П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. коммутирующих с Й) операторов А;, Р ведет, согласно общим результатам и. 1.18, к вырождению собственных значений гамильтониана Н частицы в кулоновском поле. Непосредственно из формулы (5.18) видно, что состояние с главным квантовым числом и вырождено по значениям 1 с кратностью д = и. Такое вырождение, связанное с наличием дополнительного интеграла движения (5;23), специфично для кулоновского поля и называется случайным. 4ентральное лоле Я~,(т)т Йт = 1. о Нормированные радиальные функции имеют вид 2 (и — 1 — 1)! — — 2т зц-1 2т Приведем явный вид полных ВФ состояний 18, 2е, 2р с различными проекциями орбитального момента: р,О,О)= т е", )2,0,0) = — (1 — -") е ~2, 1, 0) '= ~ — те ' сов 6, ~2, 1, ~1) = ~г — те "~~ вш 6 ° е~'", 8/к (5.27) Как и во всяком центральном поле, состояния с заданными значениями и и1вырождены по величине проекции момента с кратностью 21 + 1.
Таким образом, полная кратность вырождения состояния с главным квантовым числом и есть в — 1 0 = ~ ~(21 + 1) = и2. ~=о 7. Состояния атома водорода с квантовыми числами и, 1, т мы будем обозначать векторами ~л,1 т), указывая значения квантовых чисел всегда в таком порядке. Радиальные ВФ определяются формулами (5.1б) и (5.17) и зависят, в силу центральной симметрии, толью от и и 1: В ~(р) = А а'е '~~Ь~'+'(р), (5.2б) где А ~ — нормировочные множители, а Ь~'++ (р) — полиномы Лаггера, которые с точностью до постоянного множителя определяются первыми членами разложения (5.17).
Приведем выражения для простейших случаев: (1в): А~=1 (28): Ц=1 —— (2р): ~з — — 1, (Зе): ~з — — 1 — -'т+ — 'т'. 3 27 Так как угловые части ВФ, определяющие СФ операторов 1 и Т, мы выбрали нормированными, то радиальные ВФ следует нормировать условием 86 Гпава 5 8. При рассмотрении задачи двух тел в п. 5.0 мы нашли, что система описывается ВФ вида Ф(г1,гв) = Ф (~"' ~'") д(г1 — гг) ~528) ти1 + тр Если между частицами существует взаимодействие, то у(г1 — гз) не есть ВФ свободного движения.
В этом случае Ф(г1, гз) нельзя представить в виде произведения ВФ частиц д(г1 ) д(г2): переменные, которые разделяются в УШ, не есть координаты частиц. При наличии взаимодействия между частицами, волновой функцией описывается лишь система в целом, но не каждая из частиц. В соответствии с основным положением А2 это означает, что теряет смысл понятие состояния отдельной частицы. Для каждой подсистемы можно ввести некоторый оператор, который позволяет вычислить все величины, относящиеся к этой подсистеме. Ограничимся случаем, когда подсистема есть отдельная частица.
Пусть |1 — оператор, действующий на координаты частицы 1. Тогда его среднее значение можно представить в виде Ф*(г1, д)~1Ф(г1, д) Иг1йу, (5.29) где 9 обозначает все, кроме г1, аргументы Ф. Интегральный оператор с ядром р(г1,г1) = Ф (д,г'1)Ф(д,г1) сКд называется матриией плотности частицы 1. Из сравнения с (5.29) получаем выражение для среднего значения оператора ~1. У1 = ФУ1Р. Очевидно, матрица плотности есть эрмитов оператор р'(г,г) = р(г,г). Диагональные элементы матрицы плотности р(г, г) = ~у(д, г) ~ дд определяют распределение вероятности координат частицы.
Из условия нормировки следует, что Яр р = 1. 9. Матрица плотности зависит от состояния системы в целом. Так, для системы двух тел в состоянии с импульсом центра масс Р р 1 р(г1, г1) = ехр г ' ' у'(г1 — гз)у(г1 — гз).багз. ь(т1 + та) Центральное поле В состоянии с центром масс, локализованным в начале координат, р(г~,г~) =~у" [г~ (1-~- — ')) у[г~ (1-~- — ')) ( * ) В атоме водорода масса электрона тп~ много меньше массы протона тг. Поэтому в состоянии с центром масс в начале координат матрица плотности для электрона р(г~~, г~) = у'(г~~)д(г~) мало отличается от матрицы плотности электрона в поле неподвижного кулоновского центра.
Поэтому ВФ ~у(г) УШ для атома водорода иногда называют волновой функцией электрона, что следует понимать с учетом сделанных выше оговорок. Состояния частицы, которые описываются ВФ (т. е. состояния в смысле основного положения А2), называются чистыми состояниями в отличие от смешанных состояний, для которых матрица плотности не распадается на произведения множителей у(г)ЧГ(г'). В атоме водорода электрон и протон находятся в смешанных состояниях. Возможна и другая интерпретация: вместо смешанных состояний протона и электрона мы можем рассматривать систему двух невзаимодействующих квазичастиц: тяжелой, с массой М, совершающей свободное движение, и легкой, с массой т = т„находящейся в кулоновском поле фиксированного центра.
