П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Собственные значения энергии определяются из условия квантования для радиальной компоненты нх = к~ (и, ~- -) . Отметим, что для любых несингулярных потенциалов квазиклассическое радиальное УШ имеет по крайней мере одну действительную точку поворота при любых энергиях, так как даже в в-случае центробежный потенциал отличен от нуля. 1. Показать, что ВКБ-решение применимо тем ближе к действительной точке поворота, чем больше в ней У'(х). 2. Найти ВКБ-спектр гармонического осцилллтора. 3.
Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале Морза У(х) = Уо(е* ' — 1) . 4. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале У(х) = — Уо сЬ ~(х/а). 5. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале У(х) = Ио$8 (кх/а), ~х~ ( а/2. б. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале ,г У(х) =Ус( — — -), х>0. ~х а 7. Найти ВКБ-козффнцненты ЩЕ), В(Е) в поле с потенциалом У(х) = — — х, оно г 2 Использовать приближение Кембла Сравнить с точным решением.
8. Разложив потенциал У(х) = Уо с1т (х/а) Квазиклассическое приближение до членов з~, найти ВКБ-юэффициенты Р(Е), В(Е) при Е и Уо, используя результат задачи 7.7. Сравнить с разложением точного решения при г,~ << 1. 9. Найти ВКБ-юзффициент В(Е) для частицы в поле оз У(ж) = Уо с2+ .2 Рассмотреть случаи Ус > О, Ус < О. По принципу построения формул связи ВКБ-приближение пригодно для решения УШ только с аналитическими потенциалами.
Однаю в ряде случаев для оценки коэффициента подбарьерного прохождения Р(Е) можно использовать и разрывный потенциал, так как интеграл в показателе экспоненты (7.31) нечувствителен к наличию разрывов. Для рассмотрения надбарьерного отражения использование разрывных потенциалов недопустимо. 10.
Оценить ВКБ-коэффициент прохождения Р(Е) в поле с потенциалом (рис. 25) и(*) -Ц, (* < О), У(ж) ~ — Рж (ж > О). Такой потенциал представляет интерес для описания холодной эмиссии электронов из металла в электричесюм поле напряженности Е. Величина Уо соответствует работе выхода. Рнс. 2б Рнс. 25 11. Показать, что для радиального УШ в сферических координатах использование точной юнстанты разделения Ас = 1(3 + 1) и преобразования Лангера р(т) =1пт приводят к тому же ВКБ-решению, что и преобразование Пономарева (7.45).
12. Найти ВКБ-спектр частицы в кулоновсюм поле. 13. Найти ВКБ-спектр сферического осцнллятора й)= 14. Показать, что в квазиклассическом приближении условие существования связанного состояния в поле У(т) = — ~ т~ совпадает с точным. 15. Найти условие ВКБ-квантования для уровней энергии в потенциале, имеющем вид двойной ямы (рис. 26). Глава 8 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ О.
Многие физические свойства веществ определяются в конечном счете кулоновским взаимодействием электронов и ядер. Поэтому задачи о спектрах систем заряженных частиц представляют большой интерес. Простейшая задача о спектре частицы в кулоновском поле была рассмотрена в гл. 5. В этой главе мы рассмотрим более сложные случаи, используя приближенные методы. 1. Рассмотрим расщепление уровней атома водорода в однородном электрическом поле (эффект Штарка). Пусть напряженность поля такова, что энергия расщепления мала по сравнению с разностями уровней невозмущенного спектра, но велика по сравнению с энергией спин-орбитального взаимодействия (см.
гл. 10). Потенциальная энергия в атомной системе единиц имеет вид У(г) = — -'+Р . (8.1) Так как функция У(г) инвариантна относительно вращения вокруг оси л, то проекция 1, является интегралом движения (см. п. 3.8). Далее, при отражении в плоскости, проходящей через ось ~, проекция 1, изменяет знак, а функция У(г) остается неизменной.
Следовательно, стационарные состояния, отличающиеся только знаком проекции момента, имеют одну и ту же энергию. Невозмущенные стационарные состояния атома водорода вырождены с кратностью тР. Если в качестве базиса при вычислениях по теории возмущений выбрать общие СФ операторов Но, Р и 1„то при заданном значении т для отыскания первой поправки к энергии надо решить секулярное уравнение степени (и — ~т~). Задачу можно упростить, если в качестве базиса взять другие функции, симметрия которых соответствует симметрии У(г).
