П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для рассеяния медленных частиц малых энергий свойства коротко- действующих потенциалов можно достаточно полно описать двумя параметрами: длиной рассеяния о и эффективным радиусам то. Рассмотрим УШ при ( = 0: а 'Р+ [у2 и(г)]9 = 0. (9.53) Пусть ср1(т) и дарг(г) — решения (9,53) при Е = Й1~ и Е = Рсг~, Глава 9 160 удовлетворяющие граничным условиям в нуле и имеющие асимптотики <р1(г) -+ яп(юг + 81), 1 Вш Ь| ф2(г) -~ в~п(Маг+ 62). 1 Бш Ь~ (9.54) Из (9.53) следует: < сря ~' — у1 — ' —— <Й2 ~— й1~) <р1срз йт, (9.55) ат йт ~О о где величина Л произвольна. Пусть Х1, Х2 — решения УШ свободного движения, совпадающие с асимптотиками (9.54). Тогда С Х2 — ' — Х1 — '~ ~ = (й2 — й1) ~ Х1Х2йт.
(9.56) а, ж. 1 ~о о Вычитая (9.56) из (9.55) и переходя к пределу при В -+ оо, получаем ~2 сгК оя — н1 с~8 о1 = А ~1) (Х1Х2 сР192) Йт. (9.57) О Предел амплитуды рассеяния при й — ~ О, взятый с обратным знаком, называется длиной рассеяния: — — = 1пп ~й сФц Б(Й)~. а ь-+о Полагая в (9.57) й2 = й, Й1 -+ О, получаем ~сй88 = — 1+ о ~з, то = 2 (ХоХ вЂ” Ро р) йг- (9.58) О Поскольку асимптотики ср и сро, Х и Хо совпадают, интеграл (9.58) определяется главным образом областью, в которой Щт) имеет заметную величину.
При т < 1 в этой области ВФ не будет сильно зависеть от Й~, и можно положить (с точностью до членов Й ) Ч = Чо* Х = Хо- Тогда Рассеяние 161 где величина то = 2 Ьго — ~рог) Й. (9.59) о называется эффективным радиусом потенциала Щт). Полное сечение а, выраженное через длину рассеяния а и эффективный радиус то, имеет вид г ~1 4 о = 4каг 1+ а(а — то)йг+ ('-тоа й4 12 Вне ямы щ~(т) = Аь1(йт) + Втьь(йт). Из граничного условия на бесконечности имеем А = 4яв~е'~' сов Ь1, В = — 4ш~е'" вш 61. Потребуем равенства функций и логарифмических производных в точке а,.
Тогда из первого условия следует ~ь(Е) 11 П.В. Ельотин, В.Д. Кривченков В пределе при й + О получаем о =4ка . Знак длины рассеяния зависит от параметров потенциальной ямы. 10. Рассмотрим рассеяние на сферическом потенциале: Цт) = 1.ьО (т < а), 11(т) = О (т > а). Знак и абсолютная величина Уо произвольны. Уравнение Шредингера во внешней области: Во внутренней области: где дг = йг — ь.ьо. Рассмотрим вначале случай дг > О (потенциал притяжения или слабого отталкивания).
Тогда решение ьрь(т), конечное при т — ~ О, во внутренней области есть щ(т) = Суь(дт). 162 Глава 9 Из второго условия имеем д =й ~,(0) у',(т) — Фяб~ я~(т) ~,(е) ~,(т)+~ха,.и,(т)' где О=да, т=йа. Ограничимся случаем медленных частиц (т < 1). Тогда основную роль играет рассеяние в-волны. Решение однородного уравнения Шредингера: вшх сОв ж ~о(х) = —, по(х) = — —. Отсюда С вшчт ( ) 4»в»» вш(»»т+»»о) ъ Ь Условие сшивания дает ' дс$~6 = 1сс~д(т+ Ьо), со = агс~~ — ~~8 — т, или (Й/д) Фк»» — $х т с~и, = 1+ (К/я) сявскт а) Рассмотрим случай ямы малой глубины: )ио! « Йя, д = Й. Тогда, учитывая асимптотики при малых х жв *3 Сдх = х+ — агсФдх = х —— 3' з' для рассеяния медленных частиц получим, сохраняя в разложении члены до третьего порядка, в' ' ~(~' — ~') з ос =т+ — — — — т= а, з з з или ~ ~а Длина рассеяния (парциальная амплитуда в-волны) з ива а= з Для ямы малой глубины знак длины рассеяния совпадает со знаком потенциала.