Введенные таким образом квазичастицы находятся в чистых состояниях. 10. Рассмотрим движение частицы 'в поле трехмерного осциллятора г Такой потенциал может быть использован для описания некоторых свойств атомных ядер. В декартовых координатах решение УШ можно искать в виде ЧФ') = М~)Чг(У)Чз(~). Каждая из функций у; удовлетворяет одномерному УШ для гармонического осциллятора с энергетическим спектром .Е; = (и;+1/2) йа. Полная энергия равна сумме .Е; согласно и. 3.0: .Е = (и~ + пг + из + 3/2) йв. Итак, энергетический спектр трехмерного осциллятора Е„= (и+ 3/2) Ьсо. (5.30) Уровни энергии вырождены: кратность вырождения о-го уровня равна числу способов разбиения целого числа и на сумму трех целых неотрицательных чисел: фд) = — (и + 1) (и + 2). 2 88 Глава 5 ВФ стационарных состояний в декартовых координатах имеют вид ]п1,пз,пз) = Ае '" ~~Н„1(Лж)Н„,(ЛР)Н„,(Л~), где Х = та/Ь, Нь — полином Эрмита.
Так как четность й-го полинома Эрмита есть ( — 1)", то четность волновой функции Р~п„пз, пЗ) = ( — 1) 1+"~+" = ( — 1) Состояние с определенными п1, пз, пз не имеет, вообще говоря, определенных значений 1 и т. Состояние с определенными 1 и т найдем, рассматривая движение частицы в сферических координа- тах. Уравнение для рц~иальной части ВФ имеет вид а'Я гж ~2 Я '~,' Ф+~)] л Йт' т й ~ Ь~ У т2 Положим й = 'Ь 1~2тпЕ. Подстановкой т = тВ уравнение (5.31) сводится к виду Х" + ь2 12т2 ~(1+ 1) у — 0 т2 Учитывая асимптотики ВФ при т ~ О, т — ~ оо, представим его решение в виде „1+1 — Ь'/2 (т) Уравнение для ы(т) есть и/~+ 2 ~+1 — тт ы' — 22„1+ 3 ь2 щ О Вводя новую независимую переменную р=Ь', перепишем (5.31) в форме р —,+ 1+ — — р — + — 1+ — — — — и=0.
Решение такого уравнения, растущее при р — ~ оо не быстрее конечной степени р, отыскивалось в п. 5.6. Условие существования такого решения — Й+ — — — 1 = — п„(п,„= 0,1,2,...) 21 2 2Х/ определяет энергетический спектр Е„„,~ = йв (1 + 2п„+ 3/2). Сравнивая с (5.30), видим, что и =1+ 2п„. Центральное поле и вне ямы — — ~т — ) — В' — ж В' = О. (5.33) 1 ($ / 2сИ;'1 1(1+1), 2 ~,) Рассмотрим вначале решения, соответствующие нулевому моменту; уравнение (5.32) принимает вид — ", (тВ*)+~' В'=О.
(5.34) Конечное при т = О решение этого уравнения: тъ1 я1п 1ст Во = а т Уравнение (5.33) при 1 = О принимает вид 12 — (тВ') — ж2тВ' = О. Его решение, убывающее при т ~ оо, имеет вид е Во=ив т о, и р — нормировочные постоянные.
Условие непрерывности логарифмической производной от тВ при т = а дает ЙсФдйа = — ж =— 2тбо — й. Ю Представим это уравнение в виде — седл = ~/Вз ~ — 1, (5.35) (5.37) Уровень энергии с заданным и может иметь разные значения 1, т.
е., как и в кулоновсюм поле, имеется случайное вырождение уровней по значениям момента. В отличие от кулоновского поля состояние с заданным и имеет определенную четность Р(и) = ( — 1)". 11. Рассмотрим состояние дискретного спектра частицы в поле сферичесюй ямы — разрывного потенциала У(т) = — бо (т < а), 0(т) = О (т > а). Сферическая яма представляет интерес как пример юроткодейству- ющих потенциалов, убывающих при т -+ оо быстрее любой отрица- тельной степени т. Полагая ,о2 2тп(Уо — 1Е1) 2 2т~Е~ а2 ~ л2 мы получим внутри ямы уравнение, совпадающее с УШ для свобод- ного движения с энергией Е' = — ~Е~ + Уо.' — — ~т — ~ — В' + й В' = О, 2И~~ 1 1(1+1) 1 2 з то а, ~ ,Ь ! Глава 5 О я 2л Зк 4к 5л бя г Рис. 14 подстановкой В'=т ~ Е(т) и введением переменной х = Ы сводится к уравнению (5.38) туг У ДУ 1~ 2~ + ~ +~~2 (1+ ы 4 где л = йа,  — борновский параметр, и рассмотрим его решение графически.
На рис. 14 правая часть (5.37) изображена при двух различных значениях В. Очевидно, уравнение не имеет решений при В< —.. 4 Таким образом, минимальная глубина У;„сферической ямы, прн которой появляется связанное состояние, связана с ее шириной соотношением л Ь Кшп— 8тпаг С ростом В график функции в правой части (5.37) проходит все выше при малых л, и первые корни уравнения приближаются к значениям л ~пи лг~г Уо — ~Е ~= и. 2таг Число связанных состояний с моментом 1 = О фк)-' — 1 < Ж(О) < (Як)-'+1 (где ~ = В ~~2) растет пропорционально корню из значений глубины ямы. Рассмотрим решение УШ при 1 ~ 0; уравнение для радиальной ВФ (свободного движения) ~ « ~„таЖ 1(1+и)„*+~~В. тг Йт ~ Йт / тг 4ентральное поле — уравнению для функций Бесселя с полуцелым индексом. Итак, В~ = от Л~.~~~з(1Я, -1/2 ще а — нормировочная постоянная.
Функции Бесселя .7~+~~г могут быть в явном виде выражены через элементарные функции. Общее выражение для нормированных радиальных ВФ: В~(т) = — — — — ' ". (5.39) Аналогично, вне ямы уравнение (5.33) подстановкой (5.38) превра- щается в уравнение для функций Бесселя мнимого аргумента (физические решения должны убывать при т -+ оо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
