П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 28
Текст из файла (страница 28)
2.1 эрмитовой частью, получим з= ~ ~зГ С10.28) 4т2с2 Это выражение называется энергией контактного взаимодействия и не имеет наптядной интерпретации или классического аналога. 8. Рассмотрим влияние релятивистских поправок на положение энергетических уровней водородоподобных ионов. Поскольку в стационарных состояниях р Йао «тс, то релятивистские члены малы, и можно ограничиться их учетом в первом порядке теории возмущений. Введем атомные единицы. Тогда операторы У;, примут вид а -4 " а -1сКУ т1 Р~ т2 8 2 тйт 1 з = '— ~7'11.
8 Здесь введено обозначение а для безразмерной величины е 1 Ьс 137,04 которая называется постоянной тонкой структуры. Вычисление поправок от операторов Ъ'1 и 1'з облегчается тем, что они действуют только на радиальную часть ВФ. В кулоновском поле ядра У = -2(т 'Кз = — . 4я8 1г) Ез = — Ью. а2Я (1) а~Я~ 8 2222 Релятивистские поправки 187 Таким образом, контактная поправка отлична от нуля только для в-состояний. Поправка от члена )/«вычисляется с помощью представления оператора Р«в виде з -з 2 1"1 Е+ (10.30) Итак, Г 2пз 1,4д 1+1/2У * можно переписать выражение для оператора возмущения в виде з Таким образом, для поправки Е2 имеем выражение (1) ЕГ =Ж [И+ ) — (+ ) — И (гФО), Е2() =0 (1=0). Используя результат задачи 5.б: ~з г-3— дз«(1+ 1/2) (1+ 1) ' (1) получаем окончательное выражение для поправки Е2 Е(1) а~,З'~ ~1'(«+1) — 1(1+1) — 3/4~) ( 2 4дз ~ 1(1+1/2)(1+ц Выражение в квадратных скобках можно выразить через 1 для различных значений 7 = 1 ~ — (1 ф О): 1 2 1 «Ц + 1) — 1 Ц + 1) — 3/4 1 2 1(1+1/2) (1+ 1) (Х+ 1/2) (1+ 1) ' 1 з (у + 1) — 1(1 + 1) — 3/4 1 1(1+ 1/г) (1+ 1) (1+ «/2)1 При вычислении использованы результаты задач 5.4 и 55.
В нерелятивистском приближении энергия электрона в водородоподобном атоме не зависит от спина. Поэтому для вычисления спин- орбитальной поправки можно взять в качестве невозмущенных ВФ общие СФ операторов 72, 7', и 1', рассмотренные в п. 4.13. Учитывая тождество 2в1 = 7' — 12 — в~, 188 Глава 10 Складывая поправки Е~ и Ез при ~ = 1+ 1/2, имеем Аналогично, при 1 = 1 — 1/2 2у4 ( 1+2 газ ~4п ' + 1 1 г ц+ ц ц+ 1/з) „2у4 ( 2тР ~4д ~+ 1/2 Таким образом, суммарную поправку при 1 ф 0 можно представить в виде (10.31) Формулы (10.29) показывают, что это выражение справедливо и при 1 = О. Отметим, что выражение (10.31), определяющее тонкую структуру спектра атома водорода, впервые было получено Зоммерфельдом на основе старой квантовой теории.
Релятивистские поправки приводят к частичному снятию вырождения по 1. Кроме главного квантового числа и, энергия уровней зависит и от значения полного момента ~. Однако уровень с заданным п и у остается двукратно вырожденным. Число 1 может принимать значения у = 1 ~ 1/2. Этот результат не является следствием приближенного характера вычислений и сохраняется для точного решения. Такое вырождение указывает на существование дополнительного интеграла движения, не коммутирующего с оператором полного момента. При учете спина электрона состояние частицы в центральном поле задается тройкой чисел и, у, 1.
