П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(13.31) Легко показать, что ~~l~(Да) ~» (И1)(И2)... (И» 1) ' ' = П~ ~ (И1)(И2)... (Щ)» а — 1 (13.32) где суммирование ведется по всем упорядоченным разбиениям. Из формулы (13.32) следует соотношение — у;(д,)~п1„п2,...,и» вЂ” 1) = =1 = ~/щ ~п1, п2,..., и;,...) = а~ ~п1, и2,..., и; — 1,...). (13.33) Используя формулы (13.19) и (13.31), получим НФ = »» ~ (й~Цг) ~) 1ц(д ) — ~и1,и2,...) + й» а=1 -» — 2 (кт/Р/й» 1 1 д~(а)у (д ) а~адп~,п2,...).
1т»й р=1 а=1 Н(Л вЂ” 1» (13.34) При помощи соотношения (13.33) совершим переход от смешанного представления к представлению„в котором переменными являются только числа заполнения. В результате этого перехода получим Й~п1,п2,...) = ~ (ЦЦ~)а+,а;~п1,пз,...)+ + — ~» (1тЩгй)а+а+а;аь~п1, ия,...). 2 Ь»ий Таким образом, гамильтониан Н в представлении вторичного квантования имеет вид Й = ~» (Щй~а)а+а + —,~ (уЬ~ЦаЯа+а~ааа .
сф уЬсф гз4 Глава 13 8. Рассмотрим кристаллическую решетку, узлы которой определяются вектором Здесь Ь вЂ” оператор энергии валентного электрона в потенциальном поле всех атомов, а Ъ' — энергия электростатического взаимодействия валентных электронов. Преобразуем гамильтониан (13.38) к такому виду, чтобы объектом действия Й являлись функции от спиновых переменных всех валентных электронов. Каждый из индексов а, (3, у, Ь есть совокупность чисел [п1, пз, пз, о], указывающая номер узла и спиновое состояние электрона в этом узле. Рассмотрим первый член суммы. При а = [и, +1/2] и ]3 = [и,— — 1/2] матричный элемент между этими состояниями равен нулю.
Поскольку каждый атом содержит только один валентный электрон, то случай а = [и, о], [3 = [и', о'] не реализуется. Поэтому в первом члене можно положить с~ с„= Х. Матричный элемент (уЬ]ЦаЯ отличен от нуля тогда, когда пары состояний (у, а) и (Ь, ]3) обладают одинаковыми значениями проекции спина. Так как каждый атом имеет один валентный электрон, то во второй сумме либо у = а = [п, о], Ь = ]3 = [и', о ], либо у = [п,о]. а = [и, о], р = [п, о ], Ь = [и, о~], ц„= п1а1 + пза2+ пзаз. Здесь а; — базисные векторы решетки, а п = [п1, пз, пз] — тройка целых чисел.
Пусть в узлах решетки расположены атомы, каждый из которых имеет один валентный электрон. Пусть координатные ВФ валентного электрона для изолированного атома суть у(г — ц ). Эти функции можно приближенно считать ортогональными: (у(г — с1„)~~у(г — о )) = Ь„ Пренебрежем возможностью электрона переходить от одного узла к другому.
Рассмотрим, как зависит энергия системы от спинового состояния всех валентных электронов. Выберем функции ~у(г — с1„) в качестве базиса. Гамильтониан системы валентных электронов в представлении вторичного квантования имеет вид Н=~~» (ЯЦа)ссс,„+ — ~~» (уЬ]Ца]3)с с~с~с. (13.38) ~3а ' ФаР 236 Гпава 13 получим — ~) Х(ч„— с1 )(А;Ԅ— А;Ф;) = (Е1 — Ео) ,') А;Ф;.
