П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 29
Текст из файла (страница 29)
38 яние описывается ВФ у(г,О), локализованной внутри барьера'. Схема отыскания зависящей от времени ВФ остается той же, что и в предыдущем пункте. Раскладывая начальную ВФ по системе ВФ стационарных состояний Ф(й, г), нормированных на 5-функцию от й, мы найдем спектральную плотность 1"лава 11 где бо(й) — фаза рассеяния, может быть представлена в виде В(й,~) = -' — ' ~/%(й)/( — й, ) — ' /(й, )], (ИА) к 2й ,/3;(й) где Яо(й) — элемент матрицы рассеяния. Подставляя (11.6) в (11.4), спектральную плотность представим в виде А(й) = — а(1й) 1/Га(й) — а( — 1й) , (11.7) г ~//за(Й) а(зй) = Ч)(т,0) — 1(й, т) йт.
Подставляя (11.б) и (11.7) в выражение (11.5), получим д(г,1) = ~ — а(1й)1/За(й) — а( †) х ,г //Уо(й) о х 21 Ло(й)/( й,.) 1 /(й Г) а™МАй— 1( 2й ~/%(1с) = — — Г~а(гй)Яо(й) — а( — гй)11( — й,т)е ' сй+ ~/2к 1 + — ~ а(гй) — а( — гй) — ~ 1(й,т)е * ~сУс. ~/2я,1 „„,1 о Учитывая, что согласно (9.80) Яо (й) = Бо(й) и заменяя во втором интеграле й на — й, получим у(т, Ф) = — — " [а(гй)Яо(й) — а( — гй)]1( — й, т)е '~ с1й. (11.8) Л Формула (11.8) точная.
Найдем асимптотический вид й()(т, Ф) на больших расстояниях вне барьера. Тогда под интегралом в (11.8) можно заменить функцию Д вЂ” й, т) ее асимптотическим значением йу(т, Ф) = — — 1 1а(зй)Яо(й) — а( — гй)1е*( ' / вй. (11.9) Л Переходи 195 Введем новую переменную у= — й — —, л= —. Тогда формула (11.9) примет вид у(т,8) В е " ~а+(у)Я(у) — а (у)]ду, (11.10) где В = — — ехр з —, а (у) = а~~гй(у)]. переменного у Р+ 3- — — Йо у+ г- — + йо Я(у) = М(у) Р+ ~ +~о 9+ в- — — Йо Рассмотрим полюсы Я(у). Они определяются равенствами Рг .
у+ г- (- — у+аж = О, 2 ~л Р2: у+ ~(г- ~-+9+еж =О. 1/ 2 л Изменение их положения со временем показано на рис. 39. Пусть д > > ж. Тогда при л ( т(д — ж) ~ полюс Рг лежит ниже действительной 1З Интегрирование в (11.10) ведется вдоль контура С вЂ” диагонали третьего и первого квадрантов плоскости комплексного у. Функции а+ (у) и а (у) не имеют особенностей. Если Я(у) не имеет особенностей, то контур С может быть смещен к действительной оси, а интеграл (11.10) вычислен методом перевала. В поле с потенциалом вида, изображенного на рис. 38, отсутствие связанных состояний .очевидно. Возможно наличие особенностей Я(й), связанных с квазистационарными состояниями (см.
п. 9.15). Пусть существует одно квазистационарное состояние Йо = у+аж. Тогда элемент Я-матрицы имеет вид М(,) (~с- ЧН~+ ~о) (1~ 1~о)Ж+ 1со) где М(й) — функция без особенностей. В плоскости комплексного 196 Глава 11 (11.11) оси. Контур интегрирования может быть смещен на действительную ось. Вычисление интеграла (11.10) методом перевала дает у(т, й) = (((о(т, 1) = В~)(гг[а+(0)Я(0) — а (О)). При л > т(д — зе) 1 нужно учитывать вклад от полюса Р1 в первом квадранте.
