П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 19
Текст из файла (страница 19)
126 Глава 7 Направление потока вероятности на сопряженных линиях Стокса определяется следующим правилом Хединга. Если решения ~ц+, ~ц убывают в верхней полуплоскости, то на сопряженных линиях Стокса они описывают поток вправо. Так, при х > х2 волне, распространяющейся вправо, соответствует у+: в области С, ограниченной осью х и линией Стокса 1+Ц, решение у+ убывает (по определению решение у2+ экспоненциально мало на линии ~+11). Установим формулы связи между ВКБ-решениями в областях А и С: + ЧС = Ч'2 ~г ц~в — — у2 — — ут ехр г ~ р(х) ах = у~е + + + Ю Ж~ =е у++е"/+ у Так как в области А р(х) = е")р(х) ), то решения, представляющие в этой области простые волны, даются формулами — ~к/2 + — ал/2 у~ь —— е у~, щ~н — — е у~ .
Используя эти выражения, находим формулу связи (7.30) Физическая интерпретация формулы связи (7.30) очевидна. В области С существует только поток вправо (распространение частицы, прошедшей за барьер). В области А существуют потоки вправо и влево, соответствующие падающей и отраженной частице. По определению, данному в и. 3.3, находим ВКБ-выражение для коэффициента прохождения; хг .0(.Е) = ехр —— сЬ .
(7.31) Х1 б. Рассмотрим ВКБ-решение в непрерывном спектре при Ж > Оо. В этом случае на действительной оси точки поворота от- сутствуют. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда уравнение для точек поворота р(х) =0 имеет два комплексно-сопряженных корня (рис.
23): х~ = а+ гр, х2 = а — гр. Точки х~, х2 мы будем называть комплексными точками поворота. Проводя между точками поворота разрез и полагая х = а+ г~, Их = е"/ Н~, 127 Квазиклассическоеприближение запишем выражение для импульса вблизи точек поворота: р(х) = А(х) (х — х1)(х — х2), (7.32) где А(х) — действительная функция без нулей. Положим р(л) = ~р(я)~ на правом берегу разреза; уголдбудем отсчитывать отпо- 1п>х — 2 +1 ложительного направления мнимой А С Ж1 оси.
Тогда вблизи х1 Р ~ — р = ~~ — Ще'", о1 +2 -1 02 х — Х1 = е"/ (~ — р). Кеж — 1 +2 Учитывая (7.32), можно записать ( ) А /г (/2+~/2) жг Г +1 — 2 (х) 1 „3/2 >(л+3>>>/2) Ж1 Отсюда направление линий Стокса у точки х1 будет: +1 ~~ +2 — 1 — 2 1~ 91 = — 91 = к> Ч1 = — к Ч1 = — ° У точки х2 аналогично находим +1 2к +2 — 1 — 2 4:к 3 > Ч'2 — — 2к, Ч'2 —— О Сопряженные линии Стокса выходят из точки х1 под углами 01 2л 02 2к 3 3 и лишь асимптотически приближаются к действительной оси при х — + ~со.
Расположение линий Стокса [+~, ~ — 1 и сопряженных линий Стокса (01 показано на рис. 23. Рассмотрим формулы связи для ВКБ- решений на 01 и на 02: Рис. 23 Ч~С = Ч~о > 1>'В = Чо > + + (7.33) Ч1 = ЧО +е"/'ЧО По правилу Хединга на 02 функция щ+~ соответствует потоку вправо, щ — потоку влево, на 01 направления Обратные. Деформируем контур интегрирования для х, далеких от о, придвинув контур к действительной оси и разрезу (рис. 24). Тогда г рдх = г рдх+ г рйх. (7.34) х> 128 Глава 7 Положим Тогда на левом берегу разреза первый из интегралов в правой ча- сти (7.34) есть — Й/2 и 1п> х + ->>/2+Ы/2 + х> Ч'о =е Чт,> у — „.
е — ь/2->к/2ь~ (7.35) ! ! ! ! + ->>/2 + ! ! о- В> о~ ! ! где введено обозначение ! ! ехр ~з р(х) сЬ, Рис. 24 Лй*й а индексы В, Ь соответствуют потокам вправо (В) и влево (Ь). Направление определяется по правилу Хединга для ВКБ-решений ~!ф. Подставляя (7.35) в формулы перехода (7.33), получим ( ц — + — >»/2 — Ус + + (~-т) (7.36) Физическая интерпретация этой формулы очевидна. В области С существует только поток вправо (распространение частицы, прошедшей за барьер). В области А существуют потоки вправо и влево. ВКБ-выражение для коэффициента надбарьерного отражения, согласно определению, данному в п.
3.3, есть х> В(Е) = е 2" = ехр — - 1пт 2т[Š— У(х)1 сЬ . (7.37) Ь хр 7. Применимость квазиклассических выражений для коэффициентов прохождения и отражения можно оценить с помощью уравнения непрерывности. Для подбарьерного прохождения ДА=О, ЯС=В(К) (мы предполагаем, что поток вправо в области А-нормирован на единицу).
