П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для быстрых частиц вклад в интеграл (9.24) дает не областые 1, как в случае рассеяния медленных частиц (изотропного), а область ЬО т ~. Поэтому 9(1)(й г) 2УО Ч( ) и борновское приближение применимо при условии В « 1(т (т » 1). (9.26) Таким образом, ограничение на величину В, характеризукпцую потенциал, гораздо слабее для быстрых частиц. Достаточным условием применимости борновского приближения является сходимость ряда (9.20). Существенным недостатком борновского приближения является действительность амплитуды ~(О), несовместимая с оптической теоремой (9.11). Иными словами, в борновском приближении область, в которой потенциал Цг) заметным образом отличен от нуля, действует как источник частиц.
5. Рассмотрим приближенный метод для вычисления амплитуды рассеяния частиц высокой энергии В» ~о. (9.27) При этом условии потенциал У(г) можно рассматривать как возмущение, Представим ВФ в виде ~(й,г) = е' Ф(г), (9.28) где Ф(г) — амплитуда, медленно меняющаяся вдоль оси я (дФ/сЬ « « Й). Подставляя (9.28) в УШ и сохраняя толью главные члены, получим уравнение первого порядка 2~й — = —, У( )Ф.
Решение (9.29), имеющее асимптотикой при л -+ — оо плоскую волну, есть 154 Глава 9 Так как рассеяние быстрых частиц происходит преимущественно на малые углы, то вектор переданного импульса можно считать перпендикулярным к импульсу падающей частицы: — йс'г+ гйл = й~,~р + г(йл сов  — йл) = щр. Здесь р означает вектор в плоскости ху. Итак, Х(6) = — ™ Гфе'~"' Г сЬУ(г)ехр~ — ~™ Г У(г)сЬ . 2лЮ ~ Юй Интегрирование по л приводит к выражению ДО) = — — е"~'(е ' 1~) — 1) ф, 2л ~ (9.31) ЙР) = — ™~ У(г) сЬ. В центральном поле фаза Ь зависит лишь от величины, но не от направления вектора р.
Введем в плоско- ~2 М сти хр полярные координаты р, ~р. Тогда, учитывая соотношение в 1 е" М~р = 2я.Хо(х) о о т в формуле (9.31) можно произвести интегрирование по ~р. Окончательное выражение имеет вид ДО) = — ай Р.Хо 2йр аш — (е2"Ы вЂ” 1) Нр. (9.32) о Выражение (9.32) называется приближением Мольера' для амплитуды рассеяния. Условие применимости метода в безразмерных переменных имеет вид Рис. 32 т)) 1, В((т2. (9.33) Из сравнения с (9.26) видно, что для описания рассеяния быстрых частиц приближение Мольера имеет область применимости большую, чем приближение Бориа.
Области применимости приближений Бориа и Мольера ограничены на рис. 32 сверху кривыми В Рассеяние 155 (9.3б) и(т) Х й — — —— 2й 2Втг и М соответственно. Борновскому приближению соответствует случай, когда показатель экспоненты в (9.31) мал: — Уса= В.г ~ «К1. ~г~, Раскладывая экспоненту в (9.31) до линейного по Ь члена, возвращаемся к (9.21). 6. В предыдущем изложении основную роль играли базисные СФ импульса — плоские волны.
Другой часто используемый базис— общие СФ операторов р2, 1', Т, — сферические волны. Радиальное УШ для свободной частицы с моментом 1 имеет вид В качестве независимой пары решений (9.34) можно выбрать сферические функции Бесселя Яйт) и Неймана гг~(йт) Л(~) = — А+тд(~), ~И(~) = — ~%+~~2(~) 2Л 2г или же сферические функции Ханкеля 1-го и 2-го рода Ь,+,(4 = ЗЮ(4 ~ гтрк(4. При л » 1, л > 1 справедливы асимптотические формулы ( ) ) ( ) — . (9.35) Асимптотики ВФ непрерывного спектра частицы с моментом 1 в центральном поле Б(т) также можно представить в виде, аналогичном (9.35). Рассмотрим ВКБ-решения: они заведомо дают хорошее приближение на больших расстояниях от точки поворота.
Напомним, что вещественная точка поворота существует в любом потенциале Б(т) таком, что при т — ~ Π— и(т) < (2т) 2. ВКБ- решение, согласно (7.45), есть щ~(т) — — аш ~ Й вЂ” — — и(т) Йт+ — . к~ т Уг 4~ ~о Выберем некоторое т~ так, что Й » —, +и(т~). г Тогда при т > тт подынтегральное выражение можно представить в виде 156 Глава 9 и асимптотика функции (9.36) может быть представлена в виде щ (г) — и!и ~йт — — -~- ч), 1 . / Ь (9.37) ь где фаза Ь,= — йт1+ го — — ~ и(т) йт+ — ~- — — ~ . (9.38) 1 1 ~Р ~1 и~ жЬ Выделение в аргументе (9.37) слагаемого — Ь/2 связано с тем, что при 1 » 1 при вычислении первого интеграла в (9.38) можно пренебречь и(т) по сравнению с Азт 2, тогда значение первообразной на нижнем пределе равно 7л/2 и от интеграла остается только некоторая ограниченная функция т1.
