П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если уровни дискретного спектра вырождены, т. е. если при т ф и е = е„, то полученные выше результаты неприменимы непосредственно, так как в суммах (6.15), (6.16) могут появиться бесконечные слагаемые. Напомним, что дискретный спектр одномерного движения всегда не вырожден, а дискретный спектр частицы в центральном поле в состоянии с моментом 1 всегда вырожден с кратностью (21 + 1) по величине проекции момента. Пусть уровень Е,„вырожден с кратностью я, а 䄄— произвольные ортонормированные ВФ этого уровня (1 < ~ < д). Используя формулы (6.7), (6.8), при любом г имеем (6.21) (Но — е )<р,.
= — Кср, + Е; (р;. (6.22) Умножая (6.22) на д „скалярно, получим, учитывая вытекающее из (о) эрмитовости гамильтониана Но равенство (кр ь, (Йо — е. )ср;) = ((Но — е )ср ~, ср,.) = О, (о) " (1) " (о) (1) Глава 6 следующее соотношение: (тЦЦть) = Е(; (тЦтз) = Е;Ьы. (6.23) Таким образом, функция в правой части (6.22) должна быть ортогональна ко всем д „, что выполняется не при всяком выборе ВФ (о) нулевого приближен™ия, Рассмотрим линейную комбинацию ВФ вырожденного уровня (о) ~ (о) ~~пи' = ~~ ~ Мартти" з=т Такая комбинация тоже будет СФ невозмущенного гамильтониана, соответствующей значению Е . Набор у, (1 < г < я) будет орто(о) нормированным, если матрица Ц унитарйа.
Подставляя в правую часть (6.22) функции у, и требуя ортого(о) нальности ко всем ~р ь, придем к системе линейных уравнений для (о) коэффициентов Ь . ,'> (ЦРУ>Ь;, — Е(т)Ь;, = О. (6.24) я' Система линейных уравнений (6.24) имеет нетривиальные решения, только если детерминант из юэффициентов при Ь;. обращается в нуль: 1:)ей Яь — Е( ) Ь~ь) = О. (6.25) Это уравнение, называемое секулярнъии, имеет в общем случае я различных действительных корней, которые и представляют искомые поправки первого приближения к энергии уровня Е . Отсутствие комплексных корней является следствием эрмитовости оператора возмущения аР.
Нумеруя корни секулярного уравнения как Е; и подставляя их в (6.24), найдем юэффициенты Ь;ь опре- (1) (1) деляющие правильные ВФ нулевого приближения. Если все Е( различны (возмущение полностью снимает вырождение), то вычисление высших поправок ведется как в п. 6.1. 5. Если невозмущенный уровень принадлежит к группе близких уровней (квазивырожденный случай), то все вычисления по теории возмущений удобно вести так же, как и при наличии вырождения. Этим подходом можно исключить появление больших поправок к СФ и СЗ. Пусть близко расположены уровни с 1 < л, < д.
Представим оператор возмущения в виде ~'=У1+У2, Теория возмущений и вариационный меиод где операторы У1, ~2 определены соотношениями: (г[ЯЯ = (Е1 — Е ) Ь; (з, з < у), (т[Яо) = О (т, и > у), (з[~1[о) = О (п > ~, а < д), ( [ИЯ = ( ИЯ вЂ” (Е1 — Е ) б' (® З < а) (т[Яи) = (т[Цп) (т, и, > у), (з,[Ять) = (г[Цп) (о > и, ъ < я). собственными функциями оператора Й' = Йо + ~1 являются те же д, что и у оператора Йо. Но теперь группе первых я уровней соот- ве™тствует одно значение Е1. Используя результаты п. 6.4, представим ВФ нулевого приближения в виде (6.26) з=1 Тогда имеет место система уравнений; 2 Ь~ [(Й!Р/и) — (Я1 — Я1)2~11 =Е~~~Ьа. (6.27) з=1 Поправки Е(ц и коэффициенты б;ь вычислим, приравняв нулю опре- делитепь системы (6.27). Рассмотрим случай двух близких уровней (д = 2).
Секулярное уравнение для Е1Ц: 2'11 — Е( ) ~4~2 РеС ~12 Ьгг+ ~ 1 где Ь = Ег — Е1 — расстояние между невозмущенными уровнями, приводит к значениям поправок Е~ ~ = " "~ — (Ь+T — К ) +4[юг[~. (6.23) г 2 Рассмотрим вид этого выражения в различных предельных случаях. Если [Ь + У~г — Ъ"11[ >> [ЪЯ, то (1) 11/,2!2 Е1 = 711— 2-1 + ~22 ~11 ~22+ ~+ (Ц %2! + 22 ~11 =О, 102 Глава б (Но+ У)у = Ец по СФ невозмущенного гамильтониана: у =~~» с „д„. Подстановка этого разложения в (б.30) дает с „(ń— Е~~)) = ~~» с „У й. й (б.зО) (6.31) В частном случае 14~ = У22 = 0 из (б.29) следуют выражения !Ъ'хг] Е + %г] Ь ' ' Ь Таким образом, учет квазивырождения приводит в первом порядке теории возмущений к формулам, которые включают также и главный член второго порядка теории возмущений без вырождения.
