П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поэтому мы воспользуемся распространенным приемом, позволяющим заменить непрерывный спектр дискретным. Потребуем, чтобы исходная ВФ свободного движения удовлетворяла требованию периодичности у(ж+ Фа) = у(ж) и была нормирована на единицу в интервале О < х < Жа.
Тогда у(х) = — е' ~. (6.61) ~ГЙа Возможные значения Й определяются из условия периодичности й„= — и (и, = О, ~1, ~2, ... ) . Жа Таким образом, возможные значения й дискретны, дискретным становится и невозмущенный энергетический спектр Е1а) а ~с„ (6.63) 2т Теперь для определения энергетического спектра в поле можно использовать теорию возмущений. Это и соответствует предположению о слабой связи.
Учитывая поправки к энергии до второго порядка„получаем Жа Е =Е1')+ — ' " -'"-~ (*)г'-*а +У ~"1~~')~ (664) Иа,) ~ Ео (Ус) — Ео (Ч) О ьфд Поправка первого порядка ко всем уровням одинакова. В пределе при И -+ оо она не зависит от Ж и есть просто среднее значение 114 Глава б потенциала Е(1) ~ 1 1 ~()„ а В ыражение (6.64) применимо, если разности энергий в знаменателе третьего члена не малы по сравнению с соответствующими матричными элементами в числителе.
В силу периодичности потенциала К(ж) входящие в выражение для по- Е Ео Е рав р Опор дкаматр ые элементы I (~~~г~Ц еъ(м — Я)хт~(у)г1~ 1у Фа,1 отличны от нуля, только если / / 1 — Й вЂ” д = — и. — 2л ! а Невозмущенный энергетический спектр двукратно вырожден по возможным значениям гс. Поэтому Рис. 19 выражение (6.64) заведомо теряет применимость в окрестности точек й = тсгь/а. Возмущенное значение энергии в окрестности этих точек можно определить с помощью теории возмущений для двукратно вырожденного уровня.
Пренебрегая всеми матричными элементами, кроме (й — 2тш/аЩЙ), при й, близком к гсп/а, получаем Е~~, —— — (Еь+ Ея) ~= (Еь — Е~) +4К~2 . (6.65) Дискретный спектр как функция а в невозмущенном и возмущенном случаях изображен на рис. 19. При значениях й„= тгп/а в дискретном спектре (квазинепрерывном при больших Ж) возникает запрещенная зона ширины Ь„= 21~~„~„.
Отметим, что с возрастанием и размеры запрещенных зон убывают. ЗАДАЧИ 1. Вычислить, ограничиваясь первым порядком теории возмущений, спектр в- состояний в экранированном кулоновском потенциале У(г) = — — е при Х» ао. Оценить максимальное и, при котором применима теория возмущений.
2. Найти поправку первого порядка к энергии основного состояния атома водорода с учетом конечности размеров ядра. Ядро полагать однородно заряженным шаром Теория вохиущений и вариаиионный метод радиуса В. Оценить границы применимости результата для мезоатомов, в которых один из электронов заменен р-мезоном (т„ы 207т„В ы А'~~ ° 1, 25 10 'з см, где А — число нуклонов). 3. Вычислить поправку первого порядка к уровням энергии гармонического осциллятора (Ь, т, гс = 1) при наличии возмущения У = ех . 4. Показать, что для частицы в в-состояниях в кулоновском поле центробежный потенциал нельзя рассматривать как возмущение при ЕР) « Е<о) У к а з а н и е.
В области выполнения неравенства сравнить результаты с разложением точного решения. 5. Вычислить поправки первого и второго порядков к уровням энергии гармонического осциллятора (й, т, со = 1) при наличии возмущения Р = гх~. Сравнить с разложением точного решения. Оценить радиус сходимости ряда. б. Найти поправку второго порядка к энергии основного состояния атома водорода в однородном электрическом поле.
У к а з а н и е. Решить уравнения для поправки первого порядка к волновой функции у~ ). 7. Найти поправку первого порядка к СЗ эрмитовой матрицы Йо при наличии возмущения сЪ'. Сравнить с разложением точного решения. В условиях задач 6.8 — 6.12 использованы следующие обозначения: Ес, Ег— энергии основного и первого возбужденного состояний, Е+, Еь — оценки сверху и снизу, 0 (х, а) — пробная функция.
8. Используя 6 (х, а) = х сЬ ~ (ах), найти Е,+ для гармонического осциллятора, положив й, т, гс = 1. Проверить выполнение теоремы вириала. 9. Найти Е,+, для гармонического осциллятора, используя а)6г (х, а) = е б)0г(х, а) =1 — а)х~ (~х~ < а '); в) 6з (х, а) =' (1+ ахг) е * . У к аз а н и е. При вычислении Е с пробными функциями 6г (х) и 6г(х) учесть разрывность 0'(х) при х = О. 10.
Вычислить Е+ для гармонического осциллятора, используя 6 (х, а, р) = е сов ))х, У к а з а н и е. Уравнения для параметров а, р удобно решать методом итераций, приняв в качестве нулевого приближения для а значение, полученное в задаче 6.9, а). 11. Используя неравенство (6.45) и пробную функцию (6.46), найти Ео для гармонического осциллятора. 12. Доказать неравенство Ег — Ег Ео > Е— Ед — Е 116 Иава б У к а з а н и е.
