С. Трейман - Этот странный квантовый мир (1129358), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Конечно, реально электроны зоны проводимости взаимодействуют между собой и с положительными ионами. Было бы неправильно игнорировать эти межчастичные силы. Но мы сделаем нечто подобное и позволим себе очень упрощенное рассмотрение, воплощенное в так называемой свободной модели электронов.

К удивлению, это не является грубой ошибкой; эта модель воспроизводит, по крайней мере, некоторую феноменологию. И в то же время она проста. Одно измерение В качестве разминки возьмем одномерную задачу. Рассмотрим систему из йг тождественных фермионов со спинам 1/2 (назовем их элек- 134 Глава б Ео=2 ",(1'+2а+3' ...+(Х) ). Множитель два перед выражением, стоящим в правой части, равняется числу спиновых состояний для каждого пространственного состояния с индексом и. При больших Х, с точностью до 1/Х, сумму люжно заменить на интеграл и легко вычислить. Энергия основного состояния, приходящаяся на одну частицу, будет равна Ео Дяз (дг,з Х 24гп 1,Лл (6.2) Заметим, что энергия, приходящаяся на одну частицу, зависит от Х и А только через их отношение; таким образом, энергия зависит только от плотносгпи частиц Х/Е. Три измерения Рассмотрим случай Х электронов, находящихся в кубическом ящике со стороной А.

Нас снова будет интересовать макроскопический предел, в котором число частиц Х и объем Аз одновременно являются большими, но при этом Х/Ез является средней плотностью частиц. Снова вычислим энергию основного состояния. Ситуация повторяет одномерный случай, только теперь мы сошлемся на одночастичный тронами), которые свободно движутся в одномерном ящике со стенками при х =- 0 и т =- Л. Мы предположим, что Х и Ь являются макроскопическими (т. е. очень большими).

Отношение Х/А является средней плотностью (число электронов на единицу одномерного «объемав). Вычислим энергию основного состояния такой системы. В соответствии с обсуждением соотношения (б.1), поскольку мы предполагаем, что электроны не взаимодействуют между собой и не взаимодействуют с ионами, достаточно решить задачу на собственные значения энергии для отдельного свободного электрона в ящике. Мы уже делали это, и результа~ы приведены в (5.3), исключая то, что энергии мы будем обозначать греческой буквой в, оставляя латинскую Е для многочастичной системы.

Основное состояние последней мы получим, помещая два электрона (спин вверх, спин вниз) в одночастичное пространственное состояние и = 1, далее 2 электрона в и = 2, и т, д., до тех пор, пока не разместим все Х электронов. Согласно принципу Паули, в одночастичном пространственном состоянии не может находиться больше двух электронов. Для простоты, пусть Х является четным, так что максимальное значение и в любом занятом состоянии не может быть больше и,„.=- Лг/2.

(Даже если Х нечетно, единицу можно отбросить, если Х очень велико.) Энергия основного состояния полной системы равна 135 Ферми-газ спектр (5.4). Каждый такой пространственный уровень задается тремя индексами пы пз, пз. Состоянию с минимальной энергией соответствует (пы па., пз) = (1, 1, 1). Поместим в такое состояние два электрона, со спинам вверх и со спинам вниз. Дальше располагаются вырожденные одночастичные состояния (1, 1, 2), (1, 2, 1) и (2, 1, 1).

Поместим в каждое из них по два электрона и будем двигаться далее вверх по энергиям, пока все гУ электронов не будут использованы. Тогда энергия йг-частичного основного состояния будет в точности являться суммой одночастичных энергий. При больших йг, пренебрегая поправками 1/Дг, сумму можно заменить на интеграл. Тогда энергия основного состояния, приходящаяся на одну частицу, будет равна Еа 3 6з г в7хз!з — = — ер, где в = — (Зя~ — ), 'г' = Ез. (6.3) йг 5 ' 2т(, 1г) Так называемая энергия Ферми ег является энергией наивысшего занятого состояния, когда многочастичная система находится в основном состоянии.

Она зависит только от отношения полного числа электронов Дг к полному объему и', т.е, плотности йг/Г, взятой в степени 2/3. Средняя энергия электрона,Ео(М, равна трем пятым от энергии Ферми. Действие принципа Паули, как нетрудно видеть, очень существенно. Если бы не было этого ограничения, основное состояние йг-частичной системы получится в случае, когда все электроны будут находиться в низшем одночастичном состоянии, В этом случае Ео/Я будет пропорционально отношению 1/Е-, которое, по существу, равно нулю для макроскопических Е. Принцип Паули заставляет электроны разместиться в интервале от наинизшего состояния до уровня Ферми. Для электрических плотностей, которые дают вклад в зону проводимости реальных металлов, энергии Ферми обычно составляют от одного до десяти и более электрон-вольт.