Аналогично, для надбарьерного отражения >пп ЗА = 1 — ~(Е)> 1пп Зс = .>.* Таким образом, область, в которой потенциал У(х) заметным образом отличен от нуля, действует как источник частиц. Это физически Квазиклассическое приближение неудовлетворительно; поэтому выражениями (7.31) и (7.37) можно пользоваться толью при условиях .О(Е) « 1, В(Е) « 1. Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы коэффициент при экспоненциально большой на линии Стокса функции (у+ на линии ~ — 1, у на линии ~+~) менялся так, чтобы выполнялось уравнение непрерывности. Полагая (для подбарьерного прохождения) ау +е '"~ Ч++- е луг+ и требуя сохранения тока в асимптотической области, получаем -гк откуда (7.39) Х2 где г 2п~Е Уо Для высоких энергий (вег )) 1) интеграл в правой части может быть представлен как разложение по степеням ж 1: В(Е) = ехр — ~ а + аг (7.40) Очевидно, наиболее существенную роль играет первый член (7.40): ж1 / гта г— В(Е) — ехр — а1 — ~ = ехр ~ — а1 — у Е л 9 П.В.
Елютин, Вд. Кривченков Аналогично, для надбарьерного прохождения О(Е) =,„, В(Е) = Такое приближение, лежащее за пределами метода ВКБ, называется приближением Кембла. Коэффициенты П(Е) и В(Е) в приближении Кембла дают результат, близкий к точному, при любых Е для полей с потенциалами УоДж/а) при ~г «1 Отметим, что при Е = Уо в этом приближении О = В = 1/2.
Представим выражение для юэффициента надбарьерного отражения (7.37) в виде Глава 7 Показатель экспоненты не содержит характерной глубины потенциала Уо. Таким образом, в приближении ВКБ коэффициент отражения при заданной энергии остается конечным и при Уо — > О, что физическинеудовлетворительно. Поэтомудлярассмотрениянадбарьерного отражения частиц высоких энергий точность принятых асимптотических решений оказывается недостаточной*. 8. Выше мы рассматривали ВКБ-решение для одномерного УШ (7.1). Результаты могут быть использованы и в тех случаях, когда УШ допускает разделение переменных в криволинейных координатах. Особенно большой интерес представляет случай центрального поля У(т) = 0о~(т/а), так как к этому случаю приводит задача двух тел. Уравнения для радиальной Я(т) и угловой У~О) частей ВФ имеют вид » (Г2'и)»- ~л — ГИ»- А] л = О, <7,»1) — — (вш» — ) -~- ( — А — ~, ) У = О; (7.42) здесь А — константа разделения.
Эти уравнения относятся к типу более общему, чем (7.1), а именно: — — р(х) — + т(х, Е)~с = О. (7.43) р(х)»Ь Их Такое уравнение можно привести к виду (7.1) бесконечным числом способов, определенных с точностью до произвольной непрерывной функции у(х); замена у = у(х), »я = чЬ) р( )у'(*) сводит уравнение (7.43) к квазиклассическому виду — ~~ + [у'(х)]~ ~т(х) + г(х)]»р = О, где в(х) = --й(х) — 1п й(х)» Ф(х) = — 1п (р(х)у (х)1. Соответствующее квазиклассическое решение (в исходных переменных) имеет вид Х у~(х) = ~т(х) + в(х)] ~~~ехр Ы т(х) + в(х) сЬ . ~Й4 (7.44) Квазиклассическое приближение В качестве дополнительного условия потребуем, чтобы квазиклассическое решение (7.44) в особых точках уравнения (7.43) имело степенную асимптотику ~/ (х) = х" (с1 + сях+...
) с тем же показателем ч, что и точное решение. В случае, когда р(х) имеет простой нуль, этому условию отвечает преобразование Пономарева (7.45) приводящее кравенству в(х) = О. Для уравнения (7.41) эта процедура нуждается в изменении, так как р(х) имеет нуль второго порядка.
Начнем с уравнения (7.42): р(0) = 1пйд (8/2). ВКБ-решение в классически доступной области есть 8 ~'(8) = ' сов 1 р(в) де — -', л ер(в) ~ 4 ' В1 Константу разделения А определим из условия квантования ер — А(1 — ж~) — т 81 где х = сов О. Вычисляя интеграл, получаем А = — (и, + ~т~ + 1/2)~ = — (1 + 1/2)~ = -РР, что отличается от точного значения константы разделения Ао = — 1(1+ 1). ВКБ-решение для угловой ВФ имеет вид (О) — 2 1 )я ~ х е х соя Х~ —, с —— 132 Глава 7 При Х~ >> тп~ яп 2 6 это выражение переходит в У (В) = 2 1 сов Подставляя полученное значение константы разделения А в уравнение (7.41) и используя преобразование (7.45), которое в настоящем случае имеет вид уЯ=т найдем квазиклассическое решение радиального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
