П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Умножим уравнение Дирака (10.9) на ~3/с. Тогда его можно записать в виде ٠— — ~3ар — тс~ «у = О. с ду дскб (10.11) 0 оз — оз О 0 о« вЂ” о«0 0 оз — ««з 0 Даз = найдем вид оператора Ь: оз 0 0 оз .«. = — -Е„ Очевидно, операторы 1, и Е, действуют в разных пространствах, а поэтому коммутируют. Поэтому унитарный оператор, осуществляющий преобразование поворота системы координат вокруг произвольной оси «р, можно представить в виде Р = ехр — ~ 1+ -Е Непосредственным вычислением можно убедится, что оператор Е коммутирует с ~3.
Поэтому Р+(рй)Р = рй = р(Р+йР). Найдем унитарный оператор, осуществляющий преобразование поворота системы координат. Выберем представление, в котором в новой системе координат волновая функция у, как функция независимых переменных, имеет тот же вид, что и в старой (см. п. 4.10). Поскольку при пространственном повороте р преобразуется, как вектор, то для того чтобы уравнение (10.11) обладало правильными трансформационными свойствами, величина ра также должна преобразовываться, как вектор. Оператор, осуществляющий преобразование р, известен.
При повороте вокруг оси л он имеет вид р = У+рУ, У = е' '". (10.12) Здесь |, — оператор орбитального момента. Он действует на функции пространственных переменных. Матрицы а; и ~3 от пространственных переменных не зависят, а поэтому преобразовываться оператором У не бу1О т. Из требования инвариантности уравнения (10.11) следуют соотношения е'ь"~3а~е 'ь~ = ~а~ соя «р+ ~аз з1п «р, е' "~азе ' ~ = — ~а~ в1п«р+ ~3агсоз«р, е' ~3азе ' = ~3аз. Используя явный вид матриц 181 Релятивистские поправки ор 0 0 ор вр 1 у 2у Гамильтониан уравнения Дирака, выраженный через субматрицы, имеет вид о р ор О Х 0 + 0 Используя формулу (аА) (аВ) = АВ+ из [А х В~, (10.14) непосредственным вычислением легко убедиться, что оператор Ь коммутирует с гамильтонианом. Для свободной частицы величина проекции спина на направление импульса, называемая спирально- стью, сохраняется. Из явного вида матрицы Е ясно, что проекция спина может принимать лишь значения ~1/2 (в единицах Ь).
Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2. Замечательно, что для установления зтого не требуются никакие дополнительные предположения, кроме выдвинутых в п. 10,1. 4. Найдем стационарное решение уравнения Дирака для свободной частицы в состоянии с заданными значениями компонент импульса. Полагая ~р(т', Ф) = ~р(г) е '~~, получим И~ (Г) = Н~/ (Г) . Выразим четырехкомпонентную функцию ~у через две двухкомпонентные функции Чз Чз э Х Используя стандартное представление матриц а;, К получим систему ер = соРХ+ тс~~р, еХ = сортир — хпс т,.
Следовательно, в случае свободного движения величина 1+ Е/2 является интегралом движения. Оператор ~ =1+Й=1+ — Е (10.13) 2 есть оператор полного момента частицы, в = Е/2 — оператор спина. Рассмотрим проекцию спинового момента на направление импульса свободной частицы 182 Глава 10 Волновые функции состояния с определенным импульсом удовлетворяютуравнениям (гп,с — а) ~>+ сйрт = О, (10.15) сарср — (тс + е) т = О. Условие совместности этой системы линейных уравнений состоит в равенстве нулю ее определителя. Учитывая операторное тождество (10.14), получаем (10.1б) тс2+ с Таким образом, из четырех компонент функции ~р, соответствующей заданному р, только две могут быть заданы независимо, остальные две определяются при выбранном Х из формулы (10.16). Пусть ехр зР =аехр г~ аг аз где а — спиновая функция, не зависящая от координат.
Тогда а ора тс~+ с ехр г— ~р(г) = В системе отсчета, где движение частицы является нерелятивистским, а = Цтс~ + Е), где Е << тс~. Поэтому для положительных решений (при е > 0) Х = Ч= — 9«% сар р тс2 + с 2тс а для отрицательных (при а < 0) сор 2тс 2 тс~ — с Р Таким образом, в нерелятивистском предельном случае две из четырех компонент ~~ оказываются малыми по сравнению с двумя другими. т с — е~+с~р =О, ~„ /Дф ~,п~с4 ~„— ~Д Двум знакам в этом выражении соответствуют два типа решений уравнения Дирака. Таким образом, задания компонент оператора импульса в общем случае недостаточно для описания движения свободной релятивистской частицы: нужно указать еще значение параметра Х.