Характер потенциального поля таков, что начало координат является выделенной точкой, а направление электрического поля— выделенным направлением. Такой симметрией обладает параболическая система координат, если фокус семейства параболоидов вращения поместить в начало координат, а ось вращения направить вдоль оси л. В этом случае х = Д~соз~р, р = Д~зшу, л = — Я вЂ” ц). (8.2) Такая система координат ортогональна. Квадрат длины дуги 135 Электрическое поле определяется выражением 1 2 ~+6 Ц2+ ~+6 1 2+~ 1 2 4~ 4п а элемент объема дT = —" Ис,й1 сйР. 4 Уравнение Шредингера имеет вид — — Ч+ — К вЂ” $7) Ч = ЕЧ/ (8-3) 2 Р ~+ч 2 Разделим переменные, полагая Ййф у = и1 (~) и2 (г1)— /2к (8.4) Тогда уравнения для функций и1 и и2 примут вид , + — +~ — — — — с — — с +11 и1=0, (8.5) с1ги1 Ии1 / т ~Е~ Р 2 ~Цг сЦ ~, 4~ 2 2 + + — — — — и+ — п + Х2 и2 = О.
(8.6) с1гиг сЬг ш ~Е! Р 2 ~1лг сЬ1 ~ 4п 2 2 Константы разделения Х1 и Х2 удовлетворяют условию Х1+Х2 = 1. (8.7) Мы будем искать поправки к энергии в первом приближении. Положим в уравнениях (8.5), (8.6) Г = О и найдем невозмущенные ВФ в параболических координатах. Число поверхностей, на которых ВФ обращается в нуль *, зависит от значения .Е (Е = -1/2п2), а не от вида системы координаг.
Если обозначить через п1 и п2 число нулей функций и1 и и2, то п1 + п2 + ~т~ + 1 = и. (8.8) Числа п1 и п2 называются параболическими квантовыми числами. Так как оператор г Х =ж — +— ~Ьг ~Ь эрмитов на полупрямой (О, оо), то решения уравнений (8.5) и (8.6), соответствующие различным значениям п1 и п2, ортогональны. При п1 фп1 и1 (~; п1, Е, т) и1 ф п1, Е, т) сЦ = О. (8.10) 136 Глава 8 Из ортогональности функций и1, и2 и из условия ! У 'й1+П2 =П1+П2 следует, что недиагональные матричные элементы оператора возму- щения равны нулю: (П1 'й2 ')'П~Е2'~П1 П2 ~2) = =Ции(Д»)и',и»»)»» — эУ )и (зУ)И, (Ц)Р— ~=0. »8.11) Следовательно, при нахождении поправки Е( ' отпадает необходи- (1) мость решать секулярное уравнение: найденные ВФ в параболических координатах являются правильными в смысле п.
6.4. Найдем поправки к значениям энергии уровней атома водорода: ,У Я (~) Я ()(~Я а) ~~,1 2 ~ и~, (~) м~ (ч) (Ц+ ч) сЦ<ь) Подстановками П1 Й) = Е11 (Р1) /Р~ 'и2 (Ч) = %2 (Рг) ~/Р2 (8.13) где (8.15) 1»1п = п1 +, Х2п = п2 + 2 2 р; = — ~ЗХ;и :1 1 Р 2Х;п (8.17) (8.18) (8.19) Р1 = -„Рг =- ч (8.14) уравнения (8.5), (8.6) можно привести к виду (5.15): 4 4Р» / Полагая функции Л; нормированными условием Д2 2~1 мы представим выражение для поправки к уровням в виде ф1) ~ Р1 Рг Р1 Р2 (8,16) 2 Р1 Ря Из полученных в гл. 5 результатов (см. (5.5) и задачи 5.3 и 5.5) следует: Электрическоегюле 137 — з с~ = — — и (п,1 — пг) . 2 2. При о1 = пг линейный эффект Штарка отсутствует. Вычислим поправку к энергии во втором приближении (квадратичный по полю эффект Штарка), ограничившись случаем основного состояния 1п = 1). Из теории возмущений Рэлея — Шредингера следует, что по(ц правка первого порядка к ВФ у1 должна удовлетворять уравнению < — -Ь вЂ” — + — 1 у~Ц = — Гл —.