Поправки к энергии зависят от величины возмуще- Е ния квадратично. В другом предельном случае ~~ + У22 ~11~ )) ]У12~ получаем Е(Ц Е~+ ~гг+ 1'и ~ К 3., 2 Е г ) (Ы-Г. — Г,,) ] Рис. 17 8 Яг] Если Уп = У22 = О, то зависимость поправок от величины возмущения близка к линейной. Положение возмущенных уровней в зависимости от величины возмущения показано на рис. 17. Заметим, что под действием возмущения расстояние между близкими уровнями увеличивается.
Это явление называется отталкиванием уровней. 6. При вычислении поправок для СЗ Е можно обойти процедуру разложения ВФ по степеням малого параметра е и ее последующей нормировки. В самом деле, система СФ невозмущенного гамильтониана Йо — полная и ортонормированная. Можно вычислить матричные элементы Н в этом базисе (недиагональные элементы будут отличны от нуля только для У) и диагонализовать полученную матрицу. В принципе такой подход должен привести к точным значениям уровней гамильтониана Н (см. п.
1.15). Рассмотрим метод приближенной диагонализации, который называется теорией возмлиений Бриллюэна — Виенера. Разложим решение УШ Глава 6 Например, это имеет место для системы с гамильтонианом Нд= ~ +У(х) гт и возмущением еУ(х), если У(х) — четная, а У(х) — нечетная функции от х. Малость второй поправки также не есть достаточное условие применимости теории возмущений.
Поясним это на примере ангармонического осциллятора — системы с гамильтонианом Н = — + — +ех Р' х' з 2 2 (мы положили Ь, т, а = 1). Пусть е мало; рассматривая У = ехз как возмущение и используя вычисленные в задаче 3.9 матричные элементы (и — З~еУ~и) = е = (и~еЦи — 3), (и — 1~Ци) = е — = (и~Ци — 1)> 8 находим Е® =О, Е~ ) = — е — ~и +и+ — ). г 215~ 2 11~ (6.35) 4 30 Эта поправка мала при фиксированном и, если ~ег ~ << 4/(15и).
Однако сходимость ряда теории возмущений в этом случае сомни- тельна. При хв10;пе > (З~е~) 1 потенциал У(х) + еУ(х) убывает, стремясь к — оо. Формально движение при любой энергии Е ин- финитно. Однако потенциал убывает так быстро, что квадратично интегрируемое решение существует при любой энергии Е. Дискрет- ный спектр в этом случае можно отобрать, используя требование ортогональности волновых функций в области ( — оо, Х). Спектр бу- дет зависеть от граничного условия в точке Х, которое, очевидно, не учитывается в вычислениях по теории возмущений. Рассмотрим осцнллятор с возмущением У = ех4. При е > О на- личие дискретного спектра очевидно. Однако и в этом случае ряд теории возмущений будет, по-видимому, расходящимся.
Если ряд сходится в точке е = +ео, то Е(е) есть аналитическая функция ком- плексного переменного е в области ~е~ < ео. Следовательно, тогда ряд должен сходится при отрицательных значениях — ео < е < О. Но при е < О ситуация аналогична рассмотренной вьппе. Теория возмущений и вариаиионный метод 105 Задача о гармоническом осцилляторе возникает при замене глубокой потенциальной ямы Цх), в которой связанные состояния заведомо существуют, степенным разложением У(ж) в окрестности точки жо, где У(ж) 1 ~1 имеет минимум (рис.
18). В этом случае сходимость рядов обеспечивается учетом высших степеней х и выражение (6.35) действительно определяет поправку к энергии дискретного уровня. „8. Собственные значения гамильтониана й могут быть найдены из вариационного х хо принципа. Покажем, что СФ гамильтониана реализуют экстремум средней энергии Рис. 18 Я = ( р!Н~ р). Найдем условие экстремальности Е: Ь р'Йрад=а (6.36) при дополнительном условии ~~'~рй~ = 1. Комплексно-сопряженные у и у' нельзя варьировать независимо.
Разделим эти функции на амплитудную и фазовую части: у=Ое'~, у'=Ое '". Тогда Ьу = е'~58+ байр Ое'", бу" = е "'ЬΠ— й~рОе ". Из (6.36) получаем, учитывая эрмитовость й: ь| * Й р Ц+ ар Й р Ц = о. Подставляя (6.37), используя условие нормировки и вводя множитель Лагранжа Х, получаем Г 68 е~~НОе''+е'~НОе '~ — 2ХО Йу+ + г йр О е'~НОе '~ — е '"НОе'~ Ид = О. (6.38) 106 Глава б Ч~ = ~», аь~ц.
й Тогда среднее значение энергии, вычисленное с функцией у, равно (Ч]Й]Ч) = ,'» Еь!аь[~. й Пусть Ео — энергия основного состояния, тогда Ео < Е [у) = Е (6.40) (6.41) (ау]Н]у) > Ео „» ]аь] (6.42) где Е Ы = ((ч[ч)г'(ЧФ[Ч>. (6.43) Таким образом, ВФ основного состояния реализует минимум средней энергии; остальные экстремумы соответствуют возбужденным состояниям. Выражение (6.41) дает оценку сверху для энергии основного состояния. Для получения оценки снизу рассмотрим интеграл ](Й е)2] (6.44) где у — произвольная нормированная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