В частности, при и(т) = 0 Ь| = 0 в согласии с (9.35). Необходимым условием конечности фазы Ь~ является достаточно быстрое убывание потенциала: и(т) = о(т 1) при т -+ оо. Для кулоновского потенциала У(т) = ат 1 второй интеграл в (9.38) расходится логарифмически: Ь| — а1п т. (9.39) 7. Граничное условие для ВФ рассеяния не обладает центральной симметрией, так как содержит СФ импульса — плоскую волну. Разложим плоскую волну в направлении оси л по полной системе СФ момента: е'"' = ~» г~(21+ 1)Р~(сов 6)7~(йт). (9.40) 1=0 Заметим, что из-за аксиальной симметрии в разложение (9.40) вошли только сферические гармоники с т = 0 Р~ (сов О) = — Ъ 5о ® 21+ 1 Общий вид аксиально-симметрического решения УШ при больших т, с учетом (9.37), есть у~Я ~~ (23-~-ЦА~Р~(совЯ вЂ” нш~Мт — — <-А) ~ 1 . / 1л ~=о — ~р~+ цдщ ещ~ ' ~ -ю -~ !г+а) 'Р -~ /~+~)] 2йт ~ 1=О Рассеяние 157 Асимптотический вид (9.40), согласно (9.35), есть е'~ = ~ а~~2С-»»)Р~~сов») — ' Ге ~~" ~~~» — е'~~" ~"~~~] и г=о Потребуем, чтобы разность е»й» у — е' содержала только члены, соответствующие расходящейся волне.
Для этого должно быть А~ = г~е'~'. Таким образом, асимптотическое выражение для ВФ рассеяния можно представить в виде у ~ — ~~~» (21+ 1)ХЯсоа6)(( — 1) е '~ — Яе'~"1, (9,41) 2Ь 3=0 где введено обозначение (9.45) Я~=е''. (9.42) Коэффициент при расходящейся волне в разности у — е'~' есть вве- денная нами ранее амплитуда рассеяния ДО) = — ~~»» (2Е+ 1)(Я вЂ” 1)Р1(сов 6). (9.43) и=о Это выражение называется формулой Факсена —.Хольтсмарка. Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид сЬ = Щ8)~~дй = — ~ (211+ 1)(21я+1) х г,,ю~ х Р~,(соаВ)Р~,(совб)]Б~, — 1]]Яс, — 1]дй.
(9.44) Интегрирование по углу д сводится к умножению на 2я. Интегри- руя (9.44) по углу 0 с учетом равенства Рь(соа В)Р~(соя В) ашба = — Ьы, 2 2»+ 1 о получим выражение для полного эффективного сечения рассеяния: 4" ~~~ '(2~ + 1) а;пг ~, ~=о 158 Глава 9 Таким образом, полное сечение рассеяния (в отличие от дифферен- циального (9.44)) есть сумма парциальнви сечений рассеяния с за- данным 1: о1 = —,(21+ 1) а1п б~.
(9.46) Парциальное сечение Можно выразить через парииальные амнлитуды рассеяния, определяемые соотношением ДО) = ~Я(28+ 1)Р~(сов В). (9.47) Из сравнения с (9.43) находим Л = — (ж — 1) = — (е"" — ) 1 1 281 28й а из (9.46) получим выражение для парциальных сечений через парциальные амплитуды: й' о о1 = 4я(21 + 1) Щ~. 8.
Рассмотрим радиальное УШ в поле с короткодействующим потенциалом ()' (т) ~ —, — (га — ) — ~ — и(г) 4- )с~] 88(г) = О. (9.48) Рассмотрим рассеяние медленных частиц (т « 1). Тоща в области А (рис. 33) (при т > В), тде Я ф+1) 1(1+ 1) )) ~2 т > т2 в уравнении (9.48) можно пренебречь и А потенциалом Щт), и членом й2. Решение в области А, согласно (5.6), имеет 0+1) вид У ~у~1 = с1т'+ с2т <(+ ).
(9.49) Рис. 33 В области В (г > Й сЯГ4-1)) огановится существенным член с Й2 и УШ превращается в уравнение для свободной частицы с энергией й2 и моментом 1. Его решение, согласно п. 9.6, можно представить в виде у~~ = АД~(йт) + А2п1(Ит). Асимптотики сферических функций Весселя при малых л суть 159 Рассеяние Потребуем, чтобы в области А решение ~!Р переходило в цг~.
Тогда ~21.!-1!!! У,!+1 А1 = с1( '", Аг = — сг й' (21 — 1)!! Используя асимптотики функций Бесселя при больших я (9.35), найдем В (2!+1)!! 1 . / 1л~ й~ 1 / !л~ Ч/! =С1 ' — ап ~Ит — — ! + сг — сов ~йг — — ! . й~+~ г ~ 2! (2! — 1)!! т ~ 2 ) Это выражение можно представить в виде щ! — — вш ~ Ит — — + Ь! 1. Г 1л (9.51) т 2 !~г~+ь С!; Ь! (9.52) сг (2Š— 1)!!(21+ 1)!! Из выражения (9.52) вцдно, что при достаточно больших 1 при данном Й ~~ Ь! = Ь! стремится к нулю. Парциальные амплитуды Я = — (е"~ — 1) = —. ггй й Отсюда в предельном случае малых Й ~,г! Таким образом, при рассеянии медленных частиц (т <(1) все парциальные амплитуды с 1 ф.
0 малы по сравнению с амплитудой рассеяния в-волны (1 = 0). Поскольку Ро(сов 8) = 1, рассеяние медленных частиц изотропно. В п. 9.4 мы пришли к такому выводу в рамках борновского приближения. Отметим, что выполнение условия малости фаз Ь! при 1 ф 0 облегчается из-за больших числовых множителей в знаменателе (9.52). Даже при т 1 Ьо = 9Ь1 ж 225Ьг. 9. Задача о рассеянии медленной частицы на короткодействующем потенциале представляет интерес как модель для описания рассеяния нуклонов. Характерный размер межнуклонного потенциала а 2 ° 10 1з см; частицы будут медленными при Е < 5 МэВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
