П.В. Елютин, В.Д. Кривченков - Квантовая механика с задачам (1129355), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом, функция ~р1(йт) представляет регулярное в нуле действительное решение радиального УШ. Функция ц+ (йт) также регулярна в нуле, поэтому эти два решения должны быть пропорциональны: ~~~+(йт) = снр~(йт). Подставляя это равенство в (9.69), находим ОО -1 сс = 1+ — Г тН,„(йт)и(т)ср~(йт) йт 2 ) о Выражение для парциальной амплитуды рассеяния через действительное регулярное решение УШ имеет вид ~' т3фст)и,(т) р~(1ст) Йт о Л— 1+ 4 — ( тН~ ~(йт)и(т)ср~(йт) й' 2 о Элемент Я-матрицы связан с амплитудой соотношениями 24 (9.71) (9.72) Таким образом, 1 — 4 — Д тН~ ~(3ст)чр,(йт)от) йт Я~(й) — ' (9.73) 1+ а- 1 тНА Ят)р,(1ст)и(т) й' 2 о 13. Пусть й = — ж — значение энергии, соответствующее свя- 2 2 занному состоянию.
Тогда при й = ~чае регулярное действительное решение УШ должно убывать прн т -+ со. Согласно (9.70) асимптотический вид такого решения есть ц(йт') =,У~(йт) — — Н, (йт) Н~ (йт')и(т )<р~(йт')т Йт + 4 о + — 'Н, (йт) Н„(йт')и(т')ср~ (йт')т' с8т'. (9.74) 4 о Учитывая соотношение ,);(йт) = -1(Н(1)(йт) + Н(2)(йт)~, 169 Рассеяние перепишем формулу (9.70) в виде 1О ср~(йт) — " " 1 — г- ~ Н, Ят)и(т)ц(1ст)тйт + 2 ~ 2 ~ о + ' 1+ г- Н( )фт)и(т)р~фт)тйт, (9.75) Рис. 35 о При й = +гж (ж > О) функция Н(ц экспоненциапьно убывает, а Н(21 экспоненциапьно растет.
Требуя обращения в нуль коэффициента при экспоненциально растущей функции, приходим к условию 1+ з~ ~ Н, ~(1ст)и(т)щ(Ь)тйт = О. (9.76) 21 о Из сравнения (9.76) с (9.73) видно, что в точке й = +~ж функция БДй) имеет полюс. В точке й = — гж функция Я~(й) имеет нуль, что доказывается аналогично.
Итак, связанному состоянию с энерги- 1 й ей — ж2 соответствует нуль матрицы рассеяния Я1(Й) на нижней мнимой полуоси и полюс на верхней мнимой полуоси (рис. 35). Обратное справедливо не всегда. 14. Значения волнового числа й, соответствующие рассеянию, лежат на действительной оси.
Поэтому наличие полюса Я~ (й) будет заметно влиять на парциальную амплитуду, лишь если полюс близок к действительной оси. Соответствующие связанным состояниям полюсы будут поэтому проявляться главным образом в рассеянии медленных частиц (т < 1), когда основную роль играет 8-рассеяние. В окрестности полюса ж — Ис о= "е+ й и сечение рассеяния имеет вид оо = —,",!1- ~о(Й)!' =,'"„,.
(9.77) Вводя энергию связи е = — 62ж2(2т) 1, получим формулу Вигнера оо = — —. 2лй~ 1 (9.78) Уй Е+ ~е~ 170 Глава 9 Таким образом, если в потенциале и(г) существует связанное состояние с энергией связи, малой по сравнению с и~, то сечение рассеяния медленных частиц сильно зависит от энергии. В борновском приближении сечение рассеяния медленных частиц равно оВ Я2<~2 Формула Вигнера дает при й -+ О значение ои = — — а, 4'в Оо 2 (9.79) В ~я~ Из этого выражения видно, что при типичных для межнуклонных взаимодействий значениях В 1 вигнеровское сечение значительно больше борновского. Заметим, что в формуле (9.77) знак ж не играет роли.
Поэтому к возрастанию сечения рассеяния медленных частиц приведет как полюс Яо(Й) на положительной мнимой полуоси, соответствующий связанному состоянию, так и полюс на отрицательной мнимой полуоси. Состояния, которым соответствуют такие полюсы, называются виртуальными.
Из (9.75) следует, что ВФ виртуального состояния экспоненциально растет при больших т. Из (9.75) следует также, что полюсу виртуального состояния на отрицательной мнимой полуоси соответствует симметричный нуль на положительной мнимой полуоси. В потенциале притяжения — уи(г) ( О с уменьшением у полюсы на мнимой оси, соответствующие связанным состояниям, приближаются к действительной оси, а полюсы виртуальных состояний удаляются от нее, как показано на рис. Зб.
Рис. 37 Рис. 36 Формула (9.78) хорошо описывает зависимость сечения от энергии при рассеянии нейтронов на протонах в триплетном состоянии (связанное состояние с энергией е = — 2, 23 МэВ) и в синглетном состоянии (виртуальное состояние с энергией е = +О, 06 МэВ). Рассеяние 171 15. Матрица рассеяния может иметь особенности и вне мнимой оси. Их расположение подчинено определенным требованиям симметрии. Пусть Я~(й) имеет полюс в точке й = о+ гж. Тоща из формулы .У~(ле""") = е' У~(л) следует равенство Я~(й) = Я, '(-й). (9.80) Таким образом, полюсу в точке 1 (рис. 37) соответствует нуль в точке 2, симметричной относительно начала координат.