Во многих случаях эти энергии можно воспринимать как большие в том смысле, что они сравнимы с тепловой энергией квТ. Здесь йв является константой и Т, как все~да, является температурой по абсолютной шкале (абсолютный нуль соответствует — 273' стоградусной шкалы). Удобно определить температуру Ферми с помощью соотношения квТв = ев.

Характерные температуры Ферми меняются от нескольких десятков тысяч до нескольких сотен тысяч или около того, градусов Кельвина! Таким образом, для металлов при любой реальной температуре Т «Тг. Конечно, даже в рамках модели свободных электронов, для того, чтобы понять роль зоны проводимости в металлах, необходимо учитывать не только основное состояние, но и возбужденные. Любое многочастичное состояние характеризуется тем, какие одночастичные состояния заняты.

Для многочастичного основного состояния заняты все 166 Глава 6 ферми-газ: РЪ' = — дгед . 2 5 (6.4) Для сравнения приведем ту же величину для классического идеального газа, который рассматривают в школе: (6.4') При Т = 0 в идеальном газе давление отсутствует. А в квантовом газе существует. Для температур, больших по сравнению с температурой Ферми, уравнение состояния ферми-газа сводится к классическому идеальному газу. Но в области Т « Тр поведение квантовой системы существенно отличается от классической. В этой области можно сказать, что ферми-газ является вырожденным, и говорят о вырожденном давлении.

Электроны зоны проводимости в металлах находятся как раз в вырожденном режиме, так что вырожденное давление вносит важный вклад одночастичные состояния до уровня Ферми, но не выше его. Для возбужденных многочастичных состояний занятыми оказываются некоторые состояния выше уровня Ферми. Соответственно, оказывается незанятой некоторая часть одночастичных состояний ниже уровня Ферми (незаполненные состояния ниже уровня Ферми часто называют «дыркамиь). При любой конечной температуре ферми-газ электронов соответствует смеси энергетических собственных состояний. При нормальной температуре в этой смеси доминирует основное состояние, поскольку среди возбужденных состояний, в которые дает вклад лишь малая часть электронов, представлены лишь низкоэнергетические уровни. Только эти электроны, находягциеся над уровнем Ферми, дают электронный вклад в свойства металлов, например, в теплопроводность и электропроводность, Это происходит потому, что электроны ниже уровня Ферми не могут быть легко адсорбированы или дают малый вклад в энергии, соответствующие явлениям при обыкновенных температурах: соседние состояния вьппе и ниже уровня Ферми по большей части уже заняты, а принцип Паули не позволяет заполнять их дополнительно.

Удивительным свойством ферми-газа является то, что даже при очень низких температурах — в частности, даже при абсолютном нуле температур — в нем существует ненулевое давление. Рассмотрим этот температурный предел. Возьмем систему в основном состоянии при Т =- = О; как видно из (6.3), энергия этого уровня является функцией только объема (г.

Чем меньше объем, тем больше энергия. Сжимая газ, можно увеличить энергию за счет работы силы, например, если одна из стенок действует как поверхность поршня. Это и приводит к давлению, которое газ оказывает на стены. Поэтому давление Р можно получить, взяв производную со знаком минус от энергии по объему. Если это сделать, то получим, что произведение давления и объема равно Ферми-газ 137 в коэффициент объемного сжатия металла (коэффициент объемного сжатия связывает изменение давления с соответствующим изменением объема).

Вырожденное давление играет важную роль в космических явлениях. Нормальные звезды, подобные нашему собственному Солнцу, состоят, в основном, из электронов и ионов водорода и гелия. Водород сгорает, превращается в гелий, позитроны и нейтрино в результате, конечно, не химических, а ядерных реакций. Электроны и другие частицы находятся в режиме идеального газа, при котором температура и плотность согласованы друг с другом так, что давление газа стабилизирует звезды относительно гравитационного коллапса. Угроза гравитационного коллапса, конечно, остается, поскольку гравитационные силы являются притягивающими; они стараются собрать все частицы материи вместе, Давление газа мешает этому. По мере того как водород выгорает, звезда начинает сжиматься. Это приводит к увеличению плотности и, следовательно, к увеличению температуры; в конечном счете электронный газ переходит в вырожденный режим.

Характеристики

Список файлов книги