П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда начальное состояние гр и конечное состояние д+ —— Ягр можно разложить по СФ гамильтониана НО. Пусть гр = «р„, где а — набор значений интегралов движения гамильтониана ЙО. ВЕрОятНОСтЬ ПЕрЕХОда В СОСтОяНИЕ щь ЕСТЬ = !(рь!Я! р.) !'. Из рассмотрения, проведенного в и. 11.8, следует, что переходы возможны только при равенстве энергий начального и конечного состояний. Элементы Я-матрицы суть функции интегралов движения.
Для случая рассеяния в центральном поле Я-матрица содержит толью диагональные элементы Яп ВВ = Я~(Й), свойства которых рассматривались в гл. 9. 3лдАчи 1. Определить зависимость от времени дисперсии координаты волновых пакетов, которые при $ = О описывались действительными волновыми функциями. 2. Рассмотреть изменение со временем произведения дисперсий Ьх Ьр для пакета, рассмотренного в п. 11.2. 3. Пусть при 8 = О свободная частица описывалась ВФ Р ''1 у(ж, О) = ~р(ж) ехр ~г — ~, Ь 14 П.В. Елютин, В.Д. Кривченков г10 Глава 11 где ~р(х) — действительная четная функция из Ь . Исследовать изменение дисперсии координаты со временем. 4. Рассмотреть расплывание волнового пакета 2 аз ~р(х,О) =— л/а хз+ аз Меняется ли его форма со временем? 5.
На гармонический осциллятор мгновенно накладывается внешнее однородное поле г'. Найти вероятность перехода в и-е состояние, если при 1 < 0 осциллятор находился в основном состоянии. б. Вычислить в приближении внезапных возмущений вероятность перехода имезона в мезоатоме с Е Ъ 1 при распаде ядра из состояния 1з в состояние 2а. 7. Вычислить вероятность того, что частица, находившаяся в б-яме, двигавшейся с постоянной скоростью с, останется в связанном состоянии при. внезапной остановке б-ямы; зависящий от времени потенциал и( ', 1) = — об(х — с1) (1 < О), У(х, 1) = — дб(х) (1 > О). 8.
При каких временах Т применимо золотое правило Ферми для переходов в непрерывный спектр (11.36)? 9. Вычислить по теории возмущений коэффициент отражения В(Е) в поле аз У(х) = — Уо ха+аз Сравнить с результатом расчета методом ВКБ. 10. На осциллятор, находившийся при 1 — ~ — оо в основном состоянии, действует однородное поле, меняющееся со временем по закону Р(1) = РссЬ' ~(а1). Найти вероятность переходов тле, не ограничиваясь первым приближением теории возмущений. Глава 12 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ У = — вн тс действует на спиновые ВФ.
Таким образом, наложение магнитного поля дает, в общем случае, способ воздействовать на спиновые состояния частиц. 1. Рассмотрим движение заряженной частицы без спина в электромагнитном поле. Классическая функция Лагранжа в поле, заданном скалярным потенциалом ~р и векторным потенциалом А, имеет вид У = — + -Ач — еср. тч е 2 с В дальнейшем будем полагать д = О. Обобщенный импульс определяется соотношением д.Р е р = — = тч+ -А. ч с В дальнейшем изложении отличие обобщенного импульса р от кинематического тч будет играть существенную роль. Классическая функция Гамильтона определяется соотношением Н=рч — Р= — р — -А Заменяя, в соответствии с основными положениями, обобщенный импульс на оператор с коммутационными соотношениями Аб, получим выражение для гамильтониана Н= — р — -А (12.1) О.
В предыдущих главах мы рассматривали различные случаи движения частицы во внешних полях, определявшихся потенциалом У(г), в том числе и в электростатических полях. При этом оператор Гамильтона содержал только операторы, действующие на пространственные переменные и не затрагивающие спиновую часть ВФ. Учет релятивистских поправок к УШ, следующих из уравнения Дирака для электрона (см п. 10.6), уже в первом порядке по е/с приводит к необходимости рассматривать взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем. Оператор этого взаимодействия 212 Глава 12 Пусть векторный потенциал А не зависит от времени (электрическое поле отсутствует).
Гамильтониан (12.1) имеет вид квадрата эрмитового оператора. Поэтому, в силу результата задачи 1.15, все его собственные значения неотрицательны. В реальных случаях на больших расстояниях от источников магнитное поле Н стремится к нулю. Поэтому потенциал А мы также можем выбрать обращающимся в нуль на бесконечности. Поскольку в этом случае -г Н -+ — (г — ~ оо), 2т УШ в цилиндрических координатах имеет вид Гдг~ д ч 1~~ 1 дгД ° ев ~у ег~~ з — — + — +- — + — — г — — + р ч=Ец.