Решения с Х = +1 будем называть положительными. .Одна из двухкомпонентных функций может быть выражена через другую: Релятивистские поправки 5. Уравнение Дирака часто бывает удобно представить в другой, более симметричной форме. Положим ж" = (сФ, г) (ц = О, 1, 2, 3). Выберем метрический тензор в виде Яра = бра ( 1 + 2бро) ° Введем оператор 4-импульса (10.18) ~е — еФ вЂ” еее ) а = еа (р — -А) Х, 2 l е С (е — еФ Е. еее ) Е = еа (р — '-А) а. С р" = гй —. дхр Тогда уравнение (10.11) можно переписать в форме (у"р„— тс) Ч~ = О, где матрицы у" определяются равенствами 'уУ = ~, у" = ]ЗА (й = 1, 2, 3). Матрицы у" удовлетворяют соотношению 'у"у" + у" у" = 2д"".
Индексы матриц у" поднимаются и опускаются по правилу 7"=я у,. 6. Рассмотрим уравнение Дирака для движения заряженной частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле, ко- торое описывается 4-потенциалом А„= (Ф, А). Классическая ре- лятивистская функция Лагранжа имеет вид 5~ = — тс 1 — — + -Ач — еФ. 2 а Е с~ с Компоненты обобщенного импульса соответственно равны Ро = ро + еФ, Р = — = р + -А, д9' у е дъ~ с где р~ — компоненты 4-импульса свободной частицы.
Обобщив пра- вило гл. 2 на релятивистский случай, мы заменим в уравнении Ди- рака оператор р„на выражение для него, содержащее обобщенный импульс. Итак, уравнение Дирака для частицы во внешнем электро- магнитном поле имеет вид [~' (р — еА„) — еье] а = О. (10.19) Рассмотрим уравнение Дирака в электромагнитном поле в нере- лятивистском случае. Четырехкомпонентную функцию Ч~ удобно вы- разить через двухкомпонентные д и у,: 184 Глава 10 Ограничимся случаем слабого поля е — еФ вЂ” тс «тс .
2 2 Выбирая положительное решение и полагая Е = е — те~, получим Е~р = со' р — -А т + еФ~р, с са р — еА Х= д = — о (р — -'А <р. Е+ 2тс~ — еФ 2тс ~ с Исключая функцию т,, находим Ец> = — о р — -'А +еФ ~р. Используя тождество (10.14), приходим к равенству ~ 1 / е ел Е~р= ~ — ~р — -А) +еФ вЂ” агоФА ~р. ~2т, с 2тс (10.20) Введем напряженность магнитного поля Н = гой А. Тогда Ыр = — р — -А + еФ вЂ” (оН) ср.
(10.21) ел 1г= РоО, Ро =— 2тс с магнитным полем. Величина цо называется магнетоном Бора, ро =9,27 10-21 эрг-ГсЭкспериментально наблюдаемый магнитный момент электрона действительно очень близок к значению цо. Для нуклонов имеют место значительные отклонения. Это уравнение для большой в нерелятивистском пределе двухкомпонентной функции <р называетсяуравнением Паули. Соответствующее уравнение для ~р(г) имеет вид Ж вЂ” ~ = — р — -'А + еФ вЂ” — (оН) ср.
(10.22) Дополнительный член в гамильтониане (10.22) можно интерпретировать как энергию взаимодействия собственного магнитного диполь- ного момента частицы 185 Релятивистские поправки 7. При выводе уравнения Паули мы пренебрегли членами порядка (тс2) 1(Š— еФ). Поэтому полученное уравнение не содержит релятивистских поправок к гамильтониану заряда во внешнем электростатическом поле. Огыскание таких поправок представляет интерес для атомной спектроскопии. Пусть А = О, еФ = У(г). Тогда [Š— У (г)] ср = сару, [2тс + Š— У (г)~ у = сару.
Учтем члены следующего порядка в разложении (10.20): Тогда для функции д получаем ~Я вЂ” г(гН р= ~ [ь — ~ ~~ ~]ард. <~олз) С помощью коммутационного соотношения [ар, ~ар] = — гй(адгай Г') (ар) и тождества (10.14), получаем равенство ар Уар = ~р2 — Ж (~7У р+ ю ~с7~ х р]) . С учетом этого равенства уравнение (10.23) принимает вид Е~р = 1 —, ~ д+ У(р+ +, [(~70) х р] <р — (~70) рср. (10.24) В первом члене в правой части с принятой точностью можно произвести замену 2 Š— У(г) = —" 2т Окончательный вид оператора Н: Н = Но+ 1~1+ ~2+ 1'3> Но = ~ +У(г) 2т есть обычный нерелятивистский гамильтониан частицы в заданном поле. Первый дополнительный член 1г 8~дзеЯ учитывает релятивистскую зависимость кинетической энергии от импульса. Второй дополнительный член ~2 = —,, [('7У) х Р] ф (10.2б) 186 Глава 10 описывает энергию спин-орбитального взаимодействия.
Он может быть интерпретирован как энергия взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем. В центральном поле т7у Ги ж т Йт и оператор Уз может быть преобразован к виду Наконец, третий дополнительный член ~ 3 — 2 2 (~~) не может быть сохранен в таком виде из-за своей неэрмитовости: 1~+ = — 'т'з+ ~7 Г 3 — 422 с2 Заменяя его в соответствии с правилом п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