Далее, из соотношений А ( ') = [А( )Г, и!"(") =(н,'"()Г, и!"(*) =СнХ"()Г следует равенство Я,*(й ) =Я, '(й). (9.81) Поэтому Я~(й) будет иметь полюс в точке 3, симметричной точке 1 относительно действительной оси, и нуль в точке 4. В верхней полуплоскости Я~(й) имеет полюсы только на мнимой оси.
В самом деле, полюсу в точке Йо = д + зж соответствовало бы регулярное в нуле решение с экспоненциально убывающей асимптотикой. Поэтому <р~(йог) было бы квадратично интегрируемым решением УШ, соответствующим СЗ Е = (92 — ж2) + 2здж, что несовместимо с требованием эрмитовости гамильтониана. Состояния, которым соответствуют пары полюсов в нижней полуплоскости комплексного Й, называются квазистационарными состояниями. В окрестности такого полюса Я~(Й) имеет вид 2;~ Й вЂ” О+ ~~ 1с — в — 1ж Сечение рассеяния равно 2 2 л ~~ Ц2 2 ~1 к ае соа2~+ 2жя в1п у у~ у+ я2 + (9.82) здесь введено обозначение д = й — а.
При 8 = О а ~ — (1+ сов 2Ь), 2л й~ и при небольших фазах Ь это сечение близко к максимально возмож- ному. При ж (< д зависимость сечения от волнового числа й имеет явно выраженный резонансный характер. Формулу (9.82) при й а, пг Глава 9 д )~ ж принято записывать в виде г' Р1 (В-Я,Р+Г ~4 г — 4Ве е'~ яш Ь + 4а1п~ Ь, (9.83) (Š— Ео) + рГ/2/ где величина Жо = 62(2т) 1(д2 — ж2) называется резонансной энер- гией, а величина Г = РРтп 1дж называется ширинойрезонанса. Пер- вый член в фигурной скобке (9.83) соответствует резонансному рассеянию на квазистационарном уровне, третий член дает сече- ние потенциального рассеяния, а второй описывает интерферен- цию между потенциальным и резонансным рассеяниями. 16.
Все результаты, полученные с помощью рассмотрения рас- сеяния парциальных волн, предполагают конечность фаз 6) и отно- сятся к потенциалам и(т), убывающим при т -~ со не медленнее, чем т . Кулоновский потенциал, представляющий особый интерес, этому требованию не удовлетворяет. Однако для рассеяния частиц, взаимодействующих только по закону Кулона, можно получить точ- ное выражение для ВФ рассеяния. Задача рассеяния обладает аксиальной симметрией. Поэтому удоб- но использовать, как и в п. 8.1, параболические координаты, допус- кающие разделение переменных в УШ ч = У(1)Ич)- Уравнения имеют вид (в кулоновских единицах) — Ю+(~ц — р,)у=о, (9.84) — ее» .р (»в е — р ) р = о, (9.85) й) й~ 4 где параметры разделения ~31, Ц2 удовлетворяют условию ~31+ ~32 = 1.
Граничное условие х ехр ~»й») = ехр )»-~Я вЂ” е)) (» = Я вЂ” Е) -е -ое) (986) ~ 2 можно выполнить при всех с, положив ДЦ) = ехр (»-Е) (подстановка в (9.84) дает ~31 = гй/2). Тогда из (9.8б) следует гранич- ное условие для д(ц): р(Е) вер (-е-р) (р -е ее). 173 Рассеяние Уравнение (9.85) переходит в Я + — "~ — 1+ —" ~=О. (9.87) Ищем решение в виде у(ц) = ехр ( — ц)ю(ц) (ср.
(5.23)). Тогда (9.87) дает адын + (1 — гЬ))и' — и = О. Полагая х = гйц, получим и = сопзФР— —,1;х Г(а,7;х) = — )х 'е* х гЬ Г(а) х 1+ с (а — 1)(а — т) (а — 1)(а — 2)(а — т)(а — т — 1) 1 + + ° ° ° ~ + х 2!ж~ + Г(т) х е" х Г(а — т) х 1+ с а(т — а — 1) а(а+ 1)(у — а — 1)(т — а — 2) + 2 + ж 2!ж2 Здесь Г(л) есть гамма-функция Эйлера. Сохраняя члены до и 1 включительно (члены высших порядков не дадут в пределе г -+ оо вклада в ток,у,), получим ехр (х/2й) + (г/й) 1п Йп / 1 Г(1+ ~Ц ~ ы ч/ ехр (х/2Й) — (~/Й) 1а Ь~+ 1ЙЧ Г(1 — !/Й)й~ч Перейдем к сферическим координатам и = г(1 — сов 6), с = г(1+ сов 6).
где Р(а,у; х) — вырожденная гипергеометрическая функция. При больших х справедливо асимптотическое представление для выро- жденной гипергеометрической функции Глава 9 Тогда ВФ задачи рассеяния примет вид ц~(т,6) =А "Р(/ ) х Г(1 + с/7с) + ) ехр рь'-!- — !пйг(! — совс)~ .!- И'т(1 — совЕ)~ ~ й 1 ехР (х/2я) ехР !сЬ вЂ” (4/1с) 1о йт(1 — сов е)1 (9 88) Г(1 — 4/й) й~ (1 — сове) Нормировочную постоянную А определим, потребовав, чтобы коэффициент при падающей плоской волне был равен единице. Тогда А=ехр — — Г 1+ — ' Используя (9.88), (9.89) и определение амплитуды рассеяния, получим ,1" (В) = —, ехр ~ — — 1п яп -! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