Сечение о = 4каг я В2а2 4 9 не зависит от энергии. Рассеяние 163 б) Рассмотрим случай потенциала сильного притяжения ио <О, ~ио~>>й . Тогда — — « 1, Ф~ т << 1 й й Д и в знаменателе (9.б1) можно пренебречь вторым членом по сравне- Рис. 34 нию с единицей. Положив ~~ т = т, получаем Сд бо = т 5 — 1 е Рассмотрим зависимость ~~ Ьо от 6 (рис, 34).
При значениях В~г, определяемыхусловием О~ = (2п+ 1)-, (9.б2) 2 сечение достигает максимального значения — 4к о= —. ~г Значения йз, соответствующие максимальным сечениям: Й = — [(2в+ Ц~ — ~ — цо, называются виртуальными уровнями энергии. Если Й -+ О, то условие (9.62) выполняется при ~/~ а = (2п + 1) —. Это выражение совпадает с условием возникновения связанного в-состояния в сферической яме.
Виртуальный уровень имеет в этом случае нулевую энергию, а длина рассеяния обращается в бесконечность. 1Ъава 9 1б4 Он(у 1) '(» ~/~ с ( О~~Гя длина рассеяния положительна. Напомним, что все результаты относятся к случаю малых й. При этом значения д могут бьггь, понятно, сколь угодно большими. в) Рассмотрим случай д2 < О (потенциал сильного отгалкивания). Тогда во внутренней области е "— в Ч,(г) = С Условие сшивания решений дает уравнение для определения фазы жег,'пса = йс$ц (т+ Ьо), /1с Ьо = агсФд ~ — ФЬЮ вЂ” т.
Для рассеяния медленных частиц (т (< 1, Й~ <( ио) бо ~ — т. Интегральное сечение рассеяния оо =4яа — — 1 (9.64) При некоторых значениях Он, таких что гвОн = Он, (9.63) фазовый сдвиг и сечение рассеяния обращаются в нуль. Явление, состоящее в резком уменьшении сечения рассеяния медленных частиц при некоторых й, называется эффектом Рамзауэра.
Эффект был обнаружен экспериментально при наблюдении рассеяния электронов на атомах инертного газа. Хотя эффективный потенциал взаимодействия электрона с нейтральным атомом не является короткодействующим в смысле определения, данного в п. 9.5 (и(В) В 4 при  — + оо), но вывод и. 9.8 о доминирующей роли в-рассеяния при малых й остается в силе, так как требует лишь более быстрого убывания потенциала и(г) по сравнению с т з.
Для волн с1 =ф О условием применимости (952) является ~(т) = о~т ~2~+а)1 Только в этом случае в области А законно пренебрежение членом У(г)В~(т) 0ос1г' по сравнению с членом 1(1 + 1)т зВ~ 1(1+ 1) г ' з. Отметим, что эффект Рамзауэра имеет место при значениях он, близких к значениям рг для виртуальных уровней. При заданном й с ростом глубины ямы значения Он и Ор становятся близки О~, = — =1,57, Он, =4,а, О,, = — =4,71. Зл В области 165 Рассеяние В пределе (Й2/ио) -+ О условие медленности частиц т < 1 становится несущественным. Для рассеяния на непроницаемой сфере (ио -+ оо) О0 = 4ка, 2 что в четыре раза превышает классическое значение. 11.
При рассмотрении в предыдущем пункте рассеяния медленных частиц на сферическом потенциале мы видели, что величина сечения тесно связана с положением уровней дискретного спектра. Единым образом состояния дискретного и непрерывного спектров можно рассматривать, считая Й комплексной величиной. В этом пункте мы получим интегральное уравнение для парциальных ВФ рассеяния, которое послужит основой для дальнейшего рассмотрения. Найденная в п.