Тогда ~р(т, Ф) = цо(т, 8) — 2шВа(вайо) ехр ( — у~о) Вез Я(Р1). Второй (полюсный) член в этой формуле можно переписать в виде цр(~; В) ~ ~~2ка(1йо)м(йо)ыехр (ир.-~- ке ) ехр ( — 1 ' ). Здесь использованы введенные в главе 9 обозначения резонансной энергии и ширины уровня: Ео = (д — ае ) —, Г = 2дае —. 2 2 Ь 2т т Таким образом, при наличии у системы квазистационарного состояния в расплывании волнового пакета можно выделить две стадии.
Первая — нерезонансное расплывание, которое описывается членом ~((о(т, 8). Оно связано с наличием в разложении начальной волновой функции компонент с больши?тп у С1 ми 1с и наиболее существенно при малых временах. Вторая — распад квазистациоР1 нарного состояния, который описывается членом щ1 (т, Ф). В общем случае этот член не мал по сравнению с цо(тД. Функцию цр(тД можно интерпретировать как ВФ состояния с комплексной энергией Е = Ео — гТ/2, убывающую со временем по экспоненциальному закону. Отметим, что ВФ квазиРис. 39 стационарного состояния возрастает при больших т.
Поэтому приготовленный волновой пакет не будет совпадать с ВФ квазистацонарного состояния и распад не будет в точности следовать экспоненциальному закону. 4. Рассмотрим в качестве примера потенциал сферической оболочки и(т) = дЬ(т — а). Рассмотрим в-случай. Особенности Я-матрицы будут определяться, согласно (9.76), уравнением 1+ г- Н Дйт)и(т)~ро(йт)т йт = О. о 197 Переходы Для вычисления корней этого уравнения нам даже не надо определять регулярное решение УШ при всех т.
Очевидно, что при т < а оно совпадает с Лц2фт). Используя равенства (~) ~~ ~ е '~1/2(~) ,,Г, лю перепишем уравнение (11.11) в виде 1+г — — г — е2' = О. (11.12) 2т 2т Здесь введены обозначения: т = йа, 8 = да. Полагая 2т = х+ гр и приравнивая нулю действительную и мнимую части (11.12), находим у+8 — 8е "совх =О, х+8е "а1пх = О. Этой системе удобно придать вид е" = -8 —,,совх = ~1+ -"~ е". Очевидно, что второе из этих уравнений определяет действительную кривую только при р < О. Полюсы 5(Й) вне мнимой оси лежат в нижней полуплоскости комплексного й в согласии с общим результатом. Графическое решение, определяющее положение полюсов, показано на рис.
40. ?тп Й Рис. 40 Отметим следующие свойства полученного решения. По мере уменьшения прозрачности барьера (с ростом 8) действительные части полюсных значений д„стремятся к тра ~, а резонансные уровни энергии — к значениям уровней энергии в сферической яме большой глубины.
Мнимые части ж„полюсных значений сильно зависят от и. В пределе при 8 -+ оо ж„-2 198 1лава11 лг Г„= 2ж„д„— ~ .0(Еп) — р„, (11.13) где Ю(Е„) — коэффициент прохождения через барьер ф(ж) для частицы с энергией Е„(см. п 3.9). Соотношение (11.13) сохраняется и в общем случае, если только область внутри барьера достаточно широка: Ь(р„) < а. В самом деле, решение с асимптотикой е'"' можно рассматривать как стационарную ВФ системы с источником частиц единичной мощности в начале координат. Пусть при 1 = О источник выключен. Запишем уравнение непрерывности н — !Ф,~)!'« =ЯВ,~), (11.14) где  — точка, лежащая вне барьера. Учитывая, что при наличии ква- зистационарного состояния изменение 1(т, Ф) происходит медленно, можно положить г = — ехр Плотность вероятности иЯг) = ~у(т) ~2 внутри барьера существенно больше, чем вне его.