Значение ~ принято указывать в виде правого нижнего индекса при нерелятивистском обозначении. Отметим, что вычисление поправок высших порядков или рассмотрение точного решения в случае Яа « 1 не представляют особого интереса по следующей причине. В классической электродинамике система заряженных частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависящей от координат и скоростей частиц, лишь с точностью до членов порядка (и/с) ~. В следующем порядке ( (и/с)з) необходимо учитывать излучение. Вычисление поправок второго порядка по операторам У; приведет лишь к величинам порядка (и/с)4. В гл.
5 рассмотрение задачи двух тел привело нас при вычислении спектра атома водорода к задаче о движении частицы с приведенной массой в поле кулоновского центра. В этой главе мы использовали в качестве исходного пункта релятивистское уравнение Реляпшвистскив поправки для движения заряда в кулоновском поле ядра. Такое приближение для задачи двух тел оправдано лишь постольку, поскольку можно пренебречь движением ядра. Уравнение для задачи о движении двух заряженных частиц со спином 1/2 было получено Брейтом.
Как следует из изложенного, зто уравнение справедливо лишь с точностью до членов (и/с) ~. ЗАДАЧИ 1. Найти унитарный оператор, осуществляющий преобразование Лоренца. 2. Доказать, что из уравнения Днрака для частицы в электромагнитном поле следует уравнение р" — -А" р„— -А„+ — о""Е„„— т с у = О, где о'" = — ф'у" — т" у") = — о"", г а Р,„— тензор электромагнитного поля.
3. Найти собственные значения оператора скорости релятивистской часпщы со спином 1/2. Этот оператор определяется соотношением гч = — — ~т;,Й1 л 4. Вычислить производную от времени от оператора ер — -А. с Результат сравнить с классическим уравнением движения. 5. Доказать соотношения г+ — ~а Ф+ — ра тсз б. Доказать, что релятивистский аналог оператора Рунге — Ленца В = — Е + — (Е1+ 1) у у ~Й вЂ” тесу~) где 7 = зТ777) коммутирует с гамильтонианом уравнения Дирака для частицы в кулоновском поле.
Глава 11 ПЕРЕХОДЫ О. В предыдущих главах мы рассматривали только стационарные состояния систем. Они описывались СФ не зависящих от времени гамильтонианов. Средние значения наблюдаемых в таких состояниях не зависят от времени. Вне нашего рассмотрения остались два крута задач. Во-первых, система может описываться гамильтонианом Н, не зависящим от времени, но состояние системы в некоторый момент Ф = 0 может не быть СФ Н. Возникает вопрос об изменении со временем средних значений наблюдаемых, Во-вторых, гамильтониан Н может зависеть от времени явно. Если система взаимодействует с источником внешнего переменного поля, а влияние системы на источник пренебрежимо мало, то гамильтониан можно представить в виде Н = Но+ ~'(~).
(11.1) Такая система по определению не имеет стационарных состояний. Если при 8 -+ ~со внешнее поле К($) обращается в нуль, то для описания системы удобно использовать полную систему СФ Но. Тогда ВФ системы может быть представлена в виде ~р(Ф) = ~ а,„($)д„е'"", (11.2) где введено обозначение а„= Ь ~.Е„, которое мы будем постоянно использовать в дальнейшем.
Пусть начальное (Ф -+ — оо) состояние системы описывается одной из СФ Йо.' Ч =,11 ЧИ)=Ч.. В общем случае при Ф -+ +со ВФ системы ~р+ — — 1пп ц~(1) = ~» а„д Ф-++со не совпадает с ВФ начального состояния. Под действием внешнего поля система совершает переходы в другие стационарные состояния. Вероятность наблюдения системы при Ф -+ +со в состоянии ср — вероятность перехода из состояния ~п) в состояние ~т) — определяется Переходы величиной Жив = ~%ьш! 2 Индекс и относится к начальному, а т — к конечному состояниям. 1. Пусть при Ф ( 0 гамильтониан частицы Н +У (х) 2т обладает дискретным спектром и частица находится в стационарном состоянии у (х) с энергией .Е„.