Рассмотреть интеграл 13. Используя варнационный метод, решить задачу 3.8. 14. Доказать, что с ростом 1 энергия наинизшего связанного состояния частицы в центральном поле с моментом 1 возрастает. 15. Вычислить энергию основного состояния ангармонического осциллятора (е 4~~ 1) й= ~ (рз+х +ох ), 2 используя пробную функцию 8(х, а) = е, с точностью до е~. Сравнить с результатом задачи 6.3. 16. Доказать следующую формулу: используя для определения Е~"~ теорию возмущений Бриллюэна-Вигнера. 17. Найти поправки первого и второго порядков к энергии уровня в поле У(х) = — дб(х) при наличии возмущения з У(х) = й10 х2 + аз Глава 7 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ (7.2) где г(х) = и — Дх). Подставив в (7.2) решение вида х у(х) = ехр — д(х) Их, (7.3) получим для д(х) нелинейное уравнение Риккати Ц вЂ” +г(х) — д = О. »Ь (7.4) Решение уравнения (7.4) мы будем искать в виде асимптотического ряда по степеням с„полагая с, малым: д(х) = ~~» ( — Ц)"д„(х).
(7.5) Подставляя (7.5) в (7.4), приходим к рекуррентным уравнениям ЬЧ»» — »» (и' ) 1). О. Рассмотрим метод отыскания приближенных СЗ и СФ для одномерного уравнения Шредингера, носящий название квазиклас- сического приближения или мппода ВКБ — по именам Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна. В этом приближении дискретный энерге- тический спектр появляется как множество тех значений Е„, при которых определенный функционал, зависящий от Е, принимает значения из заданного набора (см. п. 1.0). 1. Рассмотрим одномерное УШ для стационарных состояний — — — + ~7(у)у =.Е~ лУ Р (7.1) 2»»» ф с потенциалом вида У(у) = Уеду/а). Вводя безразмерные парамет- ры (см.
п. З.З) х= —, Ч— В 2тЦ~а~ ' а 0о мы перепишем (7.1) в виде — + — т(х)у = О, д2„ Нх2 12 118 Глава 7 С точностью до членов второго порядка по ~ д(х) = до — Цд1 — ~~д2. (7.б) Здесь (7.10) Ссгх) = ~ Ях) = х ъ/2ттК7о Последняя формула есть классичесюе выражение для импульса ча- стицы с энергией я е поле сГГх) Ге единицах ~~2тГс).
Мы сохраним за этой величиной название и обозначение импульса Со = рсх) = Ъ'ц — Кх), (7.7) так как в этой главе оператор импульса р не используется. Следую- щие члены разложения (7.6): д1 (х) = — — = — — — 1п !р(х) !, во 1 с~ (7.8) Ч2(х) = Разложение (7.5) представляет собой, вообще говоря, расходящийся ряд. Первые члены его дают хорошее приближение для д(х), если !Чо(х) !» ФЧ1(х) !.
(7-9) Условие (7.9) заведомо не выполняется вблизи точек хь таких, что до(хь) = ~р(хь) = О. В классичесюм случае при действительных хь частица меняет направ- ление движения на противоположное; эти точки называются точками поворота. Функции, полученные подстановюй (7.7) и (7.8) в (7.3): ~рь = ехр ~- р(х) ах, хй мы будем называть ВКБ-решениями УШ; общее решение в области, где выполняется условие (7.8), имеет вид у(х) = а.др, +а у, .(7.11) В дальнейшем безразмерную величину ~ мы будем включать в р(х).
Индексы + и — будем называть знаками ~ц(х). 2. Рассмотрим случай дискретного спектра УШ. Нам требуется найти решения у(х) во всей области их определения и соответству- ющие собственные значения энергии Е„. Поскольку решение (7.10) заведомо не существует в точках поворота, то задача отыскания реше- ний сводится к установлению формул связи — правил сопоставления Квазиклассическое приближение Рис. 20 ВКБ-решений, взятых по разные стороны от точек поворота у(х < хь) — + у(х > хь).
Рассмотрим решение (7.11) в плоскости юмплексного х и движение в поле с потенциалом У(х) с энергией Е таюй, что импульс действителен между двумя точками х1 и хз (рис. 20). Область значений х на действительной оси, в которой импульс р(х) действителен, называется классически доступной областью. Точки х1, хз являются точками ветвления функции р(х); проводя между точками поворота разрез, выберем знаки р на берегах разреза, как показано на рис. 20.
Вблизи точек поворота решения неаналитичны; при обходе вокруг точки х1 по контуру С1 р(х) -+ ехр (Ы)р(х), у1 (х) -+ ехр ~ — г-~у1 (х), у1 (х) -+ ехр ~ — г-~у1 (х). + 2 2~ Неаналитичность ВКБ-решений в точках хь есть следствие выбранного приближения. Из (7.11) и (7.12) видно, что даже общее выражение (7.11) с постоянными коэффициентами аь не является асимптотикой решения во всей плоскости комплексного х. Для того, чтобы решение вида (7.11) было асимптотически правильным во всей плоскости х, юэффициенты а+, а должны меняться скачком при переходе через линии Стокса (такое поведение У коэффициентов называется явлением Стокса). Линией Стокса решения ц~~~ Е называется контур на юмплекснои плоскости, для точек которого х Х1 хр ж Ве р(х) сЬ = 0 ~й с, „— +~„~ и знак мнимой части совпадает со зна- Я у ком ~ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
