П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Используя разложение (6.40), получим х= 2 )аа) (Я~ — е) = (ло — Й) ~- 2 $аа$ [(Ва — е) — (еа — е) ] . Используя независимость вариаций амплитуды и фазы, получим, приравняв нулю второй интеграл в (6.38): е'~ЙОе '~ = е '~ЙОе'~. (6.39) Подставляя (6.39) в первый интеграл, получим Ну= Ь~ — стационарное УШ, где множитель Лагранжа Х = Е есть собственное значение Н. Доказательство завершено. 9. Разложим произвольную квадратично интегрируемую функцию по СФ Й: Теория возмущений и вариационный метод 107 Если пробная функция выбрана так, что Е ближе к Ео, чем к энергии любого другого состояния, то 1 > .Ео — Е Поэтому, учитывая, что по определению Ег Ег получаем неравенство Е >Е Е2 Ег (6.45) 10.
Практически неравенство (6.41) используется для определения энергии основного и первых возбужденных состояний. Выбирается пробная функция е(х, а;), где а; — набор параметров, вычисляется Е(а;) и отыскиваются значения параметров, минимизующие Е, что приводит к уравнениям — =О. дскб Такой метод называется прямым вариаиионным методом Ритца. В качестве простого примера рассмотрим вычисление энергии основного состояния гармонического осциллятора (Ь, т, в = 1) Н= — (р +х). Среднее значение энергии ) [*'е'(*) — е(*) е" (*)] и* Е (~) Тв'(у) ь 00 Выбирая пробную функцию-в виде Е(х, а) = Ь-'( ), (6.46) получим (6.47) Это выражение достигает минимума при аг = к/2; соответствующее значение Е(а) = к/б = 0,523 мало отличается от точного значения: Е = 1,05 ° Ео. Другие примеры приведены в задачах к этой главе.
При вычислениях вариационным методом энергии возбужденных состояний следует учесть требование ортогональности Гпава б Иногда выполнение этого требования облегчается свойствами симметрии: например, основное состояние частицы в поле У(х) = = У( — х) описывается четной функцией, поэтому при нечетной 61 (х, а) требование (6.47) выполняется автоматически. ВФ основного состояния при х -+ ~=со убывает (по модулю) не медленнее экспоненты; поэтому можно использовать (при большом числе связанных состояний в поле) в качестве ВФ первых возбужденных состояний систему полиномов, ортогональных с весом Вой(х). Коэффициенты полиномов будут однозначно определяться требованием ортонормированности: поэтому точность результатов будет ухудшаться с ростом и. Если Ео — значение энергии, вычисленное с помощью пробнои (а) функции ср(х, а), а пробная функция Ф(х; а, )3) такова, что при некоторых значениях ~3о ф (О 10 х) 9 (О х) то за счет расширения класса конкурирующих функций всегда будет выполняться неравенство ф~«, В) < Е(а) о о .
Отметим, что отличие нормированной пробной функции от точной (квадрат нормы их разности в 1 я) того же порядка, что и относительная точность СЗ, полученного вариационным методом. 11. Воспользовавшись прямым вариационным методом, найдем условия существования связанного состояния при одномерном движении в поле с четным потенциалом У(х). Ограничения для этого потенциала будут получены ниже.
Используем пробную функцию 8(х, Р) =1 — Р~4 (Р>О, )4<Р '), 0(х, )3) = О (~х~ > )3 ). Тогда вариационный функционал (6.43) можно представить в виде а-1 ЕО3) = -~3 2~3+2 У(х)(1 — рх) йх . (6.48) о Еслиприх -+ О У(х) = о(х 1),топри)3-+ оопервыйчленвскобке неограниченно возрастает, а второй стремиться к нулю. Поэтому при достаточно больших )3 ЕО3) = 6)3' > О.