Поэтому, используя определение коэффициента прохождения Ю(Е) „можно записать | и(т) Йт =— Р(Е) о Учитывая уравнение непрерывности, получаем а Г р Р(Е) В тп откуда следует оценка (11.13). Используем формулу (11.13) для оценки скорости радиоактивного а-распада ядер. Потенциал взаимодействия а-частицы и ядра складывается из сильного короткодействующего притяжения при т < то и кулоновского отталкивания (Я вЂ” заряд ядра до распада) 2(Я вЂ” 2)е а т т Выражение для ширины уровней квазистационарных состояний мож- но представить в виде при т > то. Для оценки коэффициента прохождения можно воспользоваться методом ВКБ: а/Ю .0(Е) = ехр —— 2 тО Вычисление интеграла приводит к результату 2а 2т йто .0(Е) — ехр — — ~ — агссоа ~ —— Для типичных значений энергии а-частицы Е 1 МэВ, а ° 4 ° 10 ~тэрг.см,то 7 10 ~асм Е~"о 2 10 — 2 и наибольшую роль играет первый член в квадратной скобке В(Е) = ехр — (Я вЂ” 2) (11.15) Здесь (11.19) Зк те ь Такой вид коэффициента прохождения объясняет сильную зависимость времени жизни а-активных ядер от энергии о-частиц (закон Гейгера — Неттод а).
5. Рассмотрим теперь переходы в системах, гамильтонианы юторых зависят от времени явно'. Практически важен случай, югда зависящая от времени часть гамильтониана мала. Это позволяет использовать теорию возмущений. Пусть гамильтониан Йо обладает только дискретным спектром, а зависящая от времени часть Ъ'(8) мала по сравнению с Но. Решение нестационарного УШ ~п —" = [Йо ~- Р(й)~ ч (11.1б) представим в виде разложения по собственным функциям Йо.' . о~„ И ~' = Ноц, = ярк> д1 (11.17) Ч = „'«.аьИ)аИ).
(11.18) й Подставляя (11.18) в (11.1б) и учитывая (11.17), получим И ,'« — дь — — ~~~ аьЪ'<рь. Иау, М ь й Глава 11 гоо а„„= — -' 14~„(Ф) сй. (11.20) Вероятность перехода равна Ъ~~.„е'"""~сМ (11.21) Необходимым условием применимости (11.21) является сходимость интеграла: при 8 -+ оо гамильтониан должен совпадать с невозмущенным Но. Если возмущение стремится к конечному пределу оп Ъ'(й) = У» ф О, то решение (11.20) следует преобразовать. Интегрируя по частям, получаем а~ ьо~ и лв~ Первый член в этой формуле в пределе ~ -+ оо определяет поправку первого порядка к ВФ состояния у (см.
формулу (б.14)). Вероятность перехода определяется квадратом второго члена: 1 ~впь — ~ р о~ай (11.22) Умножая разложение (11.19) на д„скалярно, получим И вЂ”" = ~~~ К„ь(Ф)аь. (Й ь Зависимость от времени матричного элемента 7„ь(8) включает в себя, кроме зависимости У(Ф), экспоненциальный множитель ио ~й -Фс~ — е~с)~ Пусть при Ф = 0 аь = Ьь„. Представляя а~,„(8) в виде разложения по степеням е, в первом порядке получаем ьР' и '" =ц~ (й), сМ 202 Глава 11 ) 1Ъ„„!2 1 соя И (11.25) 2Я2 В2 В частном случае точного резонанса (В = О) вероятность перехода (11.26) квадратично зависит от времени.
Условием применимости формул (11.25), (11.26) является малость соответствующих вероятностей перехода. Если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот, о»о1 = а, то наиболее вероятными будут переходы между состояниями ~0) и ~1). Пренебрегая переходами в другие состояния, можно ограничиться рассмотрением двухуровневой системы. Отметим, что из (11.25) следует, что при рассмотрении двухуровневой системы мы можем заменить оператор Р неэрмитовым оператором ~"(~) — У'о ° — е ' '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