Пусть при Ф = 0 поле мгновенно изменяется: -2 Н+ — — — + Г+(х). 2т Состояние ~у„(х) не есть, конечно, собственное состояние Н+. Вероятности переходов при внезапном возмущении определяются значениями коэффициентов а,„.„в разложении у„(х) по собственным функциям Н+. ~р,„(х) = ~ аьдь(х). ь Приближение внезапных переходов оправдано, если интервал ЬФ, за которые происходит изменение поля, мал по сравнению с величинами 1 Ь 3 Š— Еь где Жь относится к конечным состояниям.
В качестве примера рассмотрим вероятность перехода атома трития Нз в основное и возбужденные состояния иона Нез+ при ~3 -распаде ядра. Время изменения потенциала ядра по порядку величины равно времени пролета р-электрона через атом: а ~2т Ь1 = — = ао~ —, 'аа 1~/ ~а где ао — боровский радиус. Это время мало по сравнению с характерным атомным временем Т = Ьзт 1е 4. Вероятность перехода в 1е-состояние определяется скалярным произведением ВФ начального и конечного состояний: а1 1 2 1 ехр 1 2 2 ехр ~ г2 ~1~. ю1,1 = ~а1,1~ = ~ — ) = 0,70. (11.3) Здесь Я1 и Я2 — начальный и конечный заряды ядра.
Заметим, что переходы в состояние с 1 ф 0 невозможны из-за ортогональности Глава 11 192 ц~(х, 0) = ехр (- —,). Готовящее поле У (х) в этом случае представляет собой потенциал гармонического осциллятора: л' У (х)= — х. 2п~,~4 Поле Г+ равно нулю. Спектральная функция а(й) определяется вы- ражением т а / Йа~ а(й) = — ~ ~р(х, 0) ехр ( — гйх) ах = — ехр ~ — — ~. 2л ~ ~/2к 2 Зависящая от времени ВФ имеет вид ~у(х, й) = а® ехр (г(йх — вФ)) сУс. Вычисление интеграла дает у(х, Ф) = ехр 2 а +т— та 2 а +т— угловых частей ВФ.
Аналогично вычисляется и ы~, 2, = О, 25. Таким образом„при р -распаде ядра атома трития образующийся ион Нез+ будет с подавляющей вероятностью находиться в основном или в первом возбужденном состояниях. 2. Задача об эволюции состояния ~ц(х), приготовленного в момент Ф = 0 мгновенным изменением поля У -+ Г+, представляет особый интерес, если гамильтониан Н+ обладает непрерывным спектром. Физически реализуемые состояния частиц описываются ВФ, локализованными в некоторой области пространства (принадлежащими 1 2), и не могут совпадать с ВФ непрерывного спектра. Состояние, которое описывается функцией из 12, представляющей суперпозицию ВФ непрерывного спектра, называется валновым пакетол. Задачи об эволюции волновых пакетов относятся к первому типу задач, упомянутых в п.
11.0. Рассмотрим волновой пакет свободного движения, который при й = 0 имел вид 193 Переходы Распределение плотности вероятности р(х,Ф) = ехр 1+ и4+ с течением времени сохраняет ту же форму, что и в начальный мо- мент, однако ширина распределения возрастает со временем: про- исходит расплывание волнового пакета. Расплывание становится существенным при А(й) = ц(т,О)ФЯ,т) йт. о Зависящая от времени ВФ будет определяться интегралом у(т, $) = АЯФ(1с, г) е ™ сй. о Пусть ~(й, т) есть решение радиального УШ с асимптотикой е *~ . Тогда функция Ф(Й, т), имеющая асимптотику ФЯ, т) — — в1п[йт + Ьо(й)~, 13 П.В.
Елкпин, В.Д. Кривченков (11.4) (11.5) Ф>т= — '. В Величину Т естественно назвать временем жизни волнового пакета. Отметим, что аналогичный результат мы получим для любого волнового пакета, который при Ф = О описывается действительной ВФ. Наличие рас- У плывания связано с законом дисперсии для ' свободных частиц.Е(Й) Й2. 3. Особыми чертами обладает процесс расплывания волнового пакета в центральном поле, имеющем вид барьера (рис. 38). Пусть приготовленное при Ф = О состо- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