2т ~, юг дрг р др рг дсрг / 2тс д~р 8п~сг Разделяя переменные, ищем решение в форме ~р(р, (р, я) = — В(р) е' е'~". (12.2) то волновая функция для состояний с положительными значениями энергии не будет убывать. Итак, в реальном магнитном поле оператор Н не имеет дискретного спектра и движение частицы инфинитно. Следовательно, если область, в которой имеется магнитное поле, не ограничена стенками, то вместо стационарных состояний мы должны говорить о квазистационарных состояниях. В практических ситуациях, однако, времена жизни таких состояний оказываются весьма большими (см. задачу 12.7). 2.
Рассмотрим идеализированный случай движения частицы в однородном поле. В классической механике движение частицы в области, где поле однородно, не чувствительно к свойствам поля вне этой области. Очевидно, в квантовой механике это не так: в любом реальном поле плотность вероятности ЦЯ не обращается в нуль тождественно ни в какой области пространства. Поэтому даже в идеализированной постановке задачи мы должны косвенно учесть правильные граничные условия, выбрав систему координат в соответствии с симметрией реального магнитного поля. Пусть магнитное поле имеет аксиальную симметрию и линейные размеры области, в которой поле однородно, велики по сравнению с характерной длиной л = (сй/еМ') 1~я. В этом случае воспользуемся цилиндрической системой координат. Векторный потенциал выберем в виде А„= — р, А,=А,=О.
2 Магнитное ноле 213 Обозначим через т и р величины (12.3) Уравнение для радиальной части ВФ имеет, с учетом этих обозначений, вид В" + -В'+ (р — 'узр — 2ут — т р ~) В = О. Р Введем новую независимую переменную с = тр~. Тогда уравнение (12.4) перепишется в виде сВ" + В'+ Х вЂ” — — — В = О, 4 4~/ (12.5) где тс х= ~'- —. (12.6) 4т 2 Легко найти асимптотики функции В(Я): ~ -+ оо: В е ~1з э О В ~И/2 Выделяя асимптотики, ищем решение уравнения (12.5) в виде В© = е '/'И,~~1' Д). (12.7) Функция ы(Я) находится из уравнения 1ю" +(1+)т! — С)ш'+(х — ' ~+1)ю=о, решение которого представляет вырожденную гипергеометрическую функцию Р(а, т; л): ш=Р[ — (Х вЂ” ~~~+ ), (ш)-~-1, С].
(11.3) Для того чтобы ВФ В(с) обращалась в нуль при с, -+ оо, первый из аргументов гипергеометрической функции должен быть целым неположительным числом: ! 1+1 (12.9) 2 Учитывая уравнения (12.3), (12.6), (12.9), получим окончательное выражение для энергетического спектра: шс ~ 2 2 2/ 2т Таким образом, при заданном Й спектр заряженной частицы в однородном магнитном поле оказывается эквидистантным с расстояниями между уровнями 214 Глава 12 Дискретные уровни, соответствующиедвижению вплоскости, перпендикулярной полю, называютсяуравиями Ландау. Найденная выше ВФ, определяемая формулами (12.2), (12.7) и (12.8), пригодна для описания стационарных состояний частицы, движение которой ограничено цилиндрической поверхностью радиуса В, большого по сравнению с характерно длиной Л.
Если движение вдоль оси ю свободное, то й может принимать любые значения и спектр непрерывен в области Я) 2 Спектр становится дискретным, если движение по оси л финитно. В частности, при наличии стенок, перпендикулярных оси л, возможные значения Й определяются условием Ус,= — и (и=1,2,3, ...). Ь 3. Рассмотрим магнитное поле, однородное и направленное вдоль оси л, в прямоугольном потенциальном ящике с размерами Ь, Х д, Ь,. Найдем ВФ заряженной частицы и ее.энергетический спектр в такой системе. Выберем векторный потенциал в виде А =О, А =Жх, А,=О.
(12.1 1) Гамильтониан имеет вид 1 (-2+ 2+-2) + ш 2 2 где использовано введенное ранее обозначение еЗР тс Разделяя переменные, ищем ВФ в виде ч = х (х) ехр ~-' (щ~ ~-п,л)] . ~В Для компоненты Х (х) получаем уравнение ср 2 г Х + в~ х+ Х 1" Х. Это уравнение совпадает с УШ для гармонического осциллятора.
Используя результат, полученный в п. 3, находим выражение для спектра Š— йв и+ + и для волновой функции у = ехр ~- (р у+р х) — (х+ хо) ~ Нп ~~/ — (х+ хо) Гг ~е~ Ж ~В ~ 2сй "~~/ н (12.12) Магнитное поле 215 где (12.15) хо=— РР е,М' Учет граничных условий на стенках ящика приводит к тому, что ри и р, могут принимать только дискретное множество значений р;=Б — и; (щ=1,2,3,...). Влиянием стенок на компоненту волновой функции Цх) можно пре- небречь, если одновременно выполняются условия ~х Ф~ Л~ ~х )) хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
