П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Определение спектра Е' из условия непрерывности при т = = а в этом случае чрезвычайно сложно; ограничимся рассмотрением предельного случая очень глубокой ямы (Р~ << 1). В этом случае ВФ для низко- лежащих уровней вне ямы мала и приближенно можно положить у(а) = О. Тоща положение уровней над дном 8 р И ~ е Ь ямы определяется уравнением Рис.
15 .т,+,~,(Ы) = О. Порядок расположения уровней (от основного состояния): 18, 1р, 10, 28, 1~, 2р, 1я, 2И, И, 38. Схема расположения уровней (зависимость Е„+ Ц~ от 1) приведена на рис. 15. Вырождение отсутствует: значение энергии однозначно определяет величину орбитального момента. 12. Найдем функцию Грина (ФГ) для радиального уравнения Шредингера — ~ + [й~ — 'о(т)р'„= О, (5.40) ще введено обозначение и(т) = —,Щт)— Как и в п. 3.12, ФГ следует искать в виде произведения решений Дт), д(т') уравнения (5.40): ~( ) ~(")~("') т < "' С(т,т') = д(т)~(т'), т > т'. (5.41) Глава 5 Функция (5.41) будет ФГ, если будет выполнено условие И(д,~) = — д(т) — 5(т) ~ = 1.
Йг сЬ' С помощью ФГ общее решение неоднородного УШ .О, у(т) = С~(т), где Я(т) — некоторая функция, можно записать в виде ~(т) = щ(т) + С(т, т')Я(т') йт', о (5.42) (5.43) (5.44) где ср(т) и С(т, т') — общее решение и ФГ уравнения .О„у = О. Используя это соотношение, можно представить в виде интегрального уравнения и однородное УШ (5.40): <р(т) = у(т) — Со(т, т~)и(т~)д(т~) йт, о где введено обозначение (5.47) 1 С~(~,г) =— 1 т< 21+1 ~ т> и(т) = —, Цт), а Х(т), Со(т, т') — общее решение и ФГ радиального УШ для свободного движения ~Ъ ~~~ (+ ) (5.46) щя ~ .г Уравнение (5.45) будет использовано в гл.
9 при рассмотрении состояний непрерывного спектра в центральном поле. 13. Формулы (5.45) и (5.46) позволяют получить оценку сверху для числа Ж(1) связанных состояний с заданным значением1в поле с потенциалом У(т). Рассмотрим уравнение (5.46). При й = 0 линейно независимые решения, согласно (5.6), можно записать в виде Г(т) = т, д(т) = т Вронскиан вычисляется элементарно: И~= (1+1)т'т ~ — ( — 1)т~+~т (~+~) = 21+1. В соответствии с (5.41) ФГ есть Центральное попе ср~(т) = бЯт, т')и(т )ср~(т ) сКт .
о Рассмотрим потенциал уи(т), где 0 < у < 1. Если и(т) удовле- творяет условиям, полученным в задаче 3.8, — в частности, если и(т) < 0 всюду, то число связанных состояний Л'(1, у) будет возра- стающей функцией у: Ж(1, 0) = О, Ж(1, 1) = Ж(1), и энергия связанного состояния также будет возрастающей функци- ей т. Уравнение (5.45) принимает вид т ~ар~(т) = С~(т, т') ~и(т')~ср(т') й'.
(5.48) о Число .Ф'(1) равно полному числу состояний с нулевой энергией, появляющихся при изменении у от 0 до 1, т. е. равно числу СЗ у,. уравнения (5.48) в этом интервале. Ядру интегрального оператора в правой части (5.48) можно придать симметричную форму, положив Г~(т, т~) = ~и(т) ~ ° ~и(т') ~ С~(т, т ), Ф~(т) = Д~и(э)/ц~~т). Тогда (5.48) принимает вид "ц; ~Ф~(т) = Г~(т, т')Ф~(т') Ит'. о Оператор в правой части имеет симметричное действительное ядро, поэтому он эрмитов. Сумма СЗ эрмитова оператора, согласно п, 1.19, равна следу ядра: ОО ОО ~=1 о Так как в общем случае не все СЗ (5.49) лежат в интервале 0 < у; < 1, то Л'(1) < т~и(т) ~ сХт.