Так как функции Ф, и Ф при г ф з' ортогональны, то, составляя скалярное произведение, йолучим ~~), Т(с1; — сЦ)(Аз — А) = (Š— Ед)А . (13.42) Для того чтобы функция Ф удовлетворяла теореме Блоха, должно быть (ср. п, 6.14) А; = Ае'~". (13.43) Подставляя (13.43) в (13.42), получаем Е1 = Ед + ~» ~,7(о„)(1 — е'~~"), с1„= ц; — е1;. (13.44) пало Если,Х > О, то энергия состояния с максимальным спином соответствует основному состоянию, а состояния с ВФ Ф = А ~~ е'"чФ; и энергией (13.44) описывают возбужденные состояния системы, которые называются спиновыми волнами. 1. Считая, что взаимодействие между нуклонами в триплетном состоянии описывается потенциалом задачи 5.18, объяснить отсутствие связанных состояний в системе двух нейтронов.
2. Найти зависимость дифференциального сечения рассеяния поляризованных тождественных частиц со спином 1/2 от угла р между направлениями поляризации. 3. Потенциал взаимодействия тождественных фермионов со спином 1/2 представляет сферический барьер (В» 1). Найти о(6) для медленных частиц в синглетном и триплетном состояниях. 4. Показать, что величина обменного расщепления уровней системы из двух слабо взаимодействующих тождественных фермионов со спином 1/2 может быть представлена как СЗ обменного оператора Дирака 1 .ТРтз ††.7 -(1+ Ь~ог).
2 5. Найти СФ и СЗ оператора обменного взаимодействия системы из трех злектронов У = (312Р12 + 12ЗРзз + ХЗ1РЗ1) ° б. Показать, что оператор полного числа частиц Я ='Яь+ь; 1 Тождественные частицы коммутирует с гамильтонианом в представлении вторичного квантования. Здесь Ь;, д+ — операторы Бозе или Ферми. 7. Для системы нз Ф тождественных частил со олином 1/2 определить максимальное число различных уровней энергии с заданным значением полного спина Я. 8. Показать, что оператор квадрата полного спинового момента системы 1т электронов может быть представлен в виде в Я =Ф вЂ” — +,,'~ Ры. 4 ь<ю 9.
Показать, что оператор Р = —,~ Лысы ь<~ коммугирует с оператором квадрата полного спинового момента Глава 14 АТОМ Ф (гг, гг) = — ( — ) гхР [ — (г1-~- гг)] . (14.2) Энергия системы в нулевом приближении есть У2е2 Ло = — 2. (14.3) г, Взаимодействие между электронами учтем как возмущение. Оператор возмущения имеет вид е 11(Г1г Г2) = + ]гд — гд] В первом порядке теории возмущений поправка определяется средним значением энергии возмущения .Е~ц = Цоо = Фо(г1, г2) — Фо(г1, г2)дг1 Игя. (14.4) тджх О. Энергетический спектр и волновые функции атома водорода подробно рассмотрены в гл. 5. В этой главе мы рассмотрим методы отыскания энергетического спектра и ВФ атомов, содержащих более одного электрона.
При этом учет тождественности атомных электронов и требование правильной симметрии ВФ будут играть существенную роль. Точные решения уравнения Шредингера для системы из трех и большего числа частиц не известны, Поэтому для нахождения спектров сложных атомов мы используем приближенные методы. 1.
Простейшими после атома водорода и водородоподобных ионов системами являются двухэлектронный атом гелия (Я = 2) и гелиеподобные ионы (Я > 2). Рассмотрим вычисление энергии основного состояния атома гелия, по теории возмущений. В нулевом приближении атом можно рассматривать как систему двух невзаимодействующих электронов в поле ядра: р е р е Бо = — ' — ~ — + — ' — ~ —. (14.1) 2т тд 2т тд ВФ нулевого приближения есть просто произведение одноэлектронных ВФ: Для вычисления интеграла воспользуемся известным выражением — — — У~ (61, сР1) У~' (62, с~), (14.5) т1р т> 21+ 1 т> 1, та где индексы <„> относятся к меньшей и большей из величин т1 и т2 соответственно. Поскольку ВФ нулевого приближения сферически симметрична, отличный от нуля вклад в интеграл (14.4) дадут только члены с 1 = т = О.