Выражение (6.48) можно переписать в виде Еф) = -13(213+2Мо — 413М1+213 Мя — ~03)); Теория возмущений и вари аиионный метод где интегралы Мь — Цх)хьюг о предполагаются сходящимися. Тогда 1пп Я3) = 1пп У(х) (1 — !3х)~.дх = О. р-1 Таккаквточке!3 = 0 Е(!3) = О, Е'О3) = ЗМо,топриМо < Овнекоторой окрестности точки !3 = О ЕЦ3) О. Из непрерывности Е®) и ранее доказанной положительност Е(!3) при больших !3 следует существование !3; таких, что ЕО3;) = О. (6.49) Пусть |3д — наименьший положительный корень (6.49); между двумя нулями !3 = О, !3 = !3г функция Е(!3) отрицательна, а ее производная имеет по меньшей мере один нуль, соответствующий минимуму.
Таким образом, верхняя граница энергии основного состояния отрицательна. Следовательно, в поле с четным потенциалом Цх), удовлетворяющим условиям МО < Оь !Мг! < сои !М2! < ооь всегда существует связанное состояние. 12. Прямой вариационный метод связан с теорией возмущений. Из (6.10) следует, что вычисление поправки первого порядка к уровням дискретного спектра есть вычисление .Е с ВФ невозмущенного уравнения в качестве пробной функции, Очевцдно, это не наилучшая пробная функция. Вычисление поправок второго и более высоких порядков в общем случае сводится к суммированию бесконечных рядов (6.16).
Приближенное вычисление может быть проведено с помощью вариационного метода. Пусть НоЧ =Е. Ч . Для определения СЗ гамильтониана Й = Йо + Р выберем пробную функцию в виде Ч = 9т+Хп > где у выберем ортогональной к ~р; этому условию можно удовлетворить, выбирая У = ~ а~лРь.
ьуьа Глава б Вычисляя среднюю энергию .Е, получим Š— ЕСО) = Е( ) + 2(р МХ ) + (х !~ ~ !х ). (6.50) д. ~ко 1+!!х !! Опуская члены третьего и более высоких порядков малости, получим Е(о)+Ер)+2(~р !1г!) )+(~ !Н Е~о)!~ ) (65ц Условие стационарности правой части выражения (6.51), накладываемое вариационным принципом, приводит к уравнению (Йо — Е~ ))у + Кср = Е~ )ср .
(6.52) Сравнивая с формулой (6.8), находим, что т, = у~ — поправка (1) первого порядка к ВФ. В тех случаях, когда решение (6.52) или, что то же самое, вычисление суммы (6.16) затруднительно, приближенное значение Е„„может быть получено минимизацией функционала в (г) правой части (650). 13. Иногда для оценки СЗ системы с гамильтонианом Н = Т+ + ) 0'; пробную функцию удобно выбрать в виде линейной комбинации СФ частей полного гамильтониана (например, СФ операторов Н; = Т + О;).
Такой подход называется методом линейных комбинаций. Положим и Оь = ~~ аь,д; (х). з — 1 Тогда 2 ~2, а~„амНи Еь(а~;) = (6.53) (6.54) Последний интеграл не обязательно равен бп. Пусть, например, Н = = Т+ 01(х) + Уг(х). Тогда функции у1 и уг, описывающие (о) (о) основные состояния систем с гамильтонианами Й1 = Т + Г~ и Йг = Т+ Ог, не имеют узлов и Я1г заведомо не обращаются в нуль. Вариационные параметры находятся из условий стационарности.Е: — = 0 (1 < з < п).
да; Теория возмущений и вариационный метод Эти условия дают а однородных линейных уравнений ~~) (Нч — ЕЯ2) а1 = О. (6.55) 1=1 Условие их совместности — равенство нулю детерминанта системы (6.55) — дает уравнение и-й степени, 11 действительных корней которого являются приближенными значениями энергии. Коэффициенты аь1, аь2, ..., аь„определятся подстановкой Еь в (6.55) и дают уь — ВФ состояния, обладающего энергией Еь. <о) Отметим, что если в качестве д; использованы произвольные ортонормированные ВФ, соответствующие вырожденному с кратностью 11 состоянию с энергией Ео, то Н" = Ео, ~;ь = б;ь и условие совместности (6.55) приводит к секулярному уравнению (6.25) теории возмущений с вырождением.
