П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 18
Текст из файла (страница 18)
На линии Стокса для уь эта р= -И функция экспоненциально мала. Скачок коэффициента при экспоненциально малой функции не приведет к ухудшению асимптотики. Мы потребуем, чтобы асимптотическое решение (7.11) было однозначно во всей плоскости х. Будем искать формулы связи при переходе через линии Стокса в виде а+ -+ а++оа, (7.13) а -+ а + ра+. Коэффициенты а, Р называются параметрами Стокса. Направление Глава 7 120 линий Стокса определится условиями: ~р+: агц — з р(х) Нх = 2лп, у,: агя +г р(х) Их = 2лп,. (7.14) (7.15) Угол ~р, определяющий направление линий Стокса, будем отсчитывать от положительного направления оси х.
Найдем положение линий Стокса. Вблизи хь их можно считать прямыми р(х) ~ А~~х:х~ ~ ~/г ехр )з-1, ~ 2/ х р(х)их~~. ~ ехр (з — "). +2 +2 Используя условие (7.14), получим ЗЧ Я «-1 Я «2 бл 2 2 — — — = 2лв; д = —, <р з' з' Из условия (7.15) для линии [ — ] имеем — + — = 2лп; ~р1 — — л. Зр 2 2 Мы выбираем решения, для которых у Е 10, 2ф Аналогично, вбли- зи точки х2, выбирая в интервале Ьпж «1 «.1 д Е 1-л,ф найдем А В С «-1 2я «-2 2л — 1 — 1 р =0. Направления линий Стокса показаны на рис.
21. Параметры Стокса а, Р, у для линий, выходящих из точки х1, найдем, совершив обход вокруг этой точки. Используя формулы (7.13) и правило перехода через разрез (7.12), получаем а«.у++а у = 1а +р(а«+аа )) ехр( — гл/2)~р++ +(а++аа +у1а +р(а«+па )Ц ехр( — зл/2)у . Квазиклассическое приближение 121 о = р(х) сЬ.
Х1 В области С решение также должно убывать экспоненциально. Используя выражение щн через у2~ и совершая переход через линию [+112, в области С находим 1 .л у~ —— ехр( — гв)у2 + ~ехр ~ — з-+ив) +ехр ~ — г — — га)) у2. 2 ) ~ 2 Требуя обращения в нуль коэффициента при растущей функции у~~: ехр (-а-) (ехр (аи) -Р ехр (-аи)) = О, приходим к равенству а = л(п + 1/2). (7.1б) Действительное решение, экспоненциально убывающее в области А, Х _#_.л1 1 у 1 —— у1 ехр ~г-) = — ехр — р(х) (1х ~ 4е Ж1 приводит в области В к решению вида ун — — — сов р(х) с1х —— 1 /1 л~ =,М ~1 4! (7.17) Х1 Отметим, что все предыдущие рассуждения относились к случаю, когда импульс действителен только между двумя точками поворота. Приравнивая коэффициенты при у+, у, находим а= р = у = ехр Ы ~ 2/ Подчеркнем, что эти значения параметров Стокса относятся к случаю простого нуля функции т(х).
Построим теперь общее решение. В области А физическое экспоненциально убывающее решение дается функцией у . В области В решение определяется переходом через линию 1+111 и может быль выражено как через у~, так и через Ч~~ . арр — — Ра -еехр ( — а- ра —— ехр( — аи)Ра .Рехр — а- Ра ехР(аи). 2а( 2а( Здесь введено обозначение Глава 7 122 Р П,— 2" ч~Р(*)1"* — —. 2РР 2 (7.22) 3. Полученное из формул связи соотношение (7.1б) в обычных единицах имеет вид *г р(х)йх= ей~ ив--) .
(7.18) Жг Это есть правило квантования Бора — Зоммерфельда, известное из старой квантовой теории. Значения Е„, вычисленные с помощью этой формулы, мы будем назь|вать ВИсепектром. В тех случаях, когда дискретный спектр гамильтониана удается определить точно, между точными СЗ Е„и вычисленными методом ВКБ значениями Е„' можно установить соотношение Ее = Е„1+0 (7.19) Таким образом, значения ВКБ-спектра дают хорошее приближение для высоких уровней. Собственные значения уравнения (7.1) могут быть представлены в виде Е Е' +~2 +о© (7.20) Выражение для р„было найдено Масловым'. Если в окрестности минимума потенциала У(х) величина Г" (х) = О, то при малых гг Е„' = ОЯ), н„= 0(1). Таким образом, формула Бора — Зоммерфельда дает хорошее приближение и для низколежащихуровней, если ~2 «1.
(7.21) Неравенство (?.21) является условием квазиклассичности потенциала У(х) в смысле близости точного и ВКБ-спектров при любых значениях гг. Приближение ВКБ называется квазиклассическим потому, что при выполнении условия (7.21) квантовый масштаб действия Ь мвл по ерввнению о величиной о = и'2 же оввв, хврвнтеривующей потенциал. Заметим, что рассмотрение потенциальной ямы в пределе, противоположном квазиклассическому (~~ >> 1), приводит к задаче о Ь-яме, рассмотренной в гл, 3. Рассмотрим потенциальную яму У(х) такую, что У(х) ( О, У+ — — У = О. Тогда с ростом энергии точки поворота будут удалятьс я на бесконечность. Номер наивысшего связанного состояния .Ф определится из условия Квазиклассическое приближение 123 Эта формула дает оценку для числа связанных состояний.