Итак, Е( 1 = — — ехр -2 — "' х т1 ОО х ~ — ~ ехр ~ — 2 — )т2йт2+ ~ ехр ~ — 2 — ~т2дт2!тгйт1. (14.6) ~т1,1 ао ао о о Интегралы вычисляются элементарно: Е(Ц = 5Яе~/8ао. Окончательное выражение для энергии основного состояния: 2е 5 е (14.7) ао 8 ао Этот результат можно улучшить, заменив в (14.2) величину Я вариационным параметром ~.
Напомним, что вычисления в первом порядке теории возмущений эквивалентны вычислениям с помощью вариационного метода при не наилучшем выборе пробной функции (см. и. 6.12). Итак, ЕЦ) = — (~~ — 2Е~ ~- -~) . Минимальное значение Е(~), соответствующее значению ~=2 — —, 5 16 (14.8) есть ао 1 8 256/ (14.9) Меньшую, чем Я, величину «эффективного заряда» ~ можно обьяснить взаимной экранировкой электронов. Экспериментально наблюдаемой величиной является энергия ионизации Х, необходимая для отрыва одного электрона. Она равна разности Ео+ — .Ео, где Ее+в энергия оставшегося иона— 240 Гпаеа 14 (14.11) Для атома Не формула (14.9) дает значение 1 = 0,85 а.е.
Экспериментальное значение Х = 0,9035 а.е. Как видно из сравнения формул (14.1) и (14.3), малым параметром теории возмущений е в нашем слу- ° чае является величина Я 1. Поскольку для гелия в = 0,5, то согласие нашего расчета с экспериментом может расцениваться как удовлетворительное. Для гелиеподобных ионов с большим Я согласие с экспериментом улучшается. С другой стороны, при Я = 1 формула (14.9) дает отрицательное значение потенциала ионизации.
Однако в действительности энергия ионизации иона Н, положительна: 1— = 0,7 эВ. Причины неприменимости теории возмущений очевидны. 2. Выбранная нами ВФ основного состояния (14.2) симметрична по отношению к перестановке пространственных переменных Г1, Г2. В соответствии с общим требованием антисимметричности полной ВФ эта координатная ВФ соответствует состоянию системы с полным спином Я = 0 (парасостояние).
Система в ортосостоянии— состоянии с Я = 1 — должна описываться антисимметричной координатной ВФ. Такая ВФ не может быть построена из двух одинаковых орбиталей. Поэтому в качестве исходных функций используем р, (т) = — ( — ) ехр ( — ), р~ (г) = ( — ) (2 — — ) ехр ( — ). Функции (14.10) — это ВФ основного и первого возбужденного (2в) состояний частицы в кулоновском поле. Из функций у1, у2 могут быть построены как антисимметричная орбиталь ортосостояния Фа = ~Ч1 (Г1) Ч2 (Г2) Ч1 (Г2) Ч2 (Г1)1 > 1 ~/л так и симмметричная орбиталь парасостояния ~в = ~Я/1 (Г1) 92 (Г2) + 3~1 (Г2) Ч2 (Г1)~ .
1 ,Л Вычисление поправки по теории возмущений дает я(1) =А+я, .Е(1) =А-Х Существенно, что обменный интеграл Е2 7 = Ч/1 (Г1) Ч2 (Г2) — Ч1 (Г2) Ч/2 (Г1) ИГ1 ДГ2 2 12 положителен. Таким образом, ортосостояние лежит ниже парасостояния. Расщепление уровней незначительно. Экспериментальные значения энергии возбужденных состояний суть.Е, = -2,146; Е = — 2,175 (в атомных единицах). 241 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