Рассмотрим случай и = 2, Тогда уравнения (6.55) имеют вид а1 (Ны — ЕЯ11) + а2 (Нгя — Е512) = О, а1 (Н12 Е~12) + о2 (Н22 Еэ22) = О. Детерминант этой системы есть ВеС (Е) = (Нг1 — ЕЯ11) (Н22 — ЕЯ22) — (Н12 — ЕЯ12) Введем обозначения: Е1 = ~ Е2= ф Е2) Е1. Нп Нгг 511 Бгг Тогда Е)(Е, Е) (Н вЂ” Е~-) Бы Бгг Бп Бгг В силу неравенства Коши Я118я2 Ъ 51~2, поэтому при достаточно больших.Е РеС(Е) > О, а при Е = Е1 и Е = Е2 ВеС(Е) с О. Следовательно, один из корней уравнения РеС (Е) = О лежит при Е < Е1, т. е. ниже нижнего невозмущенного уровня, а другой— при Е ) Е2, т. е. выше верхнего невозмущенного уровня, Таким образом, учет возмущения методом линейных комбинаций приводит к отталкиванию уровней, 14.
Используем изложенные приближенные методы для решения задачи об одномерном движении частицы в поле с периодическим потенциалом 1'(х). Рассмотрим случай сильной связи, когда ВФ ча- стицы локализована вблизи минимумов потенциала К(х). Найдем уровни энергии частицы в поле с потенциалом К(х) = ~ У(х — оа), Глава б считая известными СФ и дискретные СЗ уравнения а' ~'<р НОд = — — — ™+У(х)~р =Е д 2т дх~ Пусть ЕΠ— энергия одного из уровней гамильтониана ЙО. Используем метод линейных комбинаций. Выберем пробную функцию в виде (6.57) (659) (6.60) ч(х) = ~ А Ч(х — ) (6.56) Функции я) (х — оа) удовлетворяют уравнениям л2 — — ~» (х — па) + У(х — па)р(х — иа) = Еор(х — аа) .
2т Используя равенство (6.55), получаем систему уравнений ~ Аи (Н „- ЕЗ .) = О. В силу периодичности потенциала интегралы перекрытия Я зависят только от разности т — п. Матричные элементы Н „удобно представить в виде Н „=ЕОЯ „+Ь где введено обозначение = ~у~х — та) ~ Г~х — па)Х(х — пх) Их. и'~и Таким образом, система (6.57) принимает вид ~~~, Аи [Ьт — и — (Š— ЕО) Ври — и1 = О.
(б 58) Поскольку потенциал К(х) периодический, можно потребовать, чтобы пробная ВФ у(х) удовлетворяла теореме Блоха (см. п. 2.12): у(х+та) = е'~ ~у(х). Для этого должны выполняться равенства 1 зйиа и Тогда из формулы (6,58) следует: уп х ъйар )р)е Е =ЕО+ Р здесь введен новый индекс суммирования р = и — т. Теория возмущений и вариаиионный метод 113 (6.62) 8 П.В. Елютин, ВД.
Кривченков Если период потенциала а больше характерной длины спада функции ~р(ж), то с ростом ~р~ значения Л„и Я„быстро убывают. Это и соответствует предположению о сильной связи. Учитывая, что Яо = 1, и пренебрегая Я„при ~р~ > 1 и Ь,„при ~р~ > 1, получим выражение для энергетического спектра Е(й) = Ео+Ьо+261совйа. Таким образом, в случае сильной связи энергетический уровень одиночной ямы Ео превращается в зону ширины 4Ь1, расположенную в окрестности уровня одиночной ямы. 15. Рассмотрим задачу об одномерном движении частицы в поле с периодическим потенциалом в случае слабой связи, когда в качестве ВФ нулевого приближения можно использовать ВФ свободного движения. Развитые в этой главе методы непригодны для определения СФ и СЗ непрерывного спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