Отметим, что .Ф' с ~. Неравенство Баргмана (5.50) можно при 1 = О рассматривать как оценку для числа связанных состояний с четной ВФ в четном потенциале У(х). Поскольку уровни различной четности чередуются, то Ф' < 2 + ~ 2 Щх) [ 2-. с1у. (7.23) хх х 1 = А~ р ~(х) соя~ р(х) сЬ вЂ” — Их. Х1 Х1 При больших и можно заменить быстро осциллирующий квадрат косинуса его средним значением. Таким образом, находим А~ =2[[ — ] (7.25) х1 о Это неравенство дает оценку Ж с ~; для квазиклассического случая (с~ (( 1) оценка (7.22) значительно лучше. Отметим, что интегралы в правых частях (7.22) и (7.23) сходятся при одинаковых условиях: при х -+ оо [Дх) [ = о(х Я), при х -+ О 1" (х) = о(х 1), Величина в левой части равенства рАх = ай (п.~- -) ~7.24) определяет объем фазового пространства, охваченный классической траекторией. Поэтому, основываясь на равенстве (7.24), говорят, что одному связанному состоянию в фазовом пространстве соответству- ет объем ай на одну степень свободы.
4. Рассмотренные выше ВКБ-решения для дискретного спектра не были нормированы. Рассмотрим нормированные ВКБ-функции для состояний дискретного спектра с большими и. Так как вне клас- сически доступной области ВФ экспоненциально убывает, то основ- ной вклад в нормировочный интеграл будет вносить область между точками поворота. Можно потребовать, чтобы х2 А унуйдх = 1, Х1 где А — нормировочная постоянная, а щ определяется форму- лой (7.17): 124 Глава 7 Вблизи точек поворота нормированная плотность вероятности в квазиклассическом приближении имеет вид Х2 ы(х) = у'уы ~/Š— У([~ ~/Š— У(~] Ж1 Определим теперь классическую функцию распределения вероятностей в одномерном случае И~(х) следующим образом: И'~х)дх есть отношение времени, в течение которого частица находится в интервале дх, к периоду движения. Тогда хз И~(х) = ъ — 0Я ~ Л вЂ” ~Я1 Таким образом, вблизи точек поворота в классически доступной области ВКБ-функция распределения ш(х) стремится к классической функции распределения И'(х).
В рассматриваемом нами случае больших о существует связь между величиной нормировочных постоянных А„и видом энергетического спектра Е(п). Дифференцируя выражение (7.18) по л, получаем яй= ~ — "дх = ~ — — "дх. 1' ир„Г ар„ы„ ь ~ы. ь Так как по определению р~ = 2т~Ж~ — У(х)~, то йЕ„р Ир т Таким образом, равенство (7.26) принимает вид зг Ве„1 их 7й = т— Й~ Ж1 Интегралы в правых частях (7.25) и (7.27) совпадают. В итоге приходим к соотношению )я 2ш ЙБ„ (7.28) кй йь ' связывающему нормировочный коэффициент ВКБ-решений со свойствами спектра. 5. Рассмотрим ВКБ-решения УШ для состояний непрерывного спектра.
Пусть частица находится в поле потенциального барьера Квазиклаееическое приближение 125 У(х) с энергией, меньшей максимального значения У(рис. 22). Такой случай соответствует задаче о подбарьерном прохождении. Пусть при х > хь р(х) = ~р(х)~. Тогда импульс р(х) можно представить в виде р(х) = С(х) (х — х1)(х — х2) .
Здесь С(х) — функция без нулей. Найдем направления линий Стокса из точек х1 и хя. У точки поворотах1 р(х) ~ Се ~х — хе) ехр(ееихе — х) С~еегехр (е ) ~ + е11, ~2 2// р~х)~Ь~г ~ ехр (е (-~- — )). Ж1 Отсюда находим направления линий Стокса: +я 4к 3 (Р1~ = 2К +1 Π— 1 2Я 91 = — > У точки поворота хя импульс р(х) можно представить в виде р(х) ~ егерях — хе Се /теге)~. Направления линий Стокса в точке хз.
'1|п х Ч2 3 Ч2 — Ч)2 3' Направления линий Стокса показа- ны на рис. 22. При решении одномерного УШ Рис. 22 для состояний непрерывного спектра мы отыскивали решения, асимптотиками которых при х -+ ~со являлись ВФ свободного движения — одномерные волны ехр (за). ВКБ-решения аналогичны ВФ свободного движения на сопряженных линиях Стокса — линиях, на которых Х 1п~ р(х) Их = О. (7.29) В нашем случае сопряженные линии Стокса совпадают с лучами вдоль действительной оси х > хз и х < х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