(8.21) 2 т 2 ° 1~/ ~/к Решение этого уравнения имеет вид у~) =Ел — +1 — е ". (8.22) Поправка к энергии второго порядка выражается через поправку к ВФ первого порядка соотношением Е~г) = (црл (6)дт Вычисление интеграла приводит к результату Е~г) 9~2 (8.24) 4 Как всегда, поправка второго порядка к энергии основного состояния отрицательна. Приведем без вывода общее выражение для поправки второго порядка '.
Я~~~ = — — п~ [17в~ — 3 (п~ — пр) — 9т -~- 19~ . (8.25) 16 (8.23) Подставляя эти формулы в выражение (8.16), получаем Е~ ) = -Рп(ги — пг). (8,20) 2 Итак, в первом порядке теории возмущений (в линейном по полю приближении) уровень энергии с главным квантовым числом и, расщепляется на 2п — 1 компонент. Расстояние между крайними компонентами ЬЕ = ЗРи (п — 1). Поскольку кратность вырождения невозмущенного уровня равна пг, то линейный эффект Штарка снимает вырождение не полностью.
ВФ, определяемые параболическими квантовыми числами о1, пд, ти, несимметричны по отношению к плоскости л = О. При н1 > пг большая часть плотности вероятности электрона расположена в области положительных значений л, В стационарном состоянии с квантовыми числами п1, пг, т средний дипольный момент атома водорода равен Глава 8 138 Отметим, что поправка второго порядка оказывается отрицательной для состояний с любыми значениями пл, л,з, т.
Линейный по полю эффект Штарка связан с существованием стационарных состояний с отличным от нуля значением среднего дипольного момента. Такие состояния можно получить толью при наличии случайного вырождения и толью в кулоновсюм поле. В общем случае в отсутствие случайного вырождения уровней энергии по 1 ВФ системы обладают определенной четностью и средние значения дипольного момента в стационарных состояниях равны нулю.
Поэтому в общем случае сдвиг уровней энергии в электрическом поле определяется поправками второго порядка (8.26) Тензор а,.ь есть поляризуемость атпома во внешнем электростати(тх) ческом поле. Представив гамильтониан в виде Я=но-Р1> где й — дипольный момент атома, и используя равенство (3.13) ) ав.
(и для средней компоненты дипольного момента атома получим Из (8.24) следует, что поляризуемость атома водорода в основном состоянии а;; = 9/2 (в атомных единицах). 3. Рассмотрим задачу о движении электронов в поле двух кулоновских центров 1 и 2, находящихся на расстоянии В друг от друга (рис. 27). Такая модель используется, например, $ ~ для описания молекулярного иона водорода Н~~. Применительно к этому случаю рассмотрим вычисление энер- 1 В 2 гии основного состояния электрона в поле одинаковых центров с зарядами Рис. 27 Я~ = Я'з = 1.
Используем метод линейных комбинаций, изложенный в п. 6.13. Вблизи каждого из ядер поле близко к чисто кулоновскому; положим О( ) =амо( )+ В( ъ) где до(г1) — нормированная ВФ основного состояния атома Электрическоеполе 139 е~ е~ г (' Н11= — — — — е ~ Я 2 Н =Я ~~ — — — ~~ — е ~~ В гао — %0 (т1) ат, 2 р'2 — ао (т1) цо (тг) йт.
р2 Для вычисления интегралов удобно использовать конфокальные эллиптические координаты, определяемые соотношением (8.29) где <р — азимутальный угол. Элемент объема в этих координатах есть а1~ = — (~~ — ц~) сЦсЬ~сйр Тогда 512 = 1+у+ -р ~ е 1 Д з ) Н = — е ~- — — (1+ р) е ~, е = —, ~1 ~„1 г ~г р ао й 1'1 Н12 = е ~ ~ ~12+(1+У)е 2 Р (8.30) водорода в атомных единицах до(г) = — е 1 ,/к Гамильтониан системы имеет вид ие е 2 2 Н= — — Ь вЂ” — — —- — + — р 2рп рт рр В где  — расстояние между ядрами, т1 и тг — расстояние электрона от первого и второго ядер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