9.2 ФГ для свободного движения может быть представлена в виде ('0(Г Г Й2) = (2н)-3 д2ДЧ("'0(Ч2 Й2) Дне1ч(г — г') (9 б5) В последнем интеграле используем формулу для разложения плоской волны е ' ~ = ~~~(21+ 1)г'.Ца)Р~(Сова), где Х = 1+ 1/2. Тогда получаем С0(г, г', Й2) = (2л) з д2Дд С0(д2, Й2) х 2д~~бР 0 х ~ ~а ~~(21+1)~'.~,(цх)Р~(па)~ х х [~ (211 ~-1)( — 1)а.7п(дх1)Р~,(ап1)~ . Интегрирование по угловым переменным можно провести, используя теорему сложения для полиномов Лежандра: ао(г — г~ Й2) (2к) — з ~ яд( Со(Ч~, Й2) х 0 х ~ (28+ 1)(211+ 1)з~( — з)~'.Х~(дт)У~,(у') — Ьн,Р(а'зъ). 2~+1 ю,ю, Таким образом, ФГ для свободной частицы может быть представлена 166 Глава 9 в виде суммы парциальных ФГ: СО~(г — г', й2) = — ~(21+ 1)С+(т, г', й~)Р1(пп'), 4х~Гтт' С+ ( к й+) л Л(вг)д(дг') зЫ Н(Ц( ) ( )) т>т ~г йя ь.
2 (9.66) Здесь Н (л) — первая функция Ханкеля. (1) Пусть у+ (1с, г) есть решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее граничным условиям задачи рассеяния. Разложим ц~+(1с, г) по парциальным волнам: у+(ы г) = ))' —" ~(21 + 1)а ~~(йт)Я~~ш'). Тогда парциальная ВФ ~ф(йг) удовлетворяет интегральному урав- нению щ+(йт) =,Х~(йт) + т'С+(г, г', й)и(т'))у1+(йт') йт'. О Используя явный вид парциальной ФГ (9.66), получаем интегральное уравнение у~ (йт) — Лк(йт) — "— 'Н„~(йт) т'.Х~(йг')и(т')у~+(йт') Йт', г — +ОО 2 О Используя асимптотическое выражение для функции Ханкеля (1) ~2 / .яХ .к~ Н) ж у — ехр ~ы — г — — з-~, ~/ кл ~ 2 4! г ц+(йт) =,У),(йг) — — 'Н), (йт) г'.71(йт')и(т')у+(йг') йт'— 2 Π— — Лк(йт) г'Н)„(йг')и(т')ц~+(йг') йт'.
(9.67) 12. Рассмотрим асимптотику волновой функции щ+ (йт). При больших т Рассеяние 167 получаем цг+(7ст) — Щст) — ~' — ( — з) + е'~ Г г',Ц,Ьт')и(т')ц+Яг') сХт'. о Асимптотическое при больших т выражение для ВФ рассеяния через парциальные волны имеет вид Ч( ) = ' — — — Е(21+1)Р(Ы) 2 х т,У~(йт)и(т) у+(Йт) Йт . о Определяя парциальные амплитуды рассеяния Яй) соотношением Дшь') = — ~»~(21 + 1)~д(й)Р1(кш'), получаем для них выражение Я(Й) = — — ~ т.Цест)и(т)ц+(1ст) Йт.
2 1 о Рассмотрим асимптотическое поведение функций у~+(йт) при ма- лых т ц+(3ст) = Лр (3ст) 1 — — тН, Ят)и(г)ър~(7сг) йт . (9.б9) о Пусть ~р1(Ь") — функция, удовлетворяющая интегральному урав- нению р1(1ст') = Х~(йт) — — "'Н~~ ~(1ст) Н~ ~(йт')и(т')ср~(Ь')г'йт'+ 4 о т + — Н~ (йт) Х ~(йх')и(г') р1 Ят')т' йт'. (9.70) о Функция щ(1ст) действительна и удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению ~" -~- — ~' + (Й вЂ” —,) ~ = и(т)~, 168 Глава 9 что и решение 1р+ (йт). При малых т р1(йт) = Х~(йт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