о (5.50) где т< и т> — меньшее и большее из т и т' соответственно. Ре- шения (5.47) не принадлежат Ь~(0, оо), поэтому (5.45) принимает вид 1Лава 5 2ЛВ+ 1 < В ~(ж)хдж. (5.51) о Коэффициент при борновсюм параметре В есть безразмерная юнстанта порядка единицы. Пренебрегая юэффициентами при В в правых частях неравенств (5.12) и (5.51), можно сравнить следующие из них оценки Л.
Зависимость Л~ч и Лв от В показаны на рис. 16. Видно, что неравенство Баргмана дает существенно лучшую оценку для Л при небольших значениях В < 5. При больших В лучше оценка Л м. ЗАДАЧИ 1. Доказать, что в стационарных состояниях частицы в кулоновском поле для оператора Рунге — Ленца (5.23) имеют место соотношения А1 = О = 1А, 1 + и~А + 1 = п~, где и — главное квантовое число. В приложениях часто неоГвоздимы средние значения величин т~ в стационарных состояниях частиць~ в кулоновском поле Рт, 1).
2. Вычислить -~, используя теорему вириала (2.18). 3. Вычислить т — з, используя теорему Хеллмана-Фейнмана (3.13). 4. Доказать рекуррентную формулу Крамерса Гьз — т" +(21+1)т" ~+й ~ — 1(1+1) г" з =О п2 для средних значений т". Это соотношение называется неравенствам Баргмана. Оно позволяет сделать некоторые выводы о дискретном спектре в поле с потенциалом и(т). Если при т — «О Л Лв ~и(т) ~ растет медленнее, чем т ~, то интеграл сходится на нижнем пре- 2 деле и число состояний с ВФ, локализованной вблизи начала координат, юнечно: у системы нет бесконечно глу- 1 боких уровней.
Если потенциал )и(т) ~ при т — «оо убывает быстрее, чем т 2, то интеграл сходится на верхнем пределе: в системе нет сколь угодно мелких уровней, соответствующих большим средним расстояниям частицы от центра. Из неравенства Баргмана следует также оценка для Л вЂ” максимального момента, при котором может существовать связанное состояние. Если У(т) = — Уо.г (т/а), то из (5.50) следует: Центральное иоле 5. Используя результаты двух предыдущих задач, вычислить средние значения ,.~:з б. Найти решение УШ для частицы в кулоновском поле при Б = О.
7. Определить средний потенциал электрического поля, создаваемый атомом водорода в основном состоянии. 8. Найти дискретный спектр частицы в поле 9. Найти решение УШ в поле с потенциалом 1Цг) = — Уо Показать, что при  — 1(1 + 1) ( 1/4 связанных состояний нет. Отметим, что граничное условие (5.7) в этой задаче неприменимо из-за сингулярности потенциала. Поэтому любое квадратично интегрируемое решение УШ будет описывать связанное состояние.
10. Случайное вырождение по 1 уровней энергии трехмерного осциллятора указывает на наличие сохраняющихся операторов, не коммутирующих с 1 . Найти эти операторы и их коммутационные соотношения с К и 1 . Потенциалами, рассмотренными в пп. 5.5, 5.11 и в задачах 5.8 и 5.9, практически исчерпываются случаи, когда УШ допускает точное решение при любых значениях 1. Для короткодействующих потенциалов мы ограничимся рассмотрением в-состояний. 11. Найти спектр в-состояиий частицы в поле Щг) = — Уое 12. Найти спектр в-состояний частицы в поле Щг) = Уо(е' — 1)-', 13. Рассмотреть предельный переход Ус -+ оо, а -~ 0 для сферической ямы в в-случае.
Найти условие, при котором в пределе остается одно связанное состояние заданной энергии. 14. Взаимодействие между нуклонами зависит от их спинового состояния. В триплетном состоянии взаимодействие можно описывать короткодействующим потенциалом притяжения с глубиной Ув -- 20 — ЗО МэВ и характерной длиной а т 2. 10 1з см. Найти Л вЂ” максимальное значение момента, при котором может существовать связанное состояние двух нуклонов. 15.
