекс ги„так что теперь можно записать и„пни Например, длЯ спина ввеРх, и„дон гуз = и„днн 1, точно так же длЯ т, = — 1/2. Однако энергия не зависит от спинового квантового числа т„.

Кулоновские силы не зависят от спина и, следовательно, не могут влиять на уровни энергии, Как это соотносится с тем, что спин проявляет себя в спектроскопии? Ответ в том, что там существуют силы, от которых спин зависит и которые снимают спиновое вырождение. Чтобы это понять, рассмотрим случай безспинового электрона, движущегося в некотором центральном потенциале; рассмотрим ситуацию, когда система дополнительно помещена в однородное магнитное поле В.

В уравнении на собственные значения для энергии влияние магнитного поля проявляется в виде слагаемого, пропорционального произведению магнитного поля В и компонент углового момента в направлении поля. Для удобства за направление поля выберем ось л. Новое слагаемое, которое войдет в уравнение на собственные значения (4.1) и добавится к потенциалу г', равно П8 Глава 5 числу то Таким образом, энергетические уровни Е„ с,„, в присутствии поля (мы будем отмечать их штрихом) зависят от т~ и связаны с невоз- мущенными значениями Е„л как Ешсч —— Е„~ + тп / сйВ 2тс еВ ' ' 2хпс Параметр д, называется кножителем Ланде, а индекс означает, что мы имеем дело с электроном.

Если собрать все вместе, то оба типа взаимодействия приводят к изменению энергии по отношению к исходной в виде Е г ~, = Еш+ 2 (ггп+д~™ ). в)1В (5.19) В отсутствие магнитного поля уровни, соответствующие данным квантовым числам и и 1, 2(21 .й Ц вЂ” кратно вырождены; множитель 2 появляется из-за учета различных значений т„а второй множитель— из-за учета возможных значений тп Действие магнитного поля приводит к расщеплению невозмущенного уровня на целую группу подуровней, с энергиями, нумеруемыми квантовыми числами т~ и т,.

Энергетический уровень, который был вырожден по ггн в отсутствие магнитного поля, сейчас расщепляется в (21+ 1) подуровень с различными энергиями. Поскольку такой эффект возникает при наличии магнитного поля, квантовое число тн соответствующее угловому моменту, часто называют (орбитальным) магнитным квантовым числом. Сдвиг атомных уровней энергии в магнитном поле известен как эффект Зеемана. Все это было известно еще в старой квантовой механике, в бесспиновом случае. Открытие спина, который появился одновременно с рождением новой квантовой теории, привело к задачам, появившимся с открытием эффекта Зеемана. Эффекты, связанные со спинам, появились следующим образом.

Уравнение (5.18) описывает вклад в энергию, который возникает из-за взаимодействия магнитного поля и углового орбитального момента. Если мы полагаем, что электрон имеет спин, то кажется естественным предположить, что подобное взаимодействие должно возникать также между магнитным полем н спиновым угловым моментом, что должно делать вклад, аналогичный (5.!8), с той разницей, что Л, должно заменяться на Яв. Чтобы не ошибиться — пока у нас нет никакого другого требования — умножим это выражение на феноменологический коэффициент д„который должен определяться экспериментально.

Тогда дополнительное слагаемое, характеризующее взаимодействие спина с магнитным полем В, имеет вид Однозлентронньш атом 119 Незадолго до это~о из эксперимента стало известно, что д, = 2 с точностью до погрешности эксперимента, До того, как было получено релятивистское уравнение Дирака для электрона, это значение просто воспринималось как эмпирический факт. Одно из наибольших достижений уравнений Дирака как раз состояло в том, что оно автоматически давало точное значение д,.

Характеристики

Список файлов книги