П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ток,У по ним течет в одном направлении, радиусы колец и расстояние между их центрами — а. Движение вдоль оси колец ограничено стенками на расстоянии ~д от плоскости симметрии (д << а), Используя метод, изложенный в п. 11.3, оценить время жизни квазистационарного состояния электрона, соответствующего низшему уровню Ландау. Положить .У = 1 А, расстояние а= 102 см.
224 Глава 13 у — 1/2 ( ) (~~1)(~а2) . (%) (13.1) В этом выражении числа и фиксированы, а суммирование проводится по всем упорядоченным разбиениям. Функции (13.1) являются симметричными функциями. Для двух частиц Ф(В,а) = — М (а)Ч (а)+Ч И)Ч Из)1, если т ф и. Если т = и, то ~(Я1э ч2) Чд(91)Чд(Я2) (13.2) Нормированная антисимметричная ВФ стационарного состояния системы тождественных фермионов может быть записана в виде детерминанта, составленного из одночастичных ВФ: Ф = — ВеЦу (ф,)~. (13.3) Индекс г — номер строки (1 < г < Ж) — фиксирует состояния, в которых находятся частицы, причем индексы о расположены в порядке возрастания (а1 < аз « а~д).
Индекс й (1 < й < Ж) указывает номер столбца. Функции, находящиеся в й-м столбце, зависят от координат и спиновой переменной й-частицы. Перестановка двух наборов координат (замена а, ++ щ) есть перестановка двух столбцов детерминанта. Она приводит к изменению знака Ф. Требование антисимметричности приводит к условию ~И1 .. Ф Ф . ач)=0 что соответствует равенству двух столбцов матрицы. Вместе с этим ВФ обращается в нуль и при равенстве двух строк матрицы (аь = а ). Рассмотрим коллектив из Ф тождественных бозонов'. Обозначим через (щ) произведение функций у;, зависящих от координат и спиновых переменных каких-то определенных и,.
частиц. Порядок расположения сомножителей безразличен. Произведем упорядоченное разбиение множества из Ф частиц по бесконечному числу состояний, первое из которых содержит п1 частиц, второе пз частиц и т. д. Число упорядоченных разбиений равно (..., . )= — „-".', Здесь " , 'л; = Ф. Мы считаем„что (л;) = 1, если щ = О.
Базисные ортонормированные функции для коллектива из Ф бозонов имеют вид Тождественные частицы 225 Таким образом, для того чтобы ВФ системы невзаимодействующих фермионов была отлична от нуля (т. е. чтобы состояние было физически реализуемо), необходимо, чтобы в каждом состоянии у,„ находилось не более одной частицы. Это требование также называется принципам Паули (в узком смысле). Оно справедливо и для состояний системы слабовзаимодействующих фермионов, которые можно приближенно описывать с помощью детерминанта одночастичных ВФ. Для системы двух фермионов = — [Ч, (И)Ч„(Чг) — Ч, (ч2)Ч„(ч1)]. (13.4) 2. Гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении не зависит от спинов.
Поэтому УШ удовлетворяет каждая из спиновых юмпонент ВФ. Полная ВФ может быть записана в виде Ф = Ч>(г1> г2> ° . ° )Х(о1> о2>... ) ° Однако требования симметрии полной ВФ приводят к неюторым ограничениям на координатную ВФ ~р(г1, г2,... ), поэтому из всех возможных решений УШ физически может реализоваться лишь некоторая часть. Рассмотрим следствие симметрии для системы двух тождественных частиц.
ВФ может быть записана в виде Ф = 9(г1 + г2)Ф(г1 — г2)х(о1>о2). Функция 9(г1 + г2)„очевидно, всегда симметрична по отношению к перестановке г1 ++ г2. Для Ф(г1 — г2) перестановка юординат эквивалентна инверсии системы координат. Для частиц со спином 0 спиновый множитель равен единице.