Используя результат задачи 5.7, оценить возможность устойчивого существования иона Н Глава 6 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД О. Точное решение УШ возможно лишь в небольшом числе случаев. Во многих задачах, однаю, гамильтониан может быть представленв виде Н = Но+а~', (6.1) причем уравнение ~" — = Но9 д<р И (6.2) (6.5) получим и Но "~~а,у( ) + У.~~) 'е~~~~(~) '~~, е '~~, Е( )ц,( — ) т=о допускает точное решение, а оператор возмущения еР в некотором смысле мал. Методы отыскания решений (приближенных) УШ с гамильтонианом (6.1) составляют предмет теории возмущений. В этой главе мы используем теорию возмущений для нахождения дискретного спектра Й и соответствующих собственных функций. 1. Пусть известны решения стационарного УШ Ноз =е ~р (6.3) Допустим, что СФ и СЗ уравнения йц =Е~ (6.4) можно представить в виде разложения по степеням малого параметра е: ц~ — ~~~» " е в=о Е,д —— ,,'~ е"Е(„"). (6.6) та=о Такой метод, при котором СФ и СЗ представляются в виде разложения по степеням малого параметра, называется теорией возмущений Рзлея — Шредингера.
Нумерация Е выбрана такой, что при е -+ О Е„„-+ е„,. Подставляя (6.5), (6.6) в УШ (Но + еУ)Ч,„= Е,„у,„, Теория возмущений и вариационный метод Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем (Х вЂ”,ж('))ц4) = 0, (6.7) з-1 у(0))~)~(з) + Д~(з-1) фз)~)~(0) + ~~~~ ~ фт)1~~(з — т) (6 8) В дальнейшем параметр е будем включать в оператор Р. Рекуррентную формулу для Е, получим, умножая (6.8) на щ„и интегрируя () (0)з по всем значениям аргументов: Я(з) = (т(0) 11~!т(з-1)) — 'С'Я(т)(т(0) 1т(з-т)) (6 9) т=1 Полагая в = 1, получим, учитывая (6.7), Я(1) (т(0) ~Цт(0) ) (6.10) Поправка первого порядка к энергии есть среднее значение возмуще- ния в состоянии д .
Определение высших поправок требует исполь- зования поправок к ВФ. Разложим у по невозмущенным СФ у (1) (считая, что НО имеет только дискретный спектр): (1) ~ (1) (О) =,. Ъ,%,. Подставляя (6.11) в (6.8) при в = 1, умножая на ~Ц' и интегрируя, находим (6.11) 7 П.В. Елютнн, В.Д. Крнвченков аЯ~ (е„— е,„) + (т~Цп) = (т~Цт)о,„„, (6.12) где введено обозначение (тать) — (ср Уср ) (6.13) Если СЗ не вырождены (е ф е„), то при т ф п формула (6.12) дает (ц (т~У~я) (6.14) е„— е,„ При т = о уравнение (6.12) удовлетворяется тождественно; если положить щ„= О, то ВФ (1) (1) (О) + ~' (тй ) (О) (6.15) е — е ™ (где штрих у знака суммы означает, что слагаемое с т = ть исключено из суммирования) будет нормирована с точностью до первого порядка по е. теория возмущений и вариаиионный метод Мнимые части всех а,„, влияющие на фазу у„„мы будем полагать (й) равными нулю.
При и +2 (2) ~ ~~ ~ [(т[р [и)! и а = [ — ~а~,ЯГ)в) .~. е а„„!. в Подставляя в выражение в квадратных скобках формулы (6,10) и (6.14), находим (2) 1 ~~ (т[Цй)(ЦРД (тЩт)(ЦЦт) а 1 —— 2 е~ — е,„еу, — е (е~ — е„„) Отсюда получаем окончательно выражение для ВФ второго порядка: (я) ~Г ~ ~ ~ (т[РД(ЦЦй) й (е~ — е )(е~ — е ) ' (~!И~)(~[И~) 1~ ~[(™М )! (62О) (е,— е ) 2 (е,— е ) в в 4. Индексы у Е„и у„в предыдущем изложении представляют собой, в общем случае, не просто номера энергетических уровней, а совокупность всех квантовых чисел, определяющих положение системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