Требование симметричности ВФ при перестановке эквивалентно требованию четности Ф(г1 — г2) при инверсии. Если взаимодействие частиц описывается центральным потенциалом У([г1 — г2[), то переменные в УШ для функции Ф разделяются в сферической системе координат. Так как четность состояния совпадает с четностью орбитального момента, то система двух одинаковых частиц со спином нуль может находиться только в состояниях с четным орбитальным моментом 1. Рассмотрим систему двух частиц со спином 1/2.
Спиновые ВФ таюй системы были рассмотрены в п. 4.11. Общая СФ операторов ,э'2 и З„соответствующая синглетному состоянию (Я = 0) „есть ~0,0) = — Ц+ — ) — [ — +)). ~Г2 Очевидно, спиновая ВФ нечетна при перестановке частиц. Поэтому в состоянии с Я = 0 Ф(г1 — г2) должна быть четной функцией: возможны только четные значения орбитального момента 1. Спиновые 15 П.В. Блютин, В.Д. Крнвченков 226 Глава 13 ВФ триплетного состояния Р 1) =!++) ~1,0) = — Ц+ — )+ ~ — +)), ~Г2 Р— 1) =~+ — ) очевидно, четны по отношению к перестановке координат. Следова- тельно, в состоянии с Я = 1 орбитальная ВФ Ф(г1 — г2) должна быть нечетной функцией: возможны только нечетные значения орбиталь- ного момента 1.
В общем случае энергетический спектр задачи двух тел зависит от 1. Поэтому возможные значения энергии зависят от полного спина системы. Про такую зависимость говорят, что она вызвана обменным взаимодействием. Если оператор взаимодействия 1" (~г1 — гз~) двух тождественных частиц со спином 1/2 мал (например, по сравнению с энергией внешнего поля У(г;)), то взаимодействие можно учесть как возмущение. Невозмущенным орбиталям 1 — Мг1) р2(Г2) ~ р1(Г2)(р2(Г1)] соответствуют в первом порядке теории возмущений средние значе- ния энергии взаимодействия Е1,з — — А ~.Х, где А = У(г1 — гз) ~д1(г1) ~~~~рз(гз) [~ Иг1сйз, ,Х = <р1(г1)~р1(гз)У(г1 — г2)<р~(г1)<рз(г2) с~г1дгз.
(13.5) Величина Х, определяющая разность энергий, называется обменным интегралом. 3. При рассмотрении задачи рассеяния двух тождественных частиц орбитальная ВФ должна быть, в соответствии со сказанным в п. 13.2, симметрична или антисимметрична по отношению к перестановке координат частиц в зависимости от их суммарного спина. Это относится к взаимодействиям, при которых суммарный спин является интегралом движения. Вместо граничного условия (9.4) мы выберем асимптотическое выражение ВФ рассеяния тождественных частиц в виде ~р = е' ' ~ е ' '+ — ЩО) ~ Дл — 6)] .
Верхний знак (плюс) соответствует четной орбитальной ВФ (четный суммарный спин). Дифференциальное сечение рассеяния в этом Тождественные частицы 227 случае с;сь+сьс =О, с+с + с+с+ = О, а ь ь а с;сь~+ сь~с; = бц„ (13.9) 15' сЬ,(Е) = ~У(В) + У(я — В)~' а. (13.6) Аналогично, дифференциальное сечение рассеяния для нечетного суммарного спина ь.(е) = ~у(в) — у(~ — е)~'ж (13.7) Формулы (13.6), (13.7) относятся к случаю столкновения частиц с заданным суммарным спином, Обычно опыты по рассеянию проводятся с неполяризованными пучками частиц и мишенями и наблюдается среднее значение эффективного сечения.
Предполагая равновероятность осуществления каждого спинового состояния, для двух фермионов со спином 1/2 получим 1 3 о,ф = -а, + -о . 4 4 4. В предыдущем изложении мы ограничивались случаем системы двух тождественных частиц. Для рассмотрения систем с большим числом тождественных частиц удобно использовать метод вторичного квантования. Рассмотрим систему тождественных фермионов. Пусть у,(д) есть некоторая полная система ортонормированных функций. Выбор этой системы определяется соображениями удобства.
Эти функции совсем не обязаны быть собственными функциями одночастичного гамильтониана. Для описания системы тождественных фермионов достаточно указать, какие одночастичные состояния заняты: Ф вЂ” ~. ° ° 1а1 .. 1а2 ° 1ан . ). (13.8) Напомним, что все состояния перенумерованы и номера состояний в этой записи возрастают слева направо. Такая функция соответствует функции (13.3) — детерминанту, включающему строки с индексами о;, соответствующими единицам. в функции (13.8).
Функцию (13.8) мы будем называть ВФ системы в представлении чисел заполнения. Функцию Ф удобно представить в несколько ином виде. Пусть ~О) есть ВФ вакуумного состояния, для которой все числа заполнения в (13.8) равны нулю. Введем операторы с; сь, удовлетворяющие соотношениям Глава 1З 23О Используя смешанные представления, найдем вид оператора Й. Учитывая формулы Рц,(р (й) = ~(ЩЦс()(рр(й), Уь(р.й)(р()(1О) = ,'»,64! УИ>(р,6)ЧЪИ), (13.19) получим НФ = — ~р (ЯЦс() ~ ~( — 1) +~(р (й)с,А~О) + А '(уБ)3')а0) А '( — 1)*+~0(с)щ(Й)с срА)0). (13.20) РР(РР— 1) 3<Ь Перейдем теперь от смешанного представления к представлению вторичного квантования.
Преобразование одночастичной части га- мильтониана проводится с учетом формулы — ~~» ( — 1)"(рр(й)с А~О) = с' с А~О), (13.21) Н( ) = ~~» ~~» ($3]Ца)ср с,. (13.22) Рассмотрим теперь второй член в (13.20): ~(у3)УР)а0) А '( — 1)*+ау,(Ю)~р,(й)с.срА)0) = рр(РУ вЂ” 1) . Ь а(у3)Р)а0) Е(-Ц'+"9,(Р)0,(0)с.срА)о) + ' .ар 3<рр -Р (Бу)3')Ра) ~ ( — 1)'~ 0,(1)д,(й)срс,А)О)).
(13.23) Учитывая равенство (уЬЩс(р) = (Ьу~РИ3а), (13.24) непосредственно следующей из (13.13) и(13.15). В левой части (13.21) стоит разложение детерминанта по первому столбцу, содержащему функции (р (Й): Тождественные частицы 231 преобразуем правую часть формулы (13.23) следующим образом: ~аО е<ь х (~р (г)д,(й) — <р,(~)~р (й))срс А~О). (13.25) Здесь мы учли антикоммутативность операторов с „с~. Из формул (13.14) и (13.16) следует равенство Операторы аь, а+ с коммутационными соотношениями (13.29) называются бозе-операторами уничтожения и рождения соответственно. Свойства таких операторов при г = й рассматривались в задачах к гл.
1. Волновой функции (13.1) сопоставим функцию от чисел заполнения и будем рассматривать числа заполнения как независимые переменные Ф = ~п~,пя,...,П, ). (13.30) = с~~с,~ срс,А~О). (13.26) Выражение, стоящее в левой части формулы (13.26), представляет со- бой разложение детерминанта по первому и второму столбцам.
Итак, гамильтониан системы тождественных фермионов в представлении вторичного квантования имеет вид Н = ~(фЦа)сс, с + — ~ с~~с~~(уЬЩафсрс,. (13.27) ~а тБ Р б. Рассмотрим теперь представление вторичного квантования для системы тождественных бозонов. Определим операторы а+, аь, дей- ствие которых на функции чисел заполнения определяется правилами (13.28) аь ~А, пу„В) = ~/йь ~А, пя — 1, В), а„+)А,п~,В) = ~/п~+1 ~А,па -~-1,В). Из правил (13.28) следуют коммутационные соотношения аьа; — а;аь = О, (13.29) - -+ -+- а;аь — аьа; = б;ь. 232 Глава 13 В смешанном представлении Ф имеет вид Ф =Яуза)»~"— '~пьвз,...,п; — 1,...) = е=1 у;(д ) — а;)п1, п2,..., п;,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
